《运动与力》基础训练1．水平直线轨道上有一辆小车，轨道O 点正上方高有一绞车，绞车运动，牵引绳缠绕在绞车上，拉着小车在轨道上水平移动。
己知绞车收绳速度为v ， 求当绳与水平方向的夹角为θ，此时绳长为L ，车移动的速度与加速度各是多少?拓展：如图，拖车A 在水平的码头上，通过定滑轮拖动河中的船B 。
当拖车A 的速度达v A 时，它的加速度为a A ，此时OB 绳与水平方向的夹角为θ，B 到O 的距离为L .求此时刻船B 的速度 v B 和它的加速度 a B .2．如图所示，两个半径均为R 的圆环(圆心分别为 O 1 和 O 2 ) 在同一平面上.令左边的圆环静止，右边圆环以速度v (方向沿O 1 O 2的连线方向)从左边圆环旁边通过.试求两圆环交叉点 A 的速度 v A 与两环圆心间距 d 的关系.3．如图，细杆AB 长L ，两端分别约束在x 、 y 轴上运动，(1)试求杆上与 A 点相距 aL (0< a < 1) 的 P 点运动轨迹; (2) 如果 v A 为己知，试求 P 点的 x 、 y 方向分速度 v px 和 v Py 对杆方位角θ的函数.（1）222221()(1)x y al a l+=-，P 点轨迹为椭圆 （2）cot px A v av θ= (1)py A v a v =-4．小球在某竖直平面的 O 点斜向上方抛出，抛射角为φ，速度大小为v o . 在该竖直平面内作OM 射线与小球抛出时的初速度方向垂直，如图所示.试问小球到达OM 射线时的速度v 为多大?5．一小球自高于斜面上 h 处自由落下后击中斜面，斜面倾角为θ. 假设小球与斜面做完全弹性碰撞(碰撞斜面前后速率不变且入射角等于反射角) .如图所示.求:(1)再经多少时间后球与斜面再度碰撞?(2) 两次碰撞位置间距离 d 为多少?(3) 假设斜面很长，小球与斜面可以做连续碰撞，证明小球与斜面在任意连续两次碰撞之时间间隔均相等.并计算在连续两次碰撞点距离依次为 d 1，d 2，d 3，，，d n 的数值.（1 （2）d=8hsin θ （3）d n =8nhsin θ 6．如图所示，两条位于同一竖直平面内的水平轨道，相距为 h ， 轨道上有两个物体 A 和B ， 它们通过一根绕过定滑轮O 的不可伸长的轻绳相连接，物体 A 在下面的轨道上以匀速率v 运动，在轨道间的绳子与过道成 300角的瞬间，绳子即段的中点处有一与绳子相对静止的小水滴 P 与绳子分离，设绳子长即远大于滑轮直径，求:(1)小水滴 P 脱离绳子时速度的大小和方向.(2) 小水滴 P 离开绳子落到下面轨道所需要的时间.（1，030arctan - （26．对抛物线y=A x2，求出抛物线上横坐标为x的点的斜率和曲率半径。
（1）k=2Ax（2）221/2(14)2A xAρ+=7．如图所示，一半径为R的圆柱体在两块水平板之间转动，平板以速度v1和v2向同一个方向平移，v1>v2，平板与圆柱体之间无相对滑动，求圆柱体转动的角速度ω.8．如图所示，用四根长度均为L的同样细杆做成菱形，各杆的两端用铰链相连.开始，相对的两铰链A与C彼此靠近，铰链A固定，铰链C以初速度为零、恒定加速度为a沿菱形对角线运动，求当杆AB与BC成2α时，铰链B具有的加速度.（可认为杆上各点在平面上运动.）9．轮子在直线轨道上做纯滚动，轮子边缘点的运动轨道曲线称为滚轮线.设轮子半径为R，轮子边缘点P对应的滚轮线如图所示，试求此漆轮线在最高点曲率半径ρ1和在最低点曲率半径ρ2.ρ1=4R，ρ2=010．一物体质量为m. 置于倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，若要使物体沿斜面匀速向上滑动，求拉力的最小值.11．结构均匀的梯子AB，靠在光滑竖直墙上，已知梯子长为L，重为G，与地面间的动摩擦因数为μ，求:(1)梯子不滑动，梯子与水平地面夹角θ的最小值θ0。
