Hahn - Banach延拓定理及其应用[论文摘要]本文首先概述Hahn - Banach延拓定理发展的历史、其对泛函分析及微分方程乃至物理学的重要意思，然后介绍了Hahn - Banach延拓定理包括它的推论和推广，最后以例题的形式给出了Hahn - Banach延拓定理的一些应用。

[关键字]Hahn - Banach定理Zorn引理延拓[Abstract]In this passage,we introduce the history of Hahn-Banach theorem.Then we introduce the Hahn-Banach theorem and the deduction.At the end,we introduce some application of the Hahn-Banach theorem.[Key Word]Hahn-Banach theorem Zorn lemma application目录摘要 1目录 2 1 引言 31.1 选题背景 31.2 本文的主要内容 32 Hahn—Banach定理 52.1 Hahn—Banach定理的定义 52.2 Hahn—Banach定理的推论 63 Hahn—Banach定理的推广 134 Hahn—Banach定理的应用 43参考文献451引言1.1 选题背景Banach空间理论是由波兰数学家S.Banach在192O年创立的，数学分析及泛函分析中许多常用的空间都是巴拿赫空间及其推广，它们有许多重要的应用。

以Banach空间为基础的Hahn - Banach定理跟共鸣定理及闭图象定理是泛函分析的三大基本定理。

其应用十分广泛, 而且越来越深入地渗透于现代数学的各个领域乃至物理等其它学科。

其中Hahn - Banach延拓定理，在泛函分析中扮演着重要的角色。

该定理保证了赋范线性空间上具有“足够多”的连续线性泛函，并且还刻划了连续线性泛函的值可以事先被指定的程度，这就使得建立共轭空间具有实质性的意义。

而这些理论也是赋范空间一般理论的根本部分。

从这个意义上来说，Hahn－Banach定理是关于有界线性算子最重要的定理之一。

Hahn - Banach定理是1923年S.Banach在研究不变测度时，首先提出来的。

在1929年S.Banach又得出了定理的一般形式。

而Hahn在1927年及Ascoli在1932年也相互独立的得出了一般定理。

随后H．F．Bahnenblust与Sobczyk(1938)将其推广到复向量空间上。

从几何上看该定理表现成凸集的分离性质，而这个分离性质是研究与凸集有关的Banach空间几何学的基本出发点。

由Hahn—Banach定理可以导出一些很有用的结果，如短量定理、最佳逼近的对偶关系和凸集分离定理等等，这些结果在泛函分析理论、远近论、控制论和数学规划中均有重要作用。

而且Hahn - Banach延拓定理在偏微分方程及概率论等方面有着广泛的应用，而在确信一般的局部凸线性拓扑空间中非平凡连续线性泛函的存在时也要用到它。

1.2 本文的主要内容本文拟对Hahn - Banach定理进行一点探讨, 分为三大部分。

第一部分首先给出Hahn - Banach延拓定理，然后以推论的形式给出本定理的若干特殊形式。

第二部分给出本定理的推广。

第三部分则以例题的形式给出Hahn - Banach定理的一些应用。

值得注意的是, Hahn-Banach 定理的推广实际上也是Hahn - Banach定理的重要应用。

2 Hahn - Banach 延拓定理2.1 Hahn —Banach 定理的定义一般的说，延拓问题就是研究定义在给定集X 的一个子集Z 上的数学对象(例如：映射)能否延拓到整个集X 上，并且要求原对象的某些性质在延拓后能否继续保留的问题。

Hahn —Banach 定理中，被延拓的对象是定义在线性空间X 的子空间Z 上的线性泛函f ，要求这个泛函具有—定的有界性质，而这个有界性质是用次线性泛函来描述的。

所谓次线性泛函，是定义在线性空间X 上的一个实值泛函P ，P 是是次可加，所谓次可加即指存在常数K>0，有 p(x+y)K[p(x)+p(y)] yx X 、而且P 还是正齐次的，所谓正其次即指0，均有p(ax)=a p(x)(注：赋范空间上的范数就是这样的一个泛函。

)我们假定，要延拓的泛函f 在Z 上用定义在X 上的这样一个泛函P 来强制，并且在将f 从Z 延拓到X 上后，仍保留其线性的性质及被强制的条件，所以延拓到X 上的泛函f 仍然是线性的和仍为P 所强制。

这也是定理的难点。

下面给出Hahn —Banach 定理：设 X 是实线性空间, P 是定义在X 上的次线性泛函, S 是X 的实线性子空间, 0X 是X 的实线性子空间，0f 是0X 上的实线性泛函并满足0f xP x 0xX 。

那么X 上必有一个实线性泛函f ，满足： （1）f x P xx X （受P 控制条件） （2）f x ＝0f x0xX （延拓条件）具体证明可参考泛函分析讲义，在这里就不给出了。

