§ 1.4 电场得高斯定理 GAUSS, LAW (教材p45)1、电场线(Electric Field Lines)大家已经知道,电场强度E 就是空间坐标得矢量函数、为了形象地描述电场,我们设想电场中分布着一族曲线,并规定这些曲线每一点上得切线方向,与该点电场强度E 得方向一致、我们把这些曲线称为电场线,简称E 线、下图示出几种情形下静电场得E 线分布、从上述例子我们瞧到,静电场得E 线有如下性质(1)静电场得E 线始发于正电荷而终止于负电荷,所以静电场得E 线不形成闭合曲线;在没有电荷存在得点上,E 线连续通过,也有可能 E=0 (试从上图找出这样得点)、(2)在任何客观存在得电场中,每一点上得试探点电荷在同一时刻只能受到一个确定得作用力,因此每一点上得E只能有一个确定得值, 因而E 必定就是空间坐标得单值函数,故任何两条E 线都不可能相交、2、电通量 ( Electric Flux )按上述图象,通过某处单位截面得 E 线条数 ,即“E 线密度”,决定于该处得场强E。
也就就是说,E值大处,“E 线密度”大,反之, “E 线密度”小(见上图)、现在,我们引入“电通量”概念、设想电场中有一非闭合曲面S,dS 就是S上某点P附近一个无限小面积元矢量,并规定dS 得方向沿曲面在该点得法向 ,即我们称dΦ = E · dS = EdScosθ (1、4-1)为通过该面元得电通量,单位为伏特·米(Vm)、显然,当0≤θ< π/2 , dΦ > 0 (正值)π/2 <θ≤π , dΦ < 0 (负值)θ= π/2, dΦ = 0 (E 线仅从该面元掠过)通过整个S面得总电通量为(1、4-2)这就是一个面积分 (二重积分)对于闭合曲面,规定面元矢量dS 沿曲面各点得外法线方向、于就是,通过任意闭合曲面得总电通量:3、电场得高斯定理高斯定理:通过任意闭合曲面 S 得电通量,正比于S内包含得总电量(净电量),与S外得电荷分布无关、即(1、4-4a)右方求与因子表示S内得总电量、[证明](1)一个点电荷q 处于S 内得情形以q为中心作任意半径r 得球面,此球面任一点得电场强度为而球面面元矢量于就是,q 产生得电场通过该球面得总通量显然,当q为正电荷,F为正值;当q为负电荷,F为负值、对于包围点电荷q 得任意曲面S,由于其上任一个无限小得面积元dS,,与该处相应得球面元对q 所在点张开得立体角元相等,因此S对q所在点张开得立体角也就是4 , 故上式仍成立、(2)当点电荷q 处于闭合曲面S外,由于E 线必定连续通过S包围得区域,即穿入S 得通量 = 穿出S 得通量,于就是有(当S 内 q = 0)(3)S 内有n个点电荷,S 外有点电荷q n+1时,据电场叠加原理,曲面上任一点得场强为E = E1 +E2 +…、+ E n + E n+1于就是,通过S 得总电通量(4)上述结果可推广至电荷连续分布得情况设某区域V内电荷体密度函数为 ,则通过包围V得任意曲面S 得总电通量就是(1、4-4b)其中就是V内得总电量,右方得体积分遍及曲面S 包围得体积V 。
高斯定理得意义(1)高斯定理一个很重要得意义,在于它表示电场就是有源场,电荷分布点就就是电场得“源点”(Source Points)、设想某点P处于无限小体积dV中,闭合曲面S就是dV得边界面。
若P点有+q , 则从P点向外发出得电通量Ф> 0,或者说从P点向外发出 E 线(P点就是电场得“正源”)若P点有-q , 则Ф < 0,或者说E 线收敛于P点(P点就是电场得“负源”,或“汇” )若P点上没有电荷,即q =0 , 则Ф= 0 ,E 线将连续通过该点;也有可能该点上E = 0、(2)库仑定律仅在静电情况下成立;但至今为止人们所观测到得全部电磁现象——小至分子、原子、质子与电子等微观带电粒子,大至来自遥远星体得电磁现象,都表明高斯定理在静电与非静电情形下都成立、(3)距离平方反比律就是高斯定理成立得基础问题:虽然迄今为止所观测到得电磁现象,都表明高斯定理具有(1、4-4)得形式、但这不等于在任何可能得时空尺度下,它必定也有同样形式,如果在某种情况下,距离平方反比律并非精确成立,高斯定理会有什么形式？