(2) 当θ=θ0时，一重为P的人沿梯子缓慢向上运动，他运动到什么位置，梯子开始滑动?（1）1arctan2μ（2）L/2拓展：质量为m的均匀梯子，一端在坚直光滑的墙上，另一端置于粗糙的水平地面上，静摩擦因数为μ，一个质量为M的人沿梯往上爬，为了保证该人的安全，对梯子的放置有什么要求?12．如图所示，有六个完全相同的长条薄片A i B i (i=1，2， (6)依次架在水平碗口上，一端搁在碗口，另一端架在另一薄片的正中位置(不计薄片的质量) .将质量为m的质点置于A1A6的中点处，试求A1B1薄片对A6 B6的压力.mg/4213．如图所示，一个半径为R的均质金属球上固定着一根长为L的轻质细杆，细杆的左端用镜链与墙壁相连，球下边垫上一块木板后，细杆恰好水平，而木板下面是光滑的水平面.由于金属球和木板之间摩擦因素为μ，所以要将木板从球下面向右抽出时，至少需要大小为F的水平拉力.现要将木板继续向左插进一些，至少需要多大的水平推力?14．如图2 -45 ，四个完全相同的球，三个放在水平地面上，两两相互紧靠，第四个球放在三个球上正中间，设球与球间，球与地面间的静摩擦因数均为μ，求为使四个球不滑动也不滚动，静摩擦因数μ应满足什么条件?15．质量为m，长为L的均匀杆AB ，下端靠在竖直墙上，借助绳CD保持倾斜状态.如图2 - 47 所示，绳的一端系在墙上C 点，一端系在杆上D 点，AD =2AB/3 ，绳和墙成α角，杆和墙成β角平衡. 试求为保持平衡，墙面和杆间动摩擦因数应取多大?16．如图，绕线轮C重G =1000N，用细绳与重P =500N 的物体相连，已知物体A和轮C与接触面的动摩擦因数μA =0.5，μB= 0. 2，且r=5cm ,R =10cm ，不计滑轮摩擦和绳重，求维持平衡的最大重量P.208N17．儿童玩具"不倒翁"高h = 21cm，质量M=300g，相对中心轴KD对称分布，"不倒翁"的下部是半径为R =6cm 的球面的一部分.如果将"不倒翁"放在倾角为α=300的粗糙斜面上，当它的轴KD与竖直方向偏角为β= 450时，刚好还能处于平衡状态.为了使它在水平桌面上失去稳定平衡，可在其头顶上K 处固定塑泥.试问最少需加多少塑泥?85g《运动与力》基础训练1．水平直线轨道上有一辆小车，轨道O 点正上方高有一绞车，绞车运动，牵引绳缠绕在绞车上，拉着小车在轨道上水平移动。
己知绞车收绳速度为v ， 求当绳与水平方向的夹角为θ，此时绳长为L ，车移动的速度与加速度各是多少?拓展：如图，拖车A 在水平的码头上，通过定滑轮拖动河中的船B 。
当拖车A 的速度达v A 时，它的加速度为a A ，此时OB 绳与水平方向的夹角为θ，B 到O 的距离为L .求此时刻船B 的速度 v B 和它的加速度 a B .2．如图所示，两个半径均为R 的圆环(圆心分别为 O 1 和 O 2 ) 在同一平面上.令左边的圆环静止，右边圆环以速度V (方向沿O 1 O 2的连线方向)从左边圆环旁边通过.试求两圆环交叉点A 的速度 v A 与两环圆心间距 d 的关系.3．如图 1- 24 ，细杆AB 长L ，两端分别约束在x 、 y 轴上运动，(1)试求杆上与 A 点相距 aL (0< a < 1) 的 P 点运动轨迹; (2) 如果v A 为己知，试求 P 点的 x 、 y 方向分速度 v px 和 v Py 对杆方位角θ的函数.（1）222221()(1)x y al a l +=-，P 点轨迹为椭圆 （2）cot px A v av θ= (1)py A v a v =-4．小球在某竖直平面的 O 点斜向上方抛出，抛射角为φ，速度大小为v o . 在该竖直平面内作OM 射线与小球抛出时的初速度方向垂直，如图所示.试问小球到达OM 射线时的速度v 为多大?5．一小球自高于斜面上 h 处自由落下后击中斜面，斜面倾角为θ. 假设小球与斜面做完全弹性碰撞(碰撞斜面前后速率不变且入射角等于反射角) .如图所示.求:(1)再经多少时间后球与斜面再度碰撞?(2) 两次碰撞位置间距离 d 为多少?(3) 假设斜面很长，小球与斜面可以做连续碰撞，证明小球与斜面在任意连续两次碰撞之时间间隔均相等.并计算在连续两次碰撞点距离依次为 d 1，d 2，d 3，，，d n 的数值.（1 （2）d=8hsin θ （3）d n =8nhsin θ 6．如图所示，两条位于同一竖直平面内的水平轨道，相距为 h ， 轨道上有两个物体 A 和B ， 它们通过一根绕过定滑轮O 的不可伸长的轻绳相连接，物体 A 在下面的轨道上以匀速率v 运动，在轨道间的绳子与过道成 300角的瞬间，绳子即段的中点处有一与绳子相对静止的小水滴 P 与绳子分离，设绳子长即远大于滑轮直径，求:(1)小水滴 P 脱离绳子时速度的大小和方向.(2) 小水滴 P 离开绳子落到下面轨道所需要的时间.（1，030arctan - （26．对抛物线 y =A x 2 ，求出抛物线上横坐标为x 的点的斜率和曲率半径。
