2．2 二项分布及其应用2．2.1 条件概率整体设计教材分析条件概率的概念在概率理论中占有十分重要的地位，教科书只是简单介绍条件概率的初等定义．为了便于学生理解，教材以简单事例为载体，逐步通过探究，引导学生体会条件概率的思想．课时分配1课时教学目标知识与技能通过对具体情境的分析，了解条件概率的定义，掌握简单的条件概率的计算． 过程与方法发展抽象、概括能力，提高解决实际问题的能力．情感、态度与价值观使学生了解数学来源于实际，应用于实际的唯物主义思想．重点难点教学重点：条件概率定义的理解．教学难点：概率计算公式的应用．教学过程探究活动抓阄游戏：三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小．活动结果：法一：若抽到中奖奖券用“Y”表示，没有抽到用“Y ”表示，那么三名同学的抽奖结果共有三种可能：Y Y Y ，Y Y Y 和Y Y Y.用B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”，则B 仅包含一个基本事件Y Y Y.由古典概型计算公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为P(B)＝13. 故三名同学抽到中奖奖券的概率是相同的．法二：(利用乘法原理)记A i 表示：“第i 名同学抽到中奖奖券”的事件，i ＝1,2,3，则有P(A 1)＝13，P(A 2)＝2×13×2＝13，P(A 3)＝2×1×13×2×1＝13. 提出问题：如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？设计意图：引导学生深入思考，小组内同学合作讨论，得出以下结论，教师因势利导． 学情预测：一些学生缺乏用数学语言来表述问题的能力，教师可适当辅助完成．师生共同指出：因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件只有Y Y Y 和Y Y Y .而“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件仍是Y Y Y.由古典概型计算公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为12，不妨记为P(B|A)，其中A 表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”．进一步提出：已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？共同指出：在这个问题中，知道第一名同学没有抽到中奖奖券，等价于知道事件A 一定会发生，导致可能出现的基本事件必然在事件A 中，从而影响事件B 发生的概率，使得P(B|A)≠P(B)．提出问题：对于上面的事件A 和事件B ，P(B|A)与它们的概率有什么关系呢？活动结果：用Ω表示三名同学可能抽取的结果全体，则它由三个基本事件组成，即Ω＝{Y Y Y ，Y Y Y ，Y Y Y}．既然已知事件A 必然发生，那么只需在A ＝{Y Y Y ，Y Y Y}的范围内考虑问题，即只有两个基本事件Y Y Y 和Y Y Y .在事件A 发生的情况下事件B 发生，等价于事件A 和事件B 同时发生，即AB 发生．而事件AB 中仅含一个基本事件Y Y Y ，因此P(B|A)＝12＝n AB n A. 理解新知(几何解释)其中n(A)和n(AB)分别表示事件A 和事件AB 所包含的基本事件个数．另一方面，根据古典概型的计算公式，P(AB)＝n(AB)n(Ω)，P(A)＝n(A)n(Ω)， 其中n(Ω)表示Ω中包含的基本事件个数．所以，P(B|A)＝n(AB)n(A)＝n(AB)n(Ω)n(A)n(Ω)＝P(AB)P(A). 因此，可以通过事件A 和事件AB 的概率来表示P(B|A)．(给出定义)1．定义设A 和B 为两个事件，P(A)>0，称P(B|A)＝P(AB)P(A)为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．P(B|A)读作A 发生的条件下B 发生的概率．补充说明：由这个定义易知，P(AB)＝P(B|A)·P(A)．(概率的乘法公式)提出问题：根据概率的性质可以得到P(B|A)的哪些性质？活动结果：2．P(B|A)的性质(1)非负性：0≤P(B|A)≤1；(2)规范性：P(Ω|B)＝1；(3)可列可加性：如果B 和C 是两个互斥事件，则P(B ∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 运用新知例1考虑恰有两个小孩的家庭．若已知某家有男孩，求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩(相当于第二个也是男孩)的概率．(假定生男生女为等可能)解：Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}．设B ＝“有男孩”，则B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}．A ＝“有两个男孩”，则A ＝{(男，男)}，B 1＝“第一个是男孩”，则B 1＝{(男，男)，(男，女)}于是得P(B)＝34，P(BA)＝P(A)＝14，∴P(A|B)＝P(BA)P(B)＝13； P(B 1)＝12，P(B 1A)＝P(A)＝14，∴P(A|B 1)＝P(B 1A)P(B 1)＝12. 