另 一 形 式
利用余弦定理可以解以下两类斜三角形题：
（1）已知两边与它们的夹角，求其余 边、角。 （2）已知三边，求三个角。
③任意三角形面积公式
1 1 1 s ab sin C ac sin B bc sin A 2 2 2
④斜三角形的解法： 已知条件
一边和两角 (ASA)
两边和夹角 (SAS) 定理选用
6、课外作业：
1．已知角A、B、C是△ABC的三内角, 则下列表达式中为常数的式子的一组是（ ① sin(A + B) + sinC ②cos(A + B) + cosC （A） ①③ （B） ②④ ） ③sin(2A + 2B) + sin2C ④cos(2A + 2B) + cos2C （C） ②③ （D） ①② ） （D）不能确定 ） ）
( A) k > 0.5
(B)a sinA = b sinB
( C)a sinC = c sinB
(D)a sinB = b sinA
5、在△ABC中，sinA : sinB : sinC = k : (k + 1) : 2k , 则k的取值范围是 （ A ） (B)k>2 (C)k>1 (D)k>0
β γ
a
D
asinγ· tanα . = sin( β+γ)
C
例3 如图一块三角形绿地ABC，AB边长为20米， 由C点看AB的张角为40° ，在AC边上一点D处看 AB的张角为60° ，且AD = 2DC. 试求这块绿地的 面积. B 解：设DC = x, 则AD = 2x. 在BDC中， 20 E ∠BDC = 120°, ∠DBC = 20°, 60° 40° BC DC A C D = sin120°, sin20° DCsin120° ∴ BC = sin20° ≈ 2.53x.
一般解法
由A+B+C=180˚,求出另一角，再 用正弦定理求出两边。
正弦定理
三边(SSS)
用余弦定理求第三边，再用余弦 余弦定理 定理求出一角，再由A+B+C=180˚ 得出第三角。 用余弦定理求出两角，再由 余弦定理 A+B+C=180˚得出第三角。
用正弦定理求出另一对角,再由 两边和其中一 正弦定理 A+B+C=180˚，得出第三角,然后 边的对角(SSA) 用正弦定理求出第三边。
例2 为了求得底部不能到达的水塔AB的高，在地 面上引一条基线CD = a, 这条基线延长后不过塔底. 设测得∠ACB = α, ∠BCD =β, ∠BDC = γ, 求水塔 的高. 解： 在BCD中， A a BC = , sin γ sin∠CBD asin γ ∴BC = sin(β+γ) , 在rtABC中，AB = BCtanα B α
2． 在△ABC中，A = 60 0 ，a = 6 , b = 4 , 那么满足条件的△ABC （ （A）无解 （B）有1个解 （C）有2个解 3．已知△ABC的三边a、b、c分别为13, 14, 15, 则△ABC的面积是（ 4．在△ABC中, A = 60 0, AB = 3cm , AC = 4cm , 则角A的平分线AD =（
A
C
D
AC是ABCD外接圆直径，可由正弦定理求得.
分析四：构造直角三角形ADE， 求出BE、ED、EC、CD等诸边长.
例 4：四边形ABCD中，B＝D＝90°，A＝60°， BC AB＝4，AD＝5，求AC长及 的值 CD BD＝√AB2＋AD2 –2AB· ADcos60°＝√21, 解： ∵ B＝D＝90 °, A ∴A、B、C、D共圆，且AC为直径, BD B ∴ AC＝ ＝ 2 √7 , sinA ABsinA 2 sin∠ADB＝ ＝ ， BD √7 ABsinA 5 C D sin∠ABD＝ BD ＝ ， 2 √7 BC sin∠BDC cos∠ADB CD ＝ sin∠CBD ＝ cos∠ABD＝2.
