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2012年第二届全国学而思综合能力测评（学而思杯）
数学试卷（六年级）
考试时间：90分钟
满分：150分
考生须知：请将所有的答案填写在答题纸上 1． 计算1419891
50812012201120112011
+⨯++= 。
【答案】2016
2． 现在全世界每6个人中就有1人挨饿，如果我们的目标是让10个人中才有1个挨饿的人，
假设全世界现有60亿人，并且人数一直不变，那么我们需要解决 亿人的吃饭问题。
【答案】4
3． 比2012小，而且与2012互质的数有 个 【答案】1004个
4． 少年宫手工组里小朋友做工艺娃娃。
每个人各做一个纸娃娃，接着每两个人在一起合做
一个布娃娃，每三个人在一起合做一个泥娃娃，每四个人在一起合做一个电动娃娃，做完后清点一下，一共做了100个娃娃，那么手工组里共有 个小朋友。
【答案】48
【解析】12个小朋友可以做3个电动娃娃，4个泥娃娃，6个布娃娃，12个纸娃娃，共25个
娃娃，所以48个小朋友可以做100个娃娃。
5． A 、B 、C 三个试管中各盛有10克、20克、30克水．把某种浓度的盐水10克倒入A 中，
充分混合后从A 中取出10克倒入B 中，再充分混合后从B 中取出10克倒入C 中，最后得到的盐水的浓度是0.5%，则开始倒入试管A 中的盐水浓度是 %。
【答案】12
【解析】用方程易得，12%。
6． 下图三个图形，分出五个部分，这五部分面积为连续的自然数，它们的和等于100，三
角形面积等于39，圆的面积58，正方形的面积40。
则③和⑤的面积之和为
⑤
④
③
②
①
【答案】43
【解析】首先，易得这五部分的面积之一为20，其次由于三角形和正方形面积之和为79，则
第三部分面积为21，这样的话这五部分的面积为18,19,20,21,22.进一步推理即可得答案。
第三部分和第五部分面积之和为43
7． 有一个神奇的四位数，去掉它的末位数字变成一个三位数，再去掉这个三位数的末位数
字变成一个两位数，将这三个数相加的和为2012，则这个神奇的四位数是 【答案】1813
8． 以一个面积为100平方厘米的正方形的边长的一半为直径向外作8个半圆，如图所示，
现沿着线将图形剪开，形成8个半圆及一个正方形，则8个半圆的周长之和比正方形的周长之和大______厘米。
（π取3）
【答案】60
9． 一个小游戏有如下规则，主持人给出一个关于a 和b 的式子，答题者需要在规定时间
说出a b ⨯的最大值。
例如：8a b +=，那么a b ⨯的最大值为16。
现在主持人告之，3284a b +=，那么a b ⨯的最大值为 。
【答案】294
10． 假设自然数m 除以5的余数等于自然数n 除以6的余数，而m 除以6的余数等于n 除以
5的余数，m n +除以30的余数共有 种。
【答案】9 【解析】设115,6m a
r n b
r ÷=÷=，而226,5m c
r n d
r ÷=÷=，可得1256m a r c r =+=+，
1265n b r d r =+=+，那么()()121256m n a d r r b c r r +=+++=+++，所以12
m n r r +--是30的倍数，则有多少个12r r +就有多少个余数的种类，1r 共有0,1,2,3,4五种，2r 共有0,1,2,3,4五种，12r r +共有9种。
11． 某商品按定价出售，每个可获利润45元，如果按定价的70%出售10件，与按定价每个
减价25元出售12件所获的利润一样多，那么这种商品每件定价 元． 【答案】70
【解析】用方程，设每件定价x 元，可列方程()()1070%45122545x x x x --=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，解
得70x =。
12． 霍格沃兹城堡里有一段奇怪的楼梯，它从下到上分为AB ，BC 两段，AB 段楼梯会一直
以固定速度自动向上移动，BC 段在晴天的时候会固定不动，在雨天的时候会以与AB 段相同的速度往上移动，雪天的时候会以与AB 段相同速度向下移动。
哈利波特晴天从A 走到C 用时10分钟，从C 到A 用时16分钟；雨天哈利波特从A 到C 用时9分钟，如果哈利波特步行的速度一直保持不变，那么雪天的时候哈利波特从C 走到A 需要 经过 分钟。
【答案】15
【解析】设哈利波特步行速度为1v ，楼梯的移动速度为2v 。
假设晴天的时候哈利波特从B 到C
用时x 分钟。
则雨天的时候哈利波特从B 到C 用时()9101x x --=-分钟。
路程一定，速度与时间成反比。
因此可得()()121::1v v v x x +=-，则()2:11:1v v x =-。
同理晴天哈利波特从A 到B 用时10x -分。
从B 到A 用时16x -分，则
()()()()
12:1216:10v v v v x x +-=--，所以
()1:213:3
v v x =-。
所以
()()13:31:1x x -=-，4x =，则雨天哈利波特从B 到C 用时3分钟，相当于雪天从C
到B ，雪天从B 到A 用时与晴天一致，为16412-=分钟，则雪天从C 到A 用时15分钟。
13． 如图，正六边形123456A A A A A A 的每一条边都扩大两倍得到一个新的正六边形
123456B B B B B B ，则大正六边形面积是小正六边形面积的 倍。
B B B B B 2
B 1
A 6
A 5
A 4
A 3
A 2
A 1
【答案】7
【解析】连结26A A ，三角形112A B B 和三角形126A A A 构成鸟头模型，易得，7倍。
14． 在算式
70ABC EF
D GH
+=中：A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 分别代表数字1、2、3、4、5、
6、7、8，已知A =2，H =3，则____BCEF =。
【答案】5678 【解析】
8,62EF ABC
GH D
<>，由A =2，得D 只能取4，G 取1 此时等式两边同乘以4，得知
413
EF
⨯必须为整数，所以E =7，F =8 从而B =5，C =6。
最终BCEF =5678
15． 学而思商店为提倡环保，新推出了空瓶回收服务，规定可以用5个空啤酒瓶换1瓶牛奶，
10个空牛奶瓶换1瓶啤酒。
小新在家里找到了60个空瓶去交换，最后总共只剩下1个啤酒瓶（换得的瓶子可再用于交换），那么小新找到的啤酒瓶有 个。
【答案】38
【解析】每进行一次5换1的交换，手中的瓶子就会少4个，而每进行一次10换1的交换，
手中的瓶子就会少9个，设交换的次数分别为,x y ，则4959x y +=，该不定方程只有
一组自然数解8
3x y =⎧⎨=⎩
，则原先的啤酒瓶可列方程51n x y -+=，则38n =
16． △ABC 是一个等边三角形跑道，D 在A 、B 之间，且有AD:BD = 2:3，某日甲、乙、丙三
人从A 、B 、C 同时出发（如图所示），甲、乙按顺时针方向跑步，丙按逆时针跑步，当甲、丙第一次相遇时，乙正好走到B ；当乙、丙第二次相遇是在D 时，甲走了2012米. 那么，△ABC 的周长是 米．
B C D
甲
乙丙
【答案】7545。