例2一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．解：设“第i 次按对密码”为事件A i (i ＝1,2)，则A ＝A 1∪(A 1A 2)表示“不超过2次就按对密码”．(1)因为事件A 1与事件A 1A 2互斥，由概率的加法公式得P(A)＝P(A 1)＋P(A 1A 2)＝110＋9×110×9＝15. (2)用B 表示“最后一位按偶数”的事件，则P(A|B)＝P(A 1|B)＋P(A 1A 2|B)＝15＋4×15×4＝25. 设计意图：以上两题都是从实际中来，到实际中去，这也是我们学习数学的目的所在．【变练演编】盒中有球如下表：任取一球，若已知取的是蓝球，问该球是玻璃球的概率．(411) 变式：若已知取的是玻璃球，求取的是蓝球的概率．(23) 【达标检测】1．一批产品中有4%的次品，而合格品中一等品占45%.从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概率．解：设A 表示“取到的产品是一等品”，B 表示“取出的产品是合格品”，则P(A|B)＝45%，P(B )＝4%，于是P(B)＝1－P(B )＝96%.所以P(A)＝P(AB)＝P(B)P(A|B)＝96%×45%＝43.2%.2．掷两颗均匀骰子，已知第一颗掷出6点，问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少？ 解：设A ＝{掷出点数之和不小于10}，B ＝{第一颗掷出6点}，所以P(A|B)＝n(AB)n(B)＝36＝12. 课堂小结1．条件概率：P(B|A)＝P(AB)P(A)＝n(AB)n(B). 2．概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系：P(AB)表示在样本空间Ω中，计算AB 发生的概率，而P(B|A)表示在缩小的样本空间ΩA 中，计算B 发生的概率．用古典概率公式，则P(B|A)＝AB 中样本点数ΩA 中样本点数，P(AB)＝AB 中样本点数Ω中样本点数. 补充练习【基础练习】1．抛掷一颗质地均匀的骰子所得的样本空间为S ＝{1,2,3,4,5,6}，令事件A ＝{2,3,5}，B ＝{1,2,4,5,6}，则P(A)＝________，P(B)＝________，P(AB)＝________，P(A|B)＝________.(12；56；13；25) 2．一个正方形被平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(假设每次都能投中)，设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，求P(AB)，P(A|B)．解：P(AB)＝19；P(A|B)＝14. 【拓展练习】某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率．解：设A 表示“活到20岁”(即≥20)，B 表示“活到25岁”(即≥25)，则P(A)＝0.7，P(B)＝0.56，故P(B|A)＝P(AB)P(A)＝P(B)P(A)＝0.8. 设计说明好的教学情境的创设，等于成功的一半．因而，以一个轻松愉快的抽奖券游戏把学生带进一个轻松愉快的课堂环境中．从游戏开始，诱思深入，把老师在堂上讲、学生在堂下听的教学过程变为师生共同探索，共同研究的过程．学生围绕老师提出的一系列具有趣味性和启发性的层层深入的问题，展开讨论，使问题得到解决，从而突出本节重点，突破本节难点．备课资料备用例题：1．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则(1)两次都是正面向上的概率是________．(2)在已知有一次出现正面向上的条件下，两次都是正面向上的概率是________．答案：(1)14 (2)122．在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．解：设“第1次抽到理科题”为事件A ，“第2次抽到理科题”为事件B ，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB.(1)从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为n(Ω)＝A 25＝20.根据分步乘法计数原理，n(A)＝A 13×A 14＝12.于是P(A)＝n(A)n(Ω)＝1220＝35. (2)因为n(AB)＝A 23＝6，所以P(AB)＝n(AB)n(B)＝620＝310. (3)解法1：由(1)(2)可得，在“第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题”的概率为P(B|A)＝P(AB)P(A)＝31035＝12. 解法2：因为n(AB)＝6，n(A)＝12，所以P(B|A)＝n(AB)n(A)＝612＝12. 3．一个袋中装有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到白球”为A ；事件“第二次抽到白球”为B.(1)分别求事件A 、B 、AB 发生的概率；(2)求P(B|A)．解：同2.(设计者：王宏东 李王梅)。