高考中有关恒成立问题的解题策略
恒成立问题是历年高考的一个热点..这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.
恒成立问题在解题过程中有以下几种方法和策略. 现在我们一起来探讨其中一些典型的问题. 方法一、赋特值——利用特殊值求解
等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得. 例1．（2012江西）在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD
的中点，则
A.2
B.4
C.5
D.10.
略解：题目是对所有直角三角形恒成立，故取等腰直角三角形并且直角边长为2这样一种特殊的三角形，由此，|PA|，|PB|，|PB|都为定值。

易得答案D.
此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想.
方法二、一次函数型——利用单调性求解
对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：
⎩⎨
⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0
)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立
例2．若不等式)1(122
->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围围.
分析：在不等式中出现了两个字母：x 及m,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，我们的原则是谁
有范围谁当自变量，显然将a 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a 的一次函数大于0恒成立的问题.
解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2
<---x x m ，；
令)12()1()(2
---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(<m f 恒成立，所以只需⎩
⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即
⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0
)12()1(20
)12()1(22
2
x x x x ，所以x 的范围是)231,271(++-∈x ) 此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x
轴上方（或下方）即可.
策略三、二次函数型——利用判别式,韦达定理及根的分布求解
对于二次函数f(x)=ax 2+bx+c=0(a ≠0)在实数集R 上恒成立问题可利用判别式直接求解，即
f(x)>0恒成立⇔
⎩⎨
⎧<∆>00
a ；f(x)<0恒成立⇔⎩⎨
⎧<∆<0
a .
例3（2013高考重庆）设0απ≤≤，不等式2
8(8sin )cos 20x x αα-+≥对x R ∈恒成立，则a 的取值范围为
5[0,][,]66
πππ
若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解. 例4（07年山东卷文15)当(1,2)x ∈时，不等式2
40x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是
解析: 设4)(2
++=mx x x f ， 则有⎩
⎨
⎧<+<+⇒⎩⎨⎧<<0280
50)2(0)1(m m f f 由此可得5-<m 这种类型利用了二次函数的根的分布 总结：，设)0()(2≠++=a c bx ax x f 且a>0
],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0
)(0
)(βαf f
策略四、变量分离型——分离变量，巧妙求解 利用函数的最值（或值域）
（1）m x f ≥)(对任意x 都成立m x f ≥⇔min )(；
（2）m x f ≤)(对任意x 都成立max )(x f m ≥⇔。

简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”例5（07年山东卷文15)当(1,2)x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围
是 ．
解析: 当(1,2)x ∈时，由2
40x mx ++<得24x m x +<-．令244
()x f x x x x
+==+，则易知()f x 在
(1,2)上是减函数，所以[1,2]x ∈时()(1)5max
f x f ==，则2min 4
()5x x
+->-
所以 5-<m
利用变量分离解决恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问题. 策略五、数形结合——直观求解
例6 (07安徽理科3)若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是
(A) 1a <- (B) ||1a ≤ (C) ||1a < （D ）1a ≥ 解析：对∀x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立， 则由一次函数性质及图像知11a -≤≤，即||1a ≤．
上述例子剖析了近年数学高考中恒成立问题的题型及解法，
完全孤立的，虽然方法表现的不同，但其实质却都与求函数的最值是等价的，这也正体现了数学中的“统一美”．
|
ax
=y x。