正弦定理：
在一个三角形中，各边和它所对角的正 弦比相等，即
a b c sin A sin B sin C
利用正弦定理与三角形内角和定理，可 以解以下两类斜三角形问题： （1）已知两角与任一边，求其它两边与一角 。 （2）已知两边与其中一边的对角，求其它两 角 与一边。
②余弦定理：
• 三角形任何一边的平方等于其它两边的 平方和减去这两边与它们夹角的余弦的 乘积的两倍：
一、问题的提出：
在有关测量、航海、几何、物理学 等方面，经常遇到计算角度或长度，我 们把它转化为解三角形。
二、应用举例：
例1、 课堂探究题：如何在岸边测得 不能到达的两个小岛之间的距离？
A 在ACD中，可求出AD长； A B B
在BCD中，可求出BD长；
C
α
δ β P a γ
D
在ABD中，由AD、BD、 δ可求出AB长.
5．已知△ABC中, 边a、b、c分别为三角形三内角A、B、C的对边 , 若a + b = 10 , c = 8 A B 求 tan tan 的值. 2 2
6．在△ABC中三个内角A、B、C满足 sin C
r r 半径为R , 求 的取值范围 , 并指出当 R R
sin A sin B , 其中内切圆半径为r , 外接圆 cos A cos B 取最大值时△ABC的形状.
课题：解斜三角形
课型：复习课
讲解：陈功
1、复习初中所学的有关三角形的知识：
① A+B+C=π
② b+c>a
, a+c>b
ห้องสมุดไป่ตู้
,
a+b>c
③ |b–c|<a , |a–c|<b ,|a–b|<c ④ A>B → a>b a>b →A>B
①正弦定理：
a b c 2R sin A sin B sin C a 2R sin A b 2R sin B c 2R sin C a : b : c sin A : sin B : sin C
小结：解斜三角形在实际中应用的一般骤：
实际问题
分析转化
数学问题 （画出图形）
校 验
结
论
解斜三角形
4、 课堂练习： 单项选择题
1、已知三角形三边长分别是4、5、 61 ，则它的最大内角的度数是（ B ） （A) 1500 (B) 1200 (C) 1350 (D) 900
4 4 4 2 2 2、已知a、b、c为△ABC的三边长，且 a b c 2a b 0则△ABC（
思考题:
有一水塔,塔底周围长满了荆棘, 请用手中的量角器和皮尺，设 计一个能大致测出塔高度的方 案。
例2 为了求得底部不能到达的水塔AB 的高，在地面上引一条基线CD = a, 这 条基线延长后不过塔底.设测得∠ACB = α, ∠BCD =β, ∠BDC = γ, 求水塔的高.
A
B
α
β
γ
a
D
C
x
C yD
分析二： 若设BC＝x，CD＝y， 在ABD及BCD中，由BD＝BD得一方程； 在ABC及ACD中，由AC＝AC得一方程.
例 4：四边形ABCD中，B＝D＝90°， B A＝60°，AB＝4，AD＝5， BC 求AC长及 的值 CD E 分析三： 在ABD中由余弦定理可求得BD;
） D
（A)锐角三角形 （C)钝角三角形
（B)直角三角形 （D)钝角三角形或直角三角形 (C) 120
0
3、边长为5、7、8的三角形，最大内角与最小内角之和为（ C ）
(A) 1500 (B) 1350 (D) 1050 4、在△ABC中，下列等式正确的是（ D ）
a sin B (A) b sin A
解得 x ≈ 10.3,
1 2
SABC = AC·BC·sinC ≈260(m2).
例 4：四边形ABCD中，B＝D＝90°， B ∠BAD＝60°，AB＝4，AD＝5，
A θ
BC 求AC长及 的值 CD θ ， 分析一： 若设∠BAC＝ AD AB 则 cosθ ＝ ， θ) cos(60°－ θ 再求解. 解出
例3 如图一块三角形绿地，AB边长为20米，由 C点看AB的张角为40 ° ，在AC边上一点D处看 AB的张角为60 ° ，且AD= 2DC. 试求这块绿地 的面积.
B
在ABC中， AB2 = AC2 + BC2
20
60° D 40° C
– 2AC· BCcos40°, 即 400 = 9x2 + 6.4x2 A – 2 ·3x ·2.53x ·0.766,