【精品】（托勒密定理）四边形ABCD 内接于圆，求证：AC BD AD BCAB CD ⋅=⋅+⋅．【解析】如图，在BD 上取一点P ，使其满足12∠=∠．∵34∠=∠，∴ACD BCP △∽△，AC ADBC BP=， 即AC BP AD BC ⋅=⋅ ① 又ACB DCP ∠=∠，56∠=∠，∴ACB DCP △∽△，AB ACDP CD=，AC DP AB CD ⋅=⋅． ② ①+②，有AC BP AC PD AD BC AB CD ⋅+⋅=⋅+⋅．即()AC BP PD AD BC AB CD +=⋅+⋅，故AC BD AD BC AB CD ⋅=⋅+⋅．【教师备课提示】这道题主要考查利用圆幂定理证明四点共圆．（1）如图2-1，点P 为等边ABC △外接圆的BC 上一点，线段PA 、PB 、PC 间的数量关系为____．（2）如图2-2，AB 为⊙O 的直径，∠ABD =45°，点C 为ABD △外接圆的AB 上一点，线段CA 、CB 、CD 间的数量关系为____________．（3）如图2-3，30ABC ACB ∠=∠=︒，点D 为ABC △外接圆的BC 上一点，线段DA 、DB 、DC 间的数量关系为_____________．图2-1 图2-2 图2-3【解析】（1）PA PB PC =+；（2）2CA CB CD +=；（3）3DB DC DA +=．【教师备课提示】这道题主要利用托勒密定理解决圆中的Y 字模型，建议讲2中方法．OD CBAABCP ODAOC D C A B D C126345PA B如图，O 的直径AB 的长为10，直线EF 经过点B ，且CBF CDB∠=∠，连接AD ．（1）求证：直线EF 是O 的切线； （2）若点C 是弧AB 的中点，6BD =，求CD 的长．【解析】（1）∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒即90ADC CDB ∠+∠=︒， ∵ADC ABC ∠=∠，CBF CDB ∠=∠， ∴90ABC CBF ∠+∠=︒，即90ABF ∠=︒， ∴AB EF ⊥∴EF 是O 的切线； （2）法1：作BG CD ⊥，垂足是G ，由题45ADC CDB ∠=∠=︒，∴32BG DG ==，∵DAB DCB ∠=∠，∴3tan 4BG DCB CG ∠==，∴42CG =，∴423272CD CG DG =+=+=．法2：由托勒密定理，214BD AD CD +==，∴72CD =．【教师备课提示】这道题主要让孩子们练习哈，注意书写过程．（1）（13年成外直升）如图4-1，ABC △内接于O ，AB AC =；当动点P 在O 上从点B 出发，按逆时针方向向点C 运动时，PB PCPA+的值（ ）．A ．保持不变B ．先减小后增大C ．先增大后减小D ．无法判断（2）（2013成都中考）如图4-2，A ，B ，C 为O 上相邻的三个n 等分点，AB BC =，点E 在弧BC 上，EF 为O 的直径，将O 沿EF 折叠，使点A 与A'重合，点B 与B'重合，连接EB'，EC ，EA'.设EB'b =，EC c =，EA'p =．先探究b ，c ，p 三者的数量关系：发现当3n =时，p b c =+．请继续探究b ，c ，p 三者的数量关系：当4n =时，p =__________；当12n =时，p =__________． （参考数据：62sin15cos754-︒=︒=，62cos15sin 754+︒=︒=）图4-1 图4-2【解析】（1）A ；（2）2p c b =+；622p c b +=+． 【教师备课提示】这道题主要考查托勒密定理中考和直升考试中的应用，等腰三角形的Y 字模型．A'FABOB'C EAD OEBCFADOEBC FGA BO P C如图，过A 的圆截平行四边形ABCD 的边和对角线分别于P ，Q ，R ，求证：AP ABAQ AD AR AC ⋅+⋅=⋅．【解析】连接PQ 、PR 、QR ．在圆内接四边形APRQ 中，由托勒密定理得AP QR AQ PR AR PQ ⋅+⋅=⋅．又∵12∠=∠，34∠=∠，∴PQR CAB △∽△，于是QR PR PQAB BC CA==． 设上面的比值为k ，并考虑到BC AD =有QR k AB =⋅，PR k AD =⋅，PQ k CA =⋅， 于是可推得AP AB AQ AD AR AC ⋅+⋅=⋅．【教师备课提示】这道题主要考查托勒密定理和相似综合．如图，圆G 过坐标原点，交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，点C 为圆上一点，且OC 平分AOB ∠交AB 于点F ．CE y ⊥轴于E 交AB 于点H ，连接EG ． （1）求证：CBF COB △△∽；（2）请探究OE 、AE 和EG 这三条线段之间的数量关系，写出你的结论并证明． 【解析】（1）证明：∵OC 平分AOB ∠，∴AC BC =，45AOC COB ∠=∠=︒， ∴45CBF COB ∠=∠=︒，∵OBC BCF ∠=∠（公共角）， ∴CBF COB ∽△△；（2）法1：连接CG ，则290AGC AOC ∠=∠=︒，∴90AGC AEC ∠=∠=︒， ∴A 、E 、C 、G 四点共圆，由托勒密定理2CE AE EG =+，又CE OE =， ∴2OE AE EG =+；法2：在CE 上截取CQ AE =，连接GC 、GQ ，EG ．