第一章 习题一1.设函数x x x f 3)(3-=，x x 2sin )(=ϕ，求⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛6πϕf ，()[]1f f ，[])(x f ϕ。

解：（1）∵233sin 62sin 6==⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛πππϕ， ∴8398312833233833233232363-=-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛f f πϕ； （2）∵2131)1(3-=⋅-=f ，∴()[]268)2(3)2(13-=+-=-⋅--=f f ；（3）[][]()()x x x x x f x f 62sin 32sin )(2sin )(33-=-==ϕ2.设)(x f 的定义域为（0，1），求)12(+x f 的定义域。

解：令012=+x ，得21-=x ，令112=+x ，得0=x ， 故)12(+x f 的定义域为⎪⎭⎫⎝⎛-0,21。

3，下列表达式中，哪个不是初等函数？ （1）x x y -=12； （2）⎪⎩⎪⎨⎧<≥=.0,,0,32x x x y x （3）xx x f -+-=111)(； （4）x x x f 22sin )(+=解：（2）4.分析下列函数的复合结构： （1）xey 2cos ln =； （2）2tan ln x y =；（3）x y 21sin +=； （4）[]2)21arcsin(x y +=； （5）xe y 3tan =； （6）非复合函数。

解（1）ue y =，v u =，s v ln =，t s cos =，x t 2=；（2）u y =，v u ln =，s v tan =，2x s =；（3）u y sin =，v u =，x v 21sin +=；（4）2u y =，v u arcsin =，x v 21+=；（5）u y tan =，ve u =，x v 3=； （6）非复合函数。

5.将)2(sin22x x e y +=分解为一系列简单函数。

解：ue y =，2v u =，s v sin =，x x s 22+=。

6.若23)1(242++=+x x x f ，求)(x f 。

解：∵12)1(2422++=+x x x ，即12)1(2224--+=x x x ∴2312)1(23)1(2222242++--+=++=+x x x x x x f 故1)(2+=x x f第一章 习题二1.已知某商品的需求函数和供给函数分别为P Q 2300-=，P S 5.030+-=，求该商品的均衡价格和均衡数量。

解： 由题意，P P 5.0302300+-=-， 即P 5.2330=，求得132=P ，由此得36264300=-=Q ，因此，该商品的均衡价格和均衡数量分别为132与36。

2.当市场上鸡蛋的收购价格为每千克2.5元时，收购站每月能收购5000千克，若收购价每千克提高0.1元时，则每月能多收购400千克，求鸡蛋的线性供给函数。

解：设鸡蛋的线性供给函数为bp a Q +=，由题意得⎩⎨⎧+=+=b a ba 6.254005.25000，即b 1.0400=，4000=b ，因此5000-=a故鸡蛋的线性供给函数为p Q 40005000+-=。

3.某人现在有1000元钱存入银行，银行年利率为2.15%，按单利计算，5年后的本利和是多少？解；由题意，本金为1000元，5年的利息为5.1075%15.21000=⨯⨯， 故5年后的本利和是1107.5元。

4.某人若想在5年后在银行提取10万元，银行年利率为5%，按照复利计算，现在应该存入银行多少钱？解：设现在应该存入银行x 元钱。

该笔钱1年后的本息为%)51(+x ；2年后的本息为2%)51(+x ；3年后的本息为3%)51(+x ； 4年后的本息为4%)51(+x ；5年后的本息为5%)51(+x ；因此可得方程100000%)51(5=+x 。

即5%)51(100000+=x ，得：62.783522762815625.1100000==x 故现在应该存入银行78352.62元。

5．某商品的需求函数为410p q -=，总成本函数为227q q C ++=，求 （1）商品的利润函数；（2）销售10件商品时的利润。

解：（1）因为收入函数为pq R =，总成本函数为227q q C ++=， 所以利润函数为227q q pq C R L ---=-=， 由需求函数为410pq -=可知，p q -=404，即q p 440-=，代入上式，便得 2222744027)440(q q q q q q q q L ----=----=，即得所求的利润函数为25387q q L -+-=。

（2）当10=q 时，1275003807-=-+-=L ， 即销售10件商品时，亏损127元。

6.经营牛仔裤的某个体户的成本函数为23096q q C ++=，若销售单价定为50元/件，求：（1）该商品经营的保本点；（2）每天销售20件该商品，缴纳所得税100元，为了不亏本，销售单价定为多少合适？解：（1）设每天销售q 件。