（1）k=2Ax （2）221/2(14)2A x Aρ+= 7．如图 1-44 所示，一半径为 R 的圆柱体在两块水平板之间转动，平板以速度 v 1和 v 2向同一个方向平移，v 1> v 2，平板与圆柱体之间无相对滑动，求圆柱体转动的角速度 ω.8．如图 1 - 49 所示，用四根长度均为L 的同样细杆做成菱形，各杆的两端用铰链相连.开始，相对的两铰链A 与C 彼此靠近，铰链A 固定，铰链C 以初速度为零、恒定加速度为a 沿菱形对角线运动，求当杆AB 与BC 成2α时，铰链B 具有的加速度.（可认为杆上各点在平面上运动.）9．轮子在直线轨道上做纯滚动，轮子边缘点的运动轨道曲线称为滚轮线.设轮子半径为R ，轮子边缘点P 对应的滚轮线如图所示，试求此漆轮线在最高点曲率半径ρ1和在最低点曲率半径ρ2.ρ1=4R ，ρ2=010．一物体质量为m . 置于倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，若要使物体沿斜面匀速向上滑动，求拉力的最小值.11．结构均匀的梯子 AB ，靠在光滑竖直墙上，已知梯子长为L ， 重为G ，与地面间的动摩擦因数为μ，求:(1)梯子不滑动，梯子与水平地面夹角θ的最小值θ0。
(2) 当θ=θ0时， 一 重为 P 的人沿梯子缓慢向上运动，他运动到什么位置，梯子开始滑动?（1）arctan 2μ （2）L/2拓展：质量为 m 的均匀梯子，一端在坚直光滑的墙上，另一端置于粗糙的水平地面上，静摩擦因数为μ ，一个质量为 M 的人沿梯往上爬，为了保证该人的安全，对梯子的放置有什么要求?12．如图所示，有六个完全相同的长条薄片A i B i (i=1，2， …， 6)依次架在水平碗口上，一端搁在碗口，另一端架在另一薄片的正中位置(不计薄片的质量) .将质量为m 的质点置于 A 1A 6 的中点处，试求 A 1B 1薄片对 A 6 B 6 的压力.mg/4213．如图 2 - 38 所示，一个半径为 R 的均质金属球上固定着一根长为 L 的轻质细杆，细杆的左端用镜链与墙壁相连，球下边垫上一块木板后，细杆恰好水平，而木板下面是光滑的水平面.由于金属球和木板之间摩擦因素为 μ，所以要将木板从球下面向右抽出时，至少需要大小为 F 的水平拉力.现要将木板继续向左插进一些，至少需要多大的水平推力?14．如图2 -45 ，四个完全相同的球，三个放在水平地面上，两两相互紧靠，第四个球放在三个球上正中间，设球与球间，球与地面间的静摩擦因数均为μ，求为使四个球不滑动也不滚动，静摩擦因数μ应满足什么条件?15．质量为m，长为L的均匀杆AB ，下端靠在竖直墙上，借助绳CD 保持倾斜状态.如图2 - 47 所示，绳的一端系在墙上C 点，一端系在杆上D 点，AD =2AB/3 ，绳和墙成α角，杆和墙成β角平衡. 试求为保持平衡，墙面和杆间动摩擦因数应取多大?16．如图所示，绕线轮C重G =1000N，用细绳与重P =500N 的物体相连，已知物体A和轮C与接触面的动摩擦因数μA =0.5，μB= 0. 2，且r =5cm ,R =10cm ，不计滑轮摩擦和绳重，求维持平衡的最大重量P.208N17．儿童玩具"不倒翁"高h= 21cm，质量M=300g，相对中心轴KD对称分布，"不倒翁"的下部是半径为R =6cm 的球面的一部分.如果将"不倒翁"放在倾角为α=300的粗糙斜面上，当它的轴KD与竖直方向偏角为β= 450时，刚好还能处于平衡状态.为了使它在水平桌面上失去稳定平衡，可在其头顶上K 处固定塑泥.试问最少需加多少塑泥?85g。