求解恒成立问题的常见方法
摘要：恒成立问题是高考中常见的一类问题，常见类型有：第一类是关于x的一元二次不等式对任意x∈R恒成立，求参数取值范围；第二类是不等式在给定区间上恒成立求参数的取值范围。

因这类问题综合性强，思维容量大，因而成为高考一直常考不衰的热点问题。

关键词：恒成立；参数；解题方法
一、一元二次不等式中的恒成立问题
例1.已知函数f（x）=x2+ax+3对任意x∈R时恒有f（x）≥a成立，求a的取值范围。

解：∵f（x）≥a对x∈R恒成立，∴x2+ax+3-a≥0对x ∈R恒成立
∵x∈R，∴Δ≥0，即a2-4（3-a）≥0∴a≤-6或a≥2 例2.已知函数y=lg（mx2-6mx+m+8）的定义域为R，求m的取值范围。

解：由已知得mx2-6mx+m+8>0对任意x∈R恒成立
①当m=0时显然成立
②当m≠0时有m>0（6m）2+4m（m+8）<0∴0<m<1
综上可知0<m<1
方法归纳：令f（x）=ax2+bx+c，若f（x）>0（或f（x）
≥0）对任意x∈R恒成立，则有a>0Δ0Δ≤0），若f（x）<0（或f（x）≤0）对任意x∈R恒成立，则有a<0Δ<0（或a<0Δ≤0）等价转化即可。

二、在给定区间上恒成立问题
例3.已知函数f（x）= （x≠0）在（4，+∞）上恒大于0，求a的取值范围。

解：令f（x）=0则>0，∴a>-（x+ ）
令g（x）=x+ ，易知g（x）在（4，+∞）上为增函数，∴g（x）min=g（4）=5∴g（x）>5
∴-（x+ ）<-5∴a≥-5
例4.已知函数f（x）=x2+2x+a lnx，在区间（0，1]上为单调函数，求实数a的取值范围。

分析：求f ′（x）→由题意转化为恒成立问题→求最值→求得a的取值范围
解：易知f ′（x）=2x+2+ ，∵f ′（x）在f ′（x）上单调
∴f ′（x）≥0或f ′（x）<0在（0，1]上恒成立，
即2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0恒成立
∴a≥-（2x2+2x）或a≤-（2x2+2x）在（0，1]上恒成立又-（2x2+2x）=-2（x+ ）2+ ∈[-4，0）
∴a≥0或a≤-4
方法归纳：解决此类恒成立问题通常分离参变量通过等
价变形，将参数a从整体中分离出来，转化为a>（或f（x）（或a≥
f（x）恒成立？圳a>m（或a≥m）；（2）若f（x）在定义域内存在最小值m，则a<f（x）或（a≤f（x））恒成立？圳a<m（或a≤m）；（3）若f（x）在其定义域内不存在最值，只需找到f（x）在定义域上的最大界（或最小下界）m，即f（x）在定义域上增大（或减小）时无限接近但永远达不到的那个位置来代替上述两种情况下的m，此时要注意结果所求参数范围在端点处是否要取到等号。

例5.已知f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1与x=- 时都取得极值，
（1）求a、b的值；
（2）若对x∈（-1，2）时都有f（x）< 恒成立，求c 的取值范围。

解：（1）∵f（x）=x3+ax2+bx+c∴f ′（x）=x3- x2-2x+c 由- a=1- =- 得a=- b=-2∴f（x）=x3- x2-2x+c
（2）∵f（x）x3- x2-2x
令g（x）=x3- x2-2x则g′（x）=3x3-x-2=（3x+2）（x-1）令g′（x）=0则x=- 或x=1
在（-1，2）内易知g（x）max=g（2）=2又x<2∴g（x）<2
∴-c≥2即≤0∴c∈（-∞，-3]∪（0，1]
说明：此类恒成立问题的本质是求最值，等号不能成立时一般转化为函数的单调性求最值。

编辑王团兰。