5200
2100
求矩阵
的逆阵（ 10 分）
0083
0052
解 设A
52 21
B
83 5 2 -------------------------------------------2
分
则
1
A1
52 21
1
1 2
2 5
B1
83 52
23 5 8 ----------6 分
1
5200
2100
A
1 A1
于是
10 1
第 2页共4页
五、 得分
x1 x2 设 x1 x2
x1 x2
（ 3）有无穷多解 ? （ 15 分）
x3 1
x3
问 为何值时
x3 2
此方程组（ 1）有唯一解（ 2）无解
解B
11 1 r 1 1 1 1 ~0 1 1 1 1 2 0 0 (1 )(2
2
(1 ) ) (1 )( 1)2
----------6 分
1
11 1
(e1, e2, e3) (a1, a2, a3) 1 0 0 -------------------------------------4 分 1 11
123
于是
(b1, b2, b3) (e1, e2, e3) 2 3 4 -----------------------------------------6 分
再将各列都加到第一列上 得
x (n 1)a a a
0 xa 0
Dn
0
0 xa
a
0 0 -------------------8 分
0
0 0 0xa
[x ( n 1)a]( x a)n 1 -------------------------------------------------10
分
二、 得分
143
1 1 1 1123
(a1, a2, a3) 1 0 0 1 11
2 3 4 ---------------------------10 分 143
由基 a1 a2 a3 到基 b1 b2 b3 的过渡矩阵为
1
1 1 1 123 P 1 0 0 234
1 11 1 43
234 0 1 0 -----------------------12 分
(
1 3 1) T (2
T
1 0) (1
T
4 1)
是线性相关
还 是 线 性 无 关 ；（ 2 ） 试 用 施 密 特 法 把 向 量 组 (a1, a 2 , a 3 )
正交化（ 16 分）。 解： (1)以所给向量为列向量的矩阵记为
A 因为
11 1 12 4 13 9
12 1 r 12 1 r 12 1
(1)要使方程组有唯一解 必须 R(A) 3 因此当 1 且 2 时方程组有唯一解 .-----9 分
(2)要使方程组无解 必须 R(A) R(B) 故 (1 )(2 ) 0 (1 )( 1)2 0
因此 2 时 方程组无解 ----------------------------------------------------------------------------12
分
1
b2
a2
[b1,a2] [ b1,b1]
b1
1 0 --------------------------------------------------5 分
1
b3
a3
[ b1,a3] [ b1,b1]
b1
[ [
b2,a3] b2,b2]
为其基础解系向量 --------------------------------------------------------------------10
分
故此方程组的通解为：
x k(3 4 5 6)T (2 3 4 5) T (k R ) ---------------------12 分
四、 得分
分
(3)要使方程组有有无穷多个解 必须 R(A) R(B) 3 故 (1 )(2 ) 0 (1 )( 1)2 0
因此当 1 时 方程组有无穷多个解 .---------------------------------------------------------------15
分
六、 得分
（ 1）判定向量组
已知 R3 的两个基为
a1 (1 1 1) T a2 (1 0
T
1)
a3 (1
0
1) T； b1 (1
2
1) T
b2 (2
3
T
4)
b3 (3 4
T
3)
求由基 a1 a2 a3 到基 b1 b2 b3 的过渡矩阵 P （ 12 分 ）
解：设 e1 e2 e3 是三维单位坐标向量组 则
11 1
(a1, a2, a3) (e1, e2, e3) 1 0 0 ----------------------------------------2 分 1 11
学期：
Байду номын сангаас
大学 试 卷 评分标准及参考答案
至
学年度 第
学期
课程： 线性代数
一、 得分
计算行列式 Dn
xa ax
aa
a a (10 分)
x
解 将第一行乘 ( 1)分别加到其余各行 得
x aa a xx a 0 Dn a x 0 x a
a 0 0 -------------------------4 分
a x 0 0 0x a
0083
B
B1
120 0 2 500 0 0 2 3 -------10 分
0052
0 058
第 1页共4页
三、 得分 是它的三个解向量
设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为
3 已知 1 2 3
且
1 (2 3 4 5) T
T
2 3 (1 2 3 4) 求该方程组的通解
（12 分）
解：由于方程组中未知数的个数是 4 系数矩阵的秩为 3 所以对应的齐次线性方程组的基础解
A
~ ~ 3 1 4
077
0 1 1 ---------------------------6 分
10 1 022 000
所以 R(A) 2 小于向量的个数 从而所给向量组线性相关 ----------------------------8 分 （ 2）根据施密特正交化方法
1
b1 a1 1 ----------------------------------------------------------------------2
系含有一个向量 -----------------------------------------------------------------------4
分
且由于 1 2 3 均为方程组的解 由非齐次线性方程组解的结构性质得 2 1 ( 2 3) ( 1 2) ( 1 3) (3 4 5 6) T