第四章 内积空间在第三章中，我们把n 维Euclid 空间n R 中的向量的模长推广到一般线性空间中去，得到了赋范线性空间的概念。
但在n R 中可以通过两个向量的夹角讨论向量与方向的问题。
这对仅有模长概念的赋范线性空间是做不到的。
我们知道，n R 中向量的夹角是通过向量的内积描述的，因此在本章我们引入了一般的内积空间的概念。
4.1 内积空间的基本概念首先回忆几何空间3R 中向量内积的概念。
设123(,,)x t t t =，123(,,)y s s s R =∈，设x 与y 夹角为ϕ，由解析几何知识可得112233cos t s t s t s x yϕ++=⋅其中， 13221()k k x t ==∑，13221()k k y s ==∑令31,k k k x y t s ==∑，称为x 与y 的内积，不难证明它有如下性质：（1）3,0,,,0;x y x R x x x θ≥∀∈=⇔=且 （2）3,,,,;x y y x x y R =∀∈（3）3121212,,,,,,;x x y x y x y x x y R +=+∀∈ （4）3,,,,,.x y x y R x y R λλλ=∀∈∀∈注：由定义可得x =内积我们可以讨论如向量的直交及投影等重要几何问题。
现在我们引入一般的内积空间的概念。
【定义 4.1】 设X 为数域F 上线性空间，若对任两个元素（向量）x ，y X ∈，有惟一F 中数与之对应，记为,x y ，并且满足如下性质：（1）,0,,,0;x y x X x x x θ≥∀∈=⇔=且 （2）,,,,;x y y x x y X =∀∈（3）121212,,,,,,;x x y x y x y x x y X +=+∀∈ （4）,,,,,;x y x y F x y X λλλ=∀∈∀∈则称,x y 为x 与y 的内积，有了内积的线性空间叫做内积空间，当F 为实数域R （或复数域C ），叫X 为实（或复）内积空间。
注:由性质（3）与性质（4）知，内积运算关于第一变元是线性的。
由性质（2）与性质（4）可推知,,x y x y λλ=.于是当X 为内积空间时，内积关于第二个变元也是线性的。
而常称,,x y x y λλ=为共轭齐次性，因此在X 为赋内积空间时，内积是共轭线性的。
今后讨论中不加注明时，恒设X 为复内积空间。
【引理 4.1】（Schwaraz 不等式） 设X 为内积空间，对任意x ，y X ∈，成立不等式,x y ≤证明：若y θ=，则任x X ∈，有,0x θ=，则显然不等式成立。
现在设y θ≠，则F λ∀∈，有20,,,,,x y x y x x x y y x y y λλλλλ≤++=+++取,,x y y yλ=-代入上式可得2,,0,x y x x y y-≥，由此可得,x y ≤证毕。
【定理 4.1】 设X 为内积空间，对任x X ∈，令x =x 是x 的范数。
证明：因范数的前两条性质可直接由内积的性质推出，我们仅验证它满足第三条性质（即三角不等式）。
事实上2,,,,,x y x y x y x x x y y x y y +≤++=+++2222()x x y y x y ≤+⋅+=+故有x y x y +=+.证毕。
注：常称x =间。
在此意义下，第二章关于赋范线性空间的有关内容都适用于内积空间。
特别当内积空间X 按由内积导出的范数完备的，称X 为Hilbert 空间。
以下介绍几个常用的Hilbert 空间的例子。
例 4.1 n F 表示（实或复）Euclid 空间，对于12(,,,)n x t t t =，12(,,,)n n y s s s F =∈，类似于几何空间3R 中向量的内积定义，令1,nn n k x y t s ==⋅∑不难验证n F 成为一个Euclid 空间。
例 4.2 22121{(,,,):,,1,2,}nn n n i l x t t t t t F n ===<∞∈=∑，当12(,,,)n x t t t =，212(,,,)n y s s s l =∈时，令1,n n k x y t s ∞==⋅∑容易证明2l 成为内积空间。
以下证明2l 为Hilbert 空间。
任取Cauchy 列n x =()()()212(,,,)n n n n t t t l ∈，则对任0,,N ε>∃当,n m N >时，有12()()21()n m n m kkk x x ttε∞=-=-<∑因而有()()(1,2,)n m k k t t k ε-<=故数列()21{}n k n t l F ∞=∈⊂是Cauchy 列，因数域F 完备，则存在(1,2,)k s F k ∈=，使 ()lim n k k n t s →∞=，令12(,,)x s s =，则任1,2,k =，当,n m N >时，有22()()21kn m iin mi ttx x ε=-≤-<∑则令m →∞，对每个n N ≥及任1,2,k =，有2()21kn i i i t s ε=-≤∑因而，亦有12()21()n i i i ts ε∞=-≤∑，只要n N ≥，所以2n x x l -∈，注意2l 是线性空间，则x =2()n n x x x l -+∈，且n m x x ε-<，n N ≥，这即表明n x 在2l 中收敛，故2l 为Hilbert 空间。
