第三章 平面问题的直角坐标解答
3.1 矩形梁的纯弯曲 3.2 位移分量的求出 3.3 简支梁受均布荷载（1） 3.4 简支梁受均布荷载（2） 3.5 楔形体受重力和液体压力
第三章 平面问题的直角坐标解答
第3讲 简支梁受均布荷载（1）
3.3 简支梁受均布荷载（1）
要点 —— 用半逆解法求解梁、长板类平面问题。 1. 假设应力分量的函数形式
xy
x y
（f ） （ g） （h） q o ql x l
求积分常数。 为简便，先分析对称性。
1 h/2 h/2
ql z y l
由 q 对称、结构对称：
x , y —— 关于 x的偶函数
xy
—— 关于x的奇函数
y
6Ey 2F =0 3Ey2 2Fy G=0
E F G 0
( 4)
A 5 B 4 3 2 (d) f ( y ) y y Hy Ky 积分得： 2 10 6 2 x 将 f ( y ), f1 ( y ), f 2 ( y ) 的表达式代入 f ( y) xf1 ( y) f 2 ( y)
2
x2 ( Ay 3 By 2 Cy D) x( Ey 3 Fy 2 Gy ) 2
本讲结束！
A 5 B 4 ( y y Hy 3 Ky 2 ) 10 6
(e)
式中含有9个待定常数。
3.3 简支梁受均布荷载（1）
2
4. 由应力函数求解应力分量
x
y2
,
2
2 y
x2 .
x2 3 2 6 Ay 2 B x 6 Ey 2 F 2 Ay 2 By 6Hy 2K x 2 3 2 y Ay By Cy D 2 2 x 3 Ay 2 By C 3 Ey 2Fy G xy
By 2 Fy 2
Cy Gy
D
(c)
此处，f1(y)中的常数项在 中成为x的 一次项 ，不影响应力分量，略去。
3.3 简支梁受均布荷载（1）
f 2 ( 4) ( y) 2 f ( 2) ( y) 0
对第三个方程得： f 2 ( y) 2 f ( 2) ( y) 12 Ay 4B
3.3 简支梁受均布荷载（1）
5. 本讲小结
采用半逆解法求解受均布荷载的简支梁，得到 了含有部分积分常数的应力分量表达式。
x2 3 2 x 2 6 Ay 2B 2 Ay 2By 6Hy 2K 3 2 y Ay By Cy D 2 xy x 3Ay 2By C
1
q
分析：
x xy y
—— 主要由弯矩引起； —— 主要由剪力引起；
h/2 h/2
ql z y l
o l
ql x
y
—— 由荷载 q 引起（挤压应力）。
又∵ q =常数，且 q不随x变化，∴ y不随 x变化。 即：
y f ( y)
3.3 简支梁受均布荷载（1）
2. 根据应力分量导出应力函数的表达式
3. 由相容方程求解应力函数
（将式（b）带入相容方程 4 0 ）
1 d 4 f y 2 d 4 f1 y d 4 f2 y d 2 f y x x 2 0 4 4 4 2 2 dy dy dy dy
3.3 简支梁受均布荷载（1）
1 d 4 f y 2 d 4 f1 y d 4 f2 y d 2 f y x x 2 0 4 4 4 2 2 dy dy dy dy
2 y 2 f ( y) x
xf ( y ) f1 ( y ) 积分得： x 2 x f ( y) xf1 ( y) f 2 ( y) 2
f ( y), f1 ( y), f 2 ( y)
(a) (b)
4 4 4
—— 任意的待定函数
x4 2 x2 y2 y4 0
关于 x 的二次方程，且要求 －l≤ x ≤ l 内方程均成立。
必有x 的一、二次的系数、自由项同时为零。即：
f
( 4)
( y) 0
f
( 4) 1
( y) 0
f 2 ( y) 2 f ( 2) ( y) 0
( 4)
对前两个方程积分：
f (y) ห้องสมุดไป่ตู้y 3 f1(y) Ey 3
x2 f ( y) xf1 ( y) f 2 ( y) 2