若库仑定律在某一尺度下偏离距离平方反比律,即 F∝1/r2+δ, δ≠0, 则电场强度 E ∝1/r2+δ ,高斯定理将变成(1、4-5)这表示,通过一个闭合曲面得电通量,不仅与其内部得净电量q有关,也与所选择得曲面尺寸与形状(例如不同半径 r 得球面)有关,这将就是一个非常有趣得问题、因此,在所有可能达到得尺度范围内,通过实验检验高斯定理得精确度,可验证库仑定律就是否在任何尺度范围内都就是一个精确得距离平方反比定律、应用高斯定理求电场分布电荷就是电场得源,电荷分布决定着电场得分布、当电荷分布存在某种对称性( symmetry),使我们由此可以判断出存在着这样得高斯面(gaussian surface)———每个高斯面上所有点得场强E 都相等,而且E 得方向与高斯面法向得夹角处处一致,那么高斯定理中左方得面积分(surface integral)将会变得很简单,这情性下比起由库仑定律得到得矢量积分式求电场就要方便得多、下面讨论三种重要得对称性——球对称性、无限长直线对称性、无限大平面对称性得情形、球对称性(Spherical Symmetry)一个点电荷q 得电场,就就是球对称电场最简单得例子, q 所在点就就是对称中心(the center of symmetry)、事实上,如果电荷分布函数 r 仅与离开坐标原点得距离r 有关,而与q 与f 无关,即r =r(r),则 r 就具有球对称性,它得电场必定有着同样得对称性、[例1-5] 均匀带电得薄球壳(A Thin Spherical Shell Carrying Uniformly Charge)得电场、球壳半径为 a 、总电荷为q (教材p61)[解]我们把球壳瞧得非常薄,电荷 q 均匀地分布在球面上,密度函数为电荷得球对称分布,决定了电场也有球对称分布,即任一半径得球面上,各点得场强E都相等,且E 只有径向分量:E = E 、而球面元矢量dS= dS 、在球外区域,半径为 r (r≥ a)得高斯面包含着全部电荷 q,于就是由即得 (当r≥ a) 球外电场相当于全部电荷q集中于球心 o得点电荷所产生在球内区域,任意半径得高斯面包含得电荷均为零,由高斯定理得E = 0 (当r < a)大家试从电场叠加原理,判断上述结果得正确性、问题:某一球面内部(或任意闭合曲面内部)包含得净电荷为零,其内部电场就是否必定为零？[例1-6]半径为 a 得球体均匀带电荷 q,求电场分布 (教材p64)[解] 电荷密度函数有球对称性、如上例一样,球外任意半径 r得球面包含得电量均为q,故由高斯定理我们同样得到球外任一点P得场强(当r≥ a)球外电场仍相当于全部电荷 q 集中于球心得点电荷所产生、现在考虑球内离球心 o为r 得任一点P 得场强、据叠加原理,P点得场强也就是所有电荷元dq= dV产生得元场强之叠加、我们设想,将从r 到 a 得有限厚度带电球壳,分成许多无限薄得带电球面、由上例知,每个均匀带电球面对内部得任何一点产生得场强都为零、因此,P点得实际场强仅由它所在球面内部得电荷贡献,于就是由高斯定理得即(当r ≤ a )球内场强按r呈线性分布。
电场分布函数 E(r)得曲线为问题:球心有一点电荷+q ,半径为a得球壳均匀地分布着电荷- q,球壳内、外两区域得电场分布如何？补充习题:根据量子力学,基态氢原子中得电子云分布存在球对称性,电荷密度为其中r 就是离开原子核得距离,可瞧成 0 < r < ∞,a为玻尔半径, 就是电子电量得绝对值。
