哈工程有限元大作业
均布荷载作用下简支梁结构分析
院（系）名称：船舶工程学院
专业名称：港口航道与海岸工程
学生姓名：白天华
学号：03
摘要
本文利用ANSYS软件中的BEAM系列单元建立简支梁有限元模型，对其进行
静力分析与模态分析，得出梁的结构变形，分析梁的受力情况。

并用有限元刚度矩阵知识求解简支梁端点处得位移和旋度。

在此基础上，利用经典力学对以上所得的结果进行梁的有关计算，并将结果与有限元刚度矩阵和ANSYS软件所得结
果进行比较。

通过比较得出不同方法在简支梁求解过程中自己的优势和缺点。

1.问题求解
问题描述
钢制实心梁的截面尺寸为10mm×10mm(如图1所示)，弹性模量为200GPa，均布荷载的大小及方向如图1所示。

图1
利用力学方法求解
运用力学方法将上述结构求解，易得A、B支座反力相等为500N，该简支梁的计算简图、弯矩图以及剪力图如下图所示
1000N/m
1000mm
图2简支梁计算简图
图3简支梁弯矩图
支座反力500N
图4简支梁剪力图
利用ANSYS软件建立模型与求解
通过关键点创建实体模型，然后定义材料及单元属性，然后划分网格，建立有限元模型。

具体步骤包括：添加标题、定义关键点、定义直线、选择单元，定义实常数、定义材料属性、设定网格尺寸、划分网格、施加荷载求解（选择分析类型、定义约束、施加荷载）查看分析结果。

图5简支梁变形前后的情况
图6简支梁应力图
图7简支梁剪力图
2计算结果对比
简支梁内力分析结果比较
节点应力有下面公式计算求得：
ᵟ=
有限元计算所得结果与力学的计算结果对比如下表所示：
单位(N/㎡)
节点应力
1 0
2 270
3 480
4 630
5 720
6 750
7 720
8 630
9 480
10 270
ANSYS模态结果结构力学计算结果简支梁竖向位移分析结果比较
（1）结构力学计算求得的简支梁最大位移由下面图乘法求得：
a
Fp
x
实际荷载作用下梁弯矩表达式：
M(x)=500x-500x2
单位荷载作用下梁弯矩表达式：
Mp= (1-a)x (0<x<a)
a(1-x) (a<x<1)
则在梁上任意点的竖向位移f：
f=500+500dx
= ……)
分别代入分段点的a的数值得各点的位移如下表：
a 位移
（2）有限元计算所得简支梁y方向位移如下图8所示：
图8
端点旋度分析结果比较
（1）利用结构力学图乘法求得端点处得旋度
旋度：Ф=（）=
（2）利用有限元刚度矩阵求得端点位移与旋度为：
假设梁的两端固定，并计算等价的节点荷载用以表示均匀变化的荷载力
M1 -M2
R1 R2
-1/2qL 12 6L -12 6L v1
-1/12qL2 6L 4L2-6L 2L2Ө1
-1/2qL =EI/L3-12L -6L 12 -6L v2 (a)
1/12qL2 6L 2L2-6L 4L2 Ө2
方程（a）是固定的精确模型，因为如果从中解出的所有位移和旋度，它们的计算值都将为零。

利用边界条件，得到矩阵方程：
-ῳL2/30=EI/L3 4L2 2L2 Ө1
-ῳL2/202L2 4L2 Ө2 （b）解方程组(b),得每个点处得旋度大小为：
Ө1 =Ө2=qL3/24EI （c）用实际节点荷载代替作用在梁上的荷载力，加上由节点旋度引起的反作用力，计算出最后的反作用力：
R1 12 6L -12 6L 0 1/2qL
M1 =EI/L3 6L 4L2-6L2 2L2 -qL3/24EI + 1/12qL2
R2 -12 -6L 12 -6L 0 qL/2 （d）
M2 6L 2L2-6L2 4L2 qL3/24EI -1/12qL2
求解矩阵方程，得到最终结果：
R1=qL/2 R2=qL/2 M1=M2=0
3结论
（1）本文通过ANSYS有限元软件中BEAM3单元建立了简支梁模型，经过同种工况的力学静力分析，简支梁应力、位移结果相同。

（2）用有限元刚度矩阵法求得的简支梁端点位移与旋度的结果和经典结构力学求得的结果一致。

（3）对静定简支梁的分析，有限元软件ANSYS能直观的观察梁的各种物理变化，经典力学求解方法相对刚度矩阵法更加简洁方便，但刚度矩阵法对更加复杂结构的求解相对更方便。

参考文献
[1]李家宝.结构力学（第三版）.高等教育出版社.1999
[2]欧宝贵，朱加铭.材料力学.哈尔滨工程大学出版社.2010
[3][美].布查南，董文军，谢伟松译.全美经典学习指导系列-有限元分析。

科学出版社.2002
[4]赵经文，王宏钰结构有限元分析科学出版社.2005。