圆
方
内
内圆外方
1
1 1 cm
圆
方
内方外圆
1 cm
1 cm
圆与正方形的四类切接面积关系问题
秀洲区王江泾镇田乐小学 张林峰
1、内圆外方，即正方形中内切一个最大的圆。

针对教学内容要求，我们主要是来研究面积之间的关系问题。

假设圆的半径为1cm ，则圆的直径为2cm ，那么正方形的边长就是2cm ，计算圆的面积就是221r cm S πππ=⨯==，正方形的面积就是22422cm a S =⨯==。

1000
785
200157400314414.344=
====
==ππ：：方圆方
圆S S S S ，也就是说把正方形面积平均分成1000份，圆的面积占了785份，也就是占了78.5%，其余部分占了215
份，即占了21.5%。

保留π，我们可以得出：圆的面积是正方形面积的4
π
（或者
是圆的面积是正方形面积的比值是4
π
），此时单位“1”为正方形面积。

数量关系
为：圆方π
S S =⨯4
（或圆方S S =⨯%5.78）。

2、内方外圆，即圆中内接一个最大的正方形。

我们继续来研究他们的面积关系问题。

假设圆的半径为1cm ，则圆的直径为2cm ，计算圆的面积就是
圆
方圆方
221r cm S πππ=⨯==，正方形的面积要先计算1个三角形的面积，其三角形的面
积22
12112cm ah S =÷⨯=÷=，正方形面积由4个小三角形面积组成，那么正方形
面积就是2242
1cm =⨯。

（由于正方形对角线相互垂直，所以正方形面积还可以这
样计算：对角线相乘，再除以2。

此时两条对角线又是圆的直径，所以
22222cm S =÷⨯=方）
157100
31420014.3222=
=====π：π：圆方圆方S S S S ，如果把圆的面积平均分成157份，那么正方形的面积占了其中的100份，约63.7%，其余部分占了57份，约
36.3%。

包里π，我们可以得出：正方形面积是圆的面积的π
2
（或者说正方形面
积与圆的面积的比值是π2），此时单位“1”为圆的面积。

数量关系为：方圆π
S S =⨯2。

3、方圆方，即正方形内切一个最大的圆，而这个圆里面又内接一个最大的正方形。

结论：小正方形的面积是大正方形面积的
2
1
，即2÷=大正方形小正方形S S 。

验证：最大正方形的面积为单位“1“，假设2
1cm S =大正方形，此时大正方
形与圆构成了“内圆外方”，那么根据前面的结论（圆的面积是正方形面积的4
π
），
则2441cm S π
π圆=⨯=，继续来看圆与小正方形，又构成了“内方外圆”，根据前
面的结论（正方形的面积是圆面积的π
2
），则22124cm S x =⨯=ππ小正方形，综上来
看，大正方形面积与小正方形面积存在2倍关系（即小正方形与大正方形之间形
圆方圆
成的正方形环与小正方形面积相同，都是大正方形面积的
2
1）。

4、圆方圆，即圆内接了一个最大的正方形，而这个正方形里面又内切了一个最大的圆。

结论：小圆面积是大圆面积的
2
1
，即2÷=大圆小圆S S 。

验证：最大圆的面积为单位“1“，假设2
1cm S =大圆，此时大圆与正方形
构成了“内方外圆”， 根据前面的结论（正方形的面积是圆面积的
π
2
），则22
21cm S ππ正方形=⨯=，继续来看正方形与小圆，又构成了“内圆外方”， 根据
前面的结论（圆的面积是正方形面积的4
π
），则22142cm S =⨯=ππ小圆
，综上来看，大圆面积与小圆面积存在2倍关系（即小圆与大圆之间形成的圆环与小圆的面积相同，都是大圆面积的2
1
）。

【例题】
从一张正方形纸中剪一个最大的圆纸片，再从圆纸片中剪一个最大的正方形纸片，浪费的纸是（ B ）。

A 、原正方形纸的四分之一；
B 、原正方形纸的二分之一；
C 、圆纸片的二分之一；
D 、圆纸片的四分之一。