在这里所要分析的是加拿大的欧文·克雷斯齐格所提出的一个问题，即不用Zorn 引理能够证明这个定理吗？这个问题很有意思，特别是引理没有结出一个构造性的方法。

因此只有在某些特殊情况下才可以做到，当然，对一些特殊的空间整个情形可能要变得简单些。

希尔伯特空间就是这种类型，因为为该空间上的线性泛函有黎斯表示。

有兴趣的可以查看欧文·克雷斯齐格的《泛函分析导论及应用》。

2.2 Hahn —Banach 定理的推论下面我们给出Hahn - Banach 定理的若干特殊形式，而在实践中应用比较广泛的就是这些特殊形式。

推论 1 设 Y 是实数域 F 上的线性空间 X 的子空间, 如果 x ∈X ,infy Y‖x - y ‖=d > 0,那么, 存在**x X , 使得‖x*‖= 1,*x (x ) =d , 而且*,(y)y Y x ＝0。

推论 2 设 X 是线性赋范空间, X ≠{0},那么x X , 存在**x X , 使得‖x*‖ = 1, *x (x )=‖x ‖。

特别地, 如果 x ≠y , 则存在 *x ∈x*, 使得*x (x ) -*x (y ) =‖x -y ‖≠0。

上述推论 2 是Hahn - Banach 定理的一个重要结果, 这一断言有着许多有趣的应用。

其中之一就是定义在 R 上的有界子集类上的有限可加的测度问题, 它是一个平移不变量, 而且是Leesgue 测度的推广。

推论 3 设X 是赋范空间，0,0x X x ，则在X 上存在有界线性泛函f 满足下列条件： （1） 00()f x x ．（2）1f由此推论可知，每一个赋范空间X (0)X的对偶空间*X 中都含有充分多的非零元素。

这一结论保证了建立在X 的对偶空间*X 上的研究是有意义的。

这是Hahn —Banach 定理在对偶空间理论的一个基本问题上的应用。

推论 4 设E 是赋范线性空间。

那么，00,0x E x ，必有*fE ，满足00()f x x 及1f。

这个推论说明，在每个赋范线性空间0E上必有“足够多”的非零连续线性泛函。

这里所谓“足够多”，是指多到足以用来分辨E 中不同的点的程度。

这样，就保证了共轭空间*E 有实质性的内容。

3 Hahn – Banach 定理的推广对于Hahn - Banach 延拓定理，杨福林与李东进在《Hahn - Banach 延拓定理》中，作了如下推广并给出了相关证明，见下面叙述。

为了行文方便起见，现将有关概念简述如下： 定义1 线性空间X 上的泛函试p(x)称为对称的，是指R ，均有p(ax)==·p(x)对称的拟度规泛函称为拟半范数。

定义2 集合E 称为有序集合，是指对E 中某些元素之间定义了一个序关系人，且关系人满足下面三个条件：(1) 传递性，若x<y ，且yz ，那么x <z ；(2) 自反性，若xE ，那么x x ；(3) 反对称性，若x<y ，且yz ，那么有x=y 。

定义3 集合E 称为是全序集合，是指它是一个有序集合，并且yx E 、，有x y y x引理1 (Zorn}) 如果E 是非空的有序集合，且E 内每一个全序子集都有上界，则E 至少有一个极大元。

引理2 设p(x)是定义在实线性空间X 上的拟度规泛函（拟次加正齐性泛函称为拟度规泛函.），i f 是定义在线性集i E X 上的实线性泛函，且i xE ，均有()()i f x p x 。

设是所有的对(,i i E f )组成的集合.且若ij E E 时，j i f f 是在i E 上的延拓，即i xE ，x x j i f f （）＝（）则集至少存在一个极大元。

证明：显然非空.若ij E E ，定义序关系为i i j j （E f ）（E f ），由定义4，显然是一有序集合，设0是的任一全序子集.令{(,)}i i i E E E f则0E 是线性集。

事实上，012,,x x E 由0E 定义可知对应有集合12,E E ，使得1122,x E X E ,且11220()().E f E f 由是全序集，不妨设1122()()E f E f ，于是12E E ，从而122,,,x x E R ，有0122x x E E故0E 是线性集。

0xE ，必存在某个E 集，使得xE ，且0()E f ，令0()()f x f x ，可见0xE ，0()f x 皆有定义且是0E 上的实线性泛函。

有000(,)E f ，并且00(,)E f 是的上界。

故中任一全序子集都存在上界。

由引理1知必至少存在一个极大元max max (,)E f ，证毕。

Hahn – Banach 定理的推广：设()p x 是定义在实线性空间X 上的拟度规泛函，1f 是定义在线性集1E X 上的实线性泛函，且满足：1()()f x p x1xE那么必存在定义在X 上的实线性泛函1()f x ，满足 （1） 11,()()x E f x f x（2） ,()()xX f x K p x应用以上的两个引理，可以证明该定理是正确的，详细证明从略，有兴趣的查看杨福林与李东进写的《Hahn - Banach 延拓定理》，其中有详细的证明过程。

由上可见，只要在Hahn – Banach 定理的推广中令K 为1即为Hahn - Banach 延拓定理。

4 Hahn – Banach 定理的应用试分析说明R 上的连续凸函数能否延拓成2R 上的连续凸函数？ 证明：首先考虑线性的连续凸函数的情况。

不妨设()f x kx 为R 上的线性连续凸泛函，则1212(,)F x x kx kx可以考虑1sup ()xF f x则有121212()(,)()()F x F x x kxkx kx x kxf x且1sup x f kxk，11sup ()sup x x F f x kxk故有F f从而可以延拓。