yi－ ^yi2 ＝
＝ 0.845 ， R 2 乙＝1－
2
n
i＝1 n
yi－ ^yi2
＝
i＝1
n
i＝1
yi－ y
yi－ y 2甲 模源自拟合的效果更好． 0.82，则________
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自测自评
1．下列变量是相关关系的是( D ) A．人的身高与视力
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统计案例
3.1 回归分析的基本思想及其初步应用
3．1.1 线性回归方程
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基础梳理
1．回归分析是对具有________ 相关关系的两个变量进行统计分析 的一种常用方法． 例如：身高与体重有关系可以用 ______分析的方法来研 究．( B ) A．残差 C．二维条形图 B．回归 D．独立检验
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4.(2012年江门一模)有人收集了春节期间平均气温x与某取 暖商品销售额y的有关数据如下表： 平均气温/℃ 销售额/万元 －2 20 －3 23 －5 27 －6 30
根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y与平均 ˆ ＝－2.4.则预测平 ˆ x＋ a ˆ 的系数 b 气温x之间线性回归方程y＝ b 均气温为－8 ℃时该商品销售额为( )
B．角的大小与所对的圆弧长
C．收入水平与消费水平
^ 2．若线性回归方程中的回归系数 b ＝0，则相关系数为 ________ ． 0 D．人的年龄与身高
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3.(2011年长沙一中月考)在对两个变量x、y进行线性回归 分析时一般有下列步骤： ①对所求出的回归方程作出解释；②收集数据(xi，yi)，i ＝ 1,2 ， … ， n ；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据 所搜集的数据绘制散点图．如果根据可靠性要求能够判定变 量x，y具有线性相关性，则在下列操作顺序中正确的是( D ) A．①②⑤③④ B．③②④⑤① C．②④③①⑤ D．②⑤④③①
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分析：从散点图可以直观地 看出变量x与y之间有无线性相关 关系，为此把这8对数据描绘在平 面直角坐标系中，得到平面上8个 点，如下图所示． 由图容易看出，x与y之间有线性相关关系．故可用线性 回归模型解决．
解析：数据列表如下：
序号 1 x y x2 xy
1.40
n
n
R2＝1－
相关指数： ____________________ ， R2 的值越大，说明 i＝1 ____________ 越好 ． 残差平方和 越小，模型的拟合效果________ 例如：在两个变量 y与 x 的回归模型中，分别选择了甲、 乙两个不同的模型，它们的相关指数R2如下：
i 1 2 R甲 ＝1－ n
165 48
165 57
157 50
170 54
175 64
165 61
155 43
170 59
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由此建立的身高与体重的回归模型为 y ＝ 0.849x － 85.712 ， 用这个模型预报一名身高为172 cm的女大学生的体重，则正 确的叙述是( ) C A．体重一定是60.316 kg B．体重在60.316 kg以上 C．体重在60.316 kg左右 D．体重在60.316 kg以下 3．相关系数：r＝
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跟踪练习 1．在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x(万元)和 需求量y(t)之间的一组数据为： 价格x 需求量y
5
1 1.4 12
5
2 1.6 10
3 1.8 7
4 2 5
5 2.2 3
2 已知∑ x y ＝ 62 ，∑ x ＝16.6. i＝1 i i i＝1 i
故所求的回归直线方程为y＝34.67＋0.29x. 当 x＝56.7 时，y＝34.67＋0.29×56.7＝51.113. 估计成熟期有效穗为 51.113.
^ ^ ^ ^
(3)由于 y ＝bx ＋a＋e ，可以算出ei＝yi －yi，分别为e 1＝ 0.38，e2＝0.748，e3＝－0.47，e4＝－2.184，e5＝1.654.