例 4.3 2(),L E E 为有限或无穷区间，对任2()x L E ∈，定义内积,()()Ex y x t y t dt =⎰这里2()L E 中的元素是实值或复值二次可积函数，也不难验证2()L E 是内积空间。
现在证明2()L E 是Hilbert 空间。
设2()n x L E ∈为Cauchy 列，则对每个1,2,k =，存在自然数k n ，有11(1,2,)2k k n n kx x k +-≤= 对任有限区间,e E me ⊂<∞，由Holder 不等式，有1111222()()(()())(1)kk k k n n n n EEExt x t dt x t x t dt dt ++-≤-⋅⎰⎰⎰112()1,2,)k k n n me x x k +=-≤=式中，me 为e 的长度。
故级数11()()kk n n k Ext x t dt +∞=-∑⎰收敛，于是由Levi 引理（见第一章）我们有1111()()lim ()()kk k k nn n n n n k k eext x t dt x t x t dt ++∞→∞==-=-∑∑⎰⎰11lim ()()k k nn n n k e x t x t dt +→∞==-∑⎰11lim ()()k k nn n n k e x t x t dt +→∞==-∑⎰11()()k k n n k e x t x t dt +∞==-∑⎰从而知11()()k k n n k x t x t +∞=-∑是集e 上可积函数，则比在e 上为处处有限函数，即级数在e 上几乎处处收敛，而e 为E 中任意有限区间，则级数11()()k k n n k x t x t +∞=-∑在E 上几乎处处收敛，因而级数12132()(()())(()())n n n n n x t x t x t x t x t +-+-+在E 上几乎处处收敛，亦即函数()k n x t 在E 上几乎处处收敛于函数()x t .现在证明2()x L x ∈，且lim 0n n x x →∞-=.对任意0ε>，因{}x 为2()L x 中Cauchy 列，则存在N ，当,k n n N >时，有1()()k k n n x t x t ε+-<，即22()()k nn ext x t dt ε-<⎰令k →∞，利用第一章Lebesgue 积分的性质，得到22()(),()k n n ex t x t dt n N ε-<>⎰即k n n x x ε-<，且2()k n n x x L E -∈，因此2()()n n x x x x L E =--∈.因此Cauchy 列n x 在2()L E 中收敛，故2()L E 是Hilbert 空间。
（1） 内积的连续性。
设lim ,lim n n n n x x y y →∞→∞==，则有lim ,lim ,lim ,n n n n n n n x y x y x y →∞→∞→∞==证明：由Schwarz 不等式，得,,,,n n n n n x y x y x x y x y y -≤-+-0()n n n y x x x y y n ≤-+-→→∞因收敛n y 有界。
证毕。
（2） 极化恒等式。
对内积空间X 中元素x 与y ，成立22221,()4x y x y x y i x iy x iy =+--++--证明可直接运用范数的定义和内积的性质得到。
留给读者作为练习。
注：当X 为实数内积空间时，则极化恒等式为221,()4x y x y x y =+--（3） 中线公式。
对内积空间X 中元素x 与y ，成立22222()x y x y x y ++-=+证明：22,,x y x y x y x y x y x y ++-=+++--,,,,,,,,x x y x x y y y x x y x x y y y =++++--+ 222()x y =+证毕。
注：也常称中线公式为平行四边形公式。
因在平面2R 中，平行四边形的对角线长度的平方和等于四条边的长度平方和。
另外，可以证明中线公式是内积空间中由内积导出的范数的特征性质，即当X 为赋范线性空间时，若对其中任何元素x 与y 关于范数成立中线公式，则必在X 中可定义内积,x y ，使范数可由此内积导出。
也就是一个赋范线性空间成为内积空间的条件是其范数要满足中线公式。
因此，内积空间是一类特殊的赋范线性空间。
例如，当1p ≥且2p ≠时，p l 不是内积空间。
因为，取(1,1,0,0,)x =，(1,1,0,0,)p y l =-∈，则1/22x y ==，且2x y x y +=-=，显然不满足中线公式。
又例如，[,]C a b 按范数max ()a t bx x t ≤≤=不是内积空间。
这只要取()1x t =，[,]t a b ∀∈及()t ay t b a-=-，[,]t a b ∀∈，则1x y ==，且2,1x y x y +=-=，明显不满足中线公式。
再例如，[,]p L a b 当1p ≥且2p ≠时，也不是一个内积空间。
习题 4.11. 证明：Schwarz 不等式中等号成立x ⇔与y 线性相关。