∵AC BC =，∴CG AB ⊥，∴90GCQ GHC ∠=︒-∠，∵CE y ⊥轴，∴90GAE AHE ∠=︒-∠，∵AHE GHC ∠=∠，∴GAE GCQ ∠=∠， ∴EAG QCG ≌△△，∴EG GQ =，AGE CGQ ∠=∠，∴90EGQ AGE AGQ AGQ CGQ ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∴EG GQ ⊥， ∴EGQ △是等腰直角三角形，∴2EQ EG =，又OE CE =，AE QC =， ∴2OE AE CE CQ EQ EG -=-==；∴2OE AE EG -=．【教师备课提示】这道题主要考查要用托勒密定理，先证四点共圆．D C Q A R P B D C Q A RP B 1423yxO BAE HC G F已知AB 为O 的直径，CD 为O 的一条弦，顺次连接AC 、CB 、BD 、DA ．（1）当45ACD ∠=︒（如图1-1）时，线段CA 、CB 、CD 间的数量关系为_____________； （2）当30ACD ∠=︒（如图1-2）时，求证：32CA CB CD +=．图1-1 图1-2【解析】（1）2AC BC CD +=；（2）如图，过点A 作AE CD ⊥，过点O 作OF BC ⊥，连接OC 、OD ．∵30ACD ∠=︒，90AEC ∠=︒，∴32CE AC =． ∵OF BC ⊥，∴12CF BC =．∵30ACD ∠=︒，∴60AOD ∠=︒．又∵OA OD =，∴AOD △为等边三角形．∴AD OC =．∵12ADC AOC ∠=∠，12OCF AOC ∠=∠，∴ADC OCF ∠=∠．在ADE △和OCF △中，AED OFC ADC OCF AD OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADE OCF △≌△．∴DE CF =．∴12DE BC =． ∵CE ED CD +=，∴3122AC BC CD +=． ∴32AC CB CD +=．另解：直接用托勒密定理．演练 1A D OCBA DO CBA D OC BEF如图，A ，P ，B ，C 是O 上的四个点，60APC BPC ∠=∠=︒，过点A 作O 的切线交BP 的延长线于点D ． （1）求证：ADP BDA △∽△；（2）试探究线段P A ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论．【解析】（1）证明：作O 的直径AE ，连接PE ，∵AE 是O 的直径，AD 是O 的切线， ∴90DAE APE ∠=∠=︒，∴90PAD PAE PAE E ∠+∠=∠+∠=︒， ∴PAD E ∠=∠， ∵PBA E ∠=∠， ∴PAD PBA ∠=∠，∵PAD PBA ∠=∠，ADP BDA ∠=∠， ∴ADP BDA ∽△△； （2）PA PB PC +=，证明：在线段PC 上截取PF PB =，连接BF ， ∵PF PB =，60BPC ∠=︒， ∴PBF △是等边三角形， ∴PB BF =，60BFP ∠=︒， ∴180120BFC PFB ∠=︒-∠=︒， ∵120BPA APC BPC ∠=∠+∠=︒， ∴BPA BFC ∠=∠， 在BPA △和BFC △中， PAB FCB BPA BFC PB FB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AAS BPA BFC （）≌△△， ∴PA FC =，AB CB =， ∴PA PB PF FC PC +=+=． 另解：直接利用托勒密定理．DA P OBC点D 为Rt ACB △边BC 延长线上一点，点E 在边AC 上，点M 、N 分别为线段AB 、AE 的中点，连接DE 、DA ，90ACB ，ABC CED ．（1）若45ABC ，如图3-1，求证：12MN AD =；（2）在（1）的条件下，连接BE 并延长BE 交线段AD 于点F ，连接FC ，如图3-2，请你判断线段FE 、FC 与线段FD 之间的数量关系．图3-1 图3-2【解析】（1）∵90ACB ，ABC CED ，45ABC ，∴BC AC ，CE CD ，在BCE △和ACD △中，90BC AC BCE ACD CE CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴(SAS)BCE ACD △≌△，∴BEAD ，∵点M 、N 分别为线段AB 、AE 的中点，∴12MN BE =，∴12MN AD =； （2）∵BCE ACD △≌△，∴CBEEAF ，∵BEC AEF ，∴90AFB ACB ，∴A 、B 、C 、F 共圆，∴ABF ACF ，∵AEBFEC ，∴AEB FEC △∽△，∴::FE AE FC AB ，∴AEFE FC AB=⋅， ∵90BAF ABF ，90FCD ACF ，∴FCD BAD ，∵FDC BDA ，∴FCD BDA △∽△，∴，::FD BD FC AB ，∴BD FD FC AB =⋅，∴AE BDFE FD FC AB++=⋅，∵AC BC ，CE CD ，∴2AE BD AC EC BC CD AC ﹣，∵在Rt ABC △中，2AB AC =，∴2222AE BD AC ACAB AB AC +===，∴2FE FD FC +=； 另解：直接利用托勒密定理．ABCDF ME NABC DF MEN。