1.70
1.96
2.380
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2 3 1.50 1.60 1.79 1.88 2.25 2.56 2.685 3.008
4 5 6 7 8
∑
1.70 1.80 1.90 2.00 2.10 14.00
1.95 2.03 2.10 2.16 2.21 15.82
2.89 3.24 3.61 4.00 4.41 24.92
i＝1
残差平方和 回归平方和 回归值与样 总偏差平方和－残差平 本值差的平 方和 方和
i＝1
(yi－ y )
n
2

n
2 (yi－ y )2－ (yi－ ^yi)2 (yi－ ^ ) yi i＝1 i＝1
n
n
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i ＝1
yi－ ^yi2 yi－ y 2
x· y ＝1 320.66， y 2＝1 892.25， x 2＝921.729 6， ∑ x y ＝6 746.76. i＝1 i i
∑ x y －5 x y ^ ^ i ＝1 i i 由b＝ ≈0.29，a＝ y －b x ≈34.67， 5 2 2 ∑ x －5 x i ＝1 i
^ 5
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－ － x y ＋ x y ＋…＋ x y － n x · y ^ 1 1 2 2 n n ^＝ ^ x. ， ＝ y － b a b x2＋x2＋…＋x2－n x 2
1 2 n
例如：从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重 数据如下表所示： 编号 身高/cm 体重/kg 1 2 3 4 5 6 7 8
A．34.6万元
C．36.6万元
B．35.6万元
D．37.6万元
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－16 100 解析： x ＝ ＝－4， y ＝ ＝25，由题意知， 4 4 ^ ＝－2.4x＋^ y a过(－4,25)，25＝－2.4×(－4)＋^ a，得 ^ ^＝－2.4x＋15.4.当 x＝－8 时， a＝25－9.6＝15.4.所以y y＝19.2＋15.4＝34.6，故选 A. 答案：A
3.315 3.654 3.990 4.320 4.641 27.993
1 于是， x ＝ ×14.00＝1.75， 8 1 y ＝ ×15.82＝1.977 5. 8
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^ ＝27.993－8×1.75×1.977 5＝11≈0.733. b 15 24.92－8×1.752 ^ ＝1.977 5－11×1.75≈0.694. a 15 ^＝0.694＋0.733x. y对x的回归直线方程为y 回归系数 ^ b ＝ 0.733 的含义是，在此灌溉渠道中，水深每
^＝0.694可以解释 增加0.1 m，水的流速平均增加0.733 m/s， a 为水的流速中不受水深影响的部分． (2) 由 (1) 中求出的回归直线方程，把 x ＝ 1.95 代入，易得 ^＝0.694＋0.733×1.95≈2.12(m/s)． y 计算结果表明，当水深为1.95 m时可以预测渠水的流速 约为2.12 m/s.
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解析：(1)散点图如下： (2)由图看出，样本点呈条状分布， 有比较好的线性相关关系，因此可以用 线性回归方程刻画它们之间的关系．
设回归方程为y＝bx＋a， x ＝30.36， y ＝43.5，
2 ∑ x ＝5 i＝1 i 5 5 2 101.56，∑ y ＝9 511.43. i＝1 i 5 ^ ^ ^
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2．从散点图看，若样本点集中在某一条直线附近，则可 用下面的线性回归模型来表示：________________. 其中a和b y＝bx＋a＋e ^和^ 为模型的未知参数， e 称为________ b称为未知参数 a 随机误差．把 a 和b的________ 最好估计，
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线性回归分析
研究某灌溉渠道水的流速 y 与水深 x 之 间的关系， 测得一组数据如下： 水深x/m 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10 流速y/ 1.70 1.79 1.88 1.95 2.03 2.10 2.16 2.21 (m·s－1) (1)求y对x的回归直线方程； (2)预测水深为1.95 m时水的流速是多少？
2 残差平方和：∑ e ≈8.43. i＝1 i 2 (4)∑ ( y － y ) ＝50.18， i i＝1 8.43 2 ∴R ＝1－ ≈0.832. 50.18 所以解释变量小麦基本苗数对总效应约贡献了 83.2%.残 差变量贡献了约 1－83.2%＝16.8%. 5 5 ^ ^ ^ ^ ^
^
^ ^
^
^
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残差分析
假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关 关系，今测得5组数据如下： x y 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4 39.4 42.9 42.9 43.1 49.2
(1)以x为解释变量，y为预报变量，作出散点图； (2) 求 y 与 x 之间的回归方程，并对于基本苗数 56.7 预报有 效穗； (3)计算各组残差，并计算残差平方和； (4)求相关指数R2，并说明残差变量对有效穗的影响占百 分之几．