则收入函数为q R 50=，又成本函数为23096q q C ++=，故利润函数为C R L -=，即22096q q L -+-=，令0≥L ，即020962≥-+-q q ，解得166≤≤q 。

即在定价为50元/件且不考虑交税的情形之下，每天销售量在6到16件之间可确保不亏本。

（2）若每天销售20件该商品，缴纳所得税100元，则设定价为p 元/件， 此时收入为p R 20=元，非税成本为1096202030962=+⨯+=C 元，含税成本为11961001096=+=C 元。

易知此时的利润为C R L -=，即119620-=p L 。

0≥L ，即0119620≥-p ，解得59.8。

因此，这时的销售单价应不低于59.8元/件。

第一章 习题三1.观察下列数列的变化趋势，并确定它们是否有极限。

（1）nx n n 21)1(1+-=； （2）n n x n n 1)1(--+=；（3）213nx n +=； （4）21=n x 。

解：（1）0lim =∞→n n x ；（2）1lim =∞→n n x（3）3lim =∞→n n x（4）21lim =∞→n n x 2.设xx xx f 32)(+=，问)(lim 0x f x →是否存在？解：当-→0x 时，122lim 32lim 32lim)(lim 0000==+-=+=→→-→-→xxx x x x x x x f x x x x ； 当+→0x 时，2142lim 32lim 32lim)(lim 0000==+=+=→→+→+→x x x x x x x x x f x x x x ，由于左、右极限不相等，故∞=→)(lim 0x f x 。

3.判断xx e 1lim ∞→是否存在，若将极限过程改为0→x 呢？解：当∞→x 时，01→x ，故x x e 1lim ∞→=10=e ；而当0→x 时，∞→x1，故∞=→x x e 10lim 。

4.当0→x 时，讨论函数xx x f =)(的极限是否存在。

解：当-→0x 时，1limlim)(lim 000-=-==→-→-→xxxx x f x x x ；当+→0x 时，1limlim)(lim 000===→+→+→xxxx x f x x x ， 由于)(lim )(lim 00x f x f x x +→-→≠，即左、右极限不相等，故∞=→)(lim 0x f x 。

5.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-=<=,2,2)1(,2,0,2,)(22x x x x x x f 讨论当2→x 时，)(x f 的极限。

解：∵4lim )(lim 222==→-→x x f x x ；[]32)1(lim )(lim 222=+-=→+→x x f x x ，由于)(lim )(lim 22x f x f x x +→-→≠，即左、右极限不相等，故∞=→)(lim 2x f x ∴6. 设⎪⎩⎪⎨⎧>+=<+=,0,12,0,0,0,2)(x x x b x x f x 试确定b 的值，使)(lim 0x f x →存在。

解：当-→0x 时，b b x x f x x =+=→-→)2(lim )(lim 00； 当+→0x 时，2)12(lim )(lim 00=+=→+→xx x x f ，由题意知，)(lim )(lim 00x f x f x x +→-→=，即2=b 。

第一章 习题四1.下列极限正确的是（A ）1sin lim=∞→xx x ； （B ）12sin lim 0=→x xx ；（C ）11sin lim =∞→xx x ； （D ）111sinlim0=→xx x 。

解：（D ）2. cbx x x a +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+1lim 等于（A ）e ； （B ）be ；（C ）ab e ； （D ）cab e+。

解：由于⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→+∞→c bx x cbx x x a x a x a 11lim 1lim 故选（C ）。

3. 21lim e x k xx =⎪⎭⎫⎝⎛-∞→，则=k （A ）2； （B ）2-； （C ）21； （D ）21-。

解：由于k kkxx xx e x k x k ---∞→∞→=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-1lim 1lim ，由题意可知，2e e k=-，即2-=k ，故选（B ）。

4.求下列各极限：（1）1352lim 22+-+→x x x x ； （2）)153(lim 21+-→x x x ；（3）x x x x x x 2324lim 2230++-→； （4）137243lim 22+++-∞→x x x x x ； （5）11lim 31--→n n n ； （6）)4)(1(1lim 22+++∞→n n n n ；（7）x x x 11lim-+→； （8）⎪⎭⎫ ⎝⎛---→311311lim x x x ； （9）⎪⎭⎫ ⎝⎛++++∞→n x 2121211lim 2 ； （10）454lim 24+--→x x x x ；（11）20cos 1limxx x -→； （12）x xx 5sin 3sin lim 0→； （13）()xx x 321lim -→； （14）xx xx x sin sin lim+-→；(15) xx x 4011lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→； （15）xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→1212lim 。