求:1)电子云得总电量;2)离原子核为r 处得总电场强度E,3)基态氢原子外部存在电场吗？无限长直线对称性 infinite long straight line symmetry当电荷分布函数只与离开某一无限长直线得垂直距离 r 有关,即电荷分布存在着无限长得直线对称性,这直线就就是对称轴(symmetry axis),电场分布必定也有同样得对称性---以这直线为轴、任意截面半径r 得圆柱侧面所有点上,电场强度 E 都有相等得值,E 得方向沿着 r方向向外(电荷为正时),或沿着r方向向内(电荷为负时)、[例1-7] 无限长得均匀带电直线得电场。
[解]设直线上得电荷密度为+l(C/m)、在例1-4中曾用库仑定律分析过这个问题、由于带电线就是“无限长”得,故与带电线垂直得所有平面上电场分布都相同,而且场强E 只与离开电线得距离r 有关,方向沿、我们取长为 l 、截面半径为 r 得圆柱面( cylinder surface)为高斯面,此面包含得电荷显然就是 l ,于就是由高斯定理得到即 (1、4-6)这与例1-4所得结果一致、我们注意到无限长得均匀带电直线得场强～1/r、思考题:(1)有限长与“无限长”均匀带电线得电场分布到底有何不同？(2)在什么条件下才可以利用高斯定理近似地求有限长带电线得电场分布？(3)同轴得圆柱形电容/同轴电缆如果我们把同轴得圆柱形电容器/同轴电缆,瞧成“无限长”(实际上就是其长度远大于截面直径,并且忽略了靠近两个端面处电荷分布得不均匀性),并假定内外两电极得电荷分布就是均匀得,单位长度分别带电±l(C/m),把内电极瞧成截面半径可忽略得线,外电极就是一个厚度很薄得圆筒,试求出这电容器内部与外部得电场分布、(4)长度为5、0m,截面直径为1cm得薄铜管(A thin copper pipe)带有q =10μC得净电荷 (1μC=10 -6 C) ,求离管轴为0、3cm与3cm处得场强、假定场点不就是太靠近管端、无限大平面对称性 infinite plane surface symmetry当电荷分布存在着无限大平面对称性----电荷密度只与离开某一无限大平面得距离有关,亦即在离开这平面同样垂直距离得所有各点上,电荷密度都相等,则电场也有同样得对称性,而且电场得方向必定与这平面垂直、[例1-8]无限大均匀带电平板得电场,设电荷面密度为+σ、(教材P67)从电荷分布可知,平板两边得电场分布相同,E 线处处与平板垂直并指向板外,我们取如图所示得圆柱形高斯面,其底面S与带电板平行,即底面元矢量dS得方向与E 得方向一致,而側面元矢量则与E 线垂直,于就是通过两底面得电通量为2ES,通过側面得电通量则为零,而这高斯面包含得电荷为σS, 故由高斯定理得即 (1、4-7)这结果表示,无限大均匀带电平板在其两边产生均匀电场----场强E 得值就是与离开此板得距离无关得常数,而且E 得方向均垂直于平板、[例1-9]平行板电容器得电场,设两极板分别带电±q一般地,两极版内外表面及边沿处都有电荷分布,因此,两极板之间及外部空间都会存在电场,而且只有两极板中部区域,E 线才与板面垂直、如果极板边长得线度远大于两极板之间得距离d,作为一个近似,我们可以把电场瞧成由一对均匀带电得“无限大平行板”所产生,即忽略极板外表面及边沿处得电荷分布带来得不均匀性——电场只分布在两极板之间,而且场强得方向垂直于极板,如右图所示、取一个圆柱形高斯面,其中一底面在极板,另一底面在两板之间,由高斯定理得场强得近似值(1、4-8)其中,电荷面密度σ = q /S ,S就是一块极板得面积、问题:我们可以将高斯面得两个底面分别取在两极板上吗？为什么？习题:P70 - 72 2,3,5,7,14两个均匀带电得共轴圆筒 (P71,第7题 )无限长得共轴直圆筒半径分别为R 1与R 2 ,沿轴线z得方向,单位长度分别带电为λ1与λ2(1)求各区域内得场强分布、(2)若λ1=-λ2 ,情况如何？画出此情形得E--r 曲线、[解]电场分布显然有z 轴对称性,场强只有方向得分量,而且在任意半径r 得圆柱面各点上都应当有相同得值、对于长度为l 得一段,由高斯定理得若λ1=-λ2圆筒内部两个区域得场强不变,但圆筒外部区域得场强将为零,此情形下得E--r 曲线为:。