H (e
M i 1
j i
) H d ( e j i )

2
min
此外还有其他多种误差最小准则，
b) 在此最佳准则下，求滤波的系数 a i 和 bi
通过不断地迭代运算，改变 a i 、 i b 满足要求为止。 ，直到

以上两种设计方法中，着重讲第一种，因为数字滤波 器在很多场合所要完成的任务与模拟滤波器相同，如作低 通、高通、带通及带阻网络等，这时数字滤波也可看作是 “模仿”模拟滤波器。在IIR滤波器设计中，采用这种设计 方法目前最普遍。由于计算机技术的发展，最优化设计方 法的使用也逐渐增多。
计算 H(Z) : 脉冲响应不变法特别适用于用部分分式表达传递函数，模拟 滤波器的传递函数若只有单阶极点，且分母的阶数高于分子阶 数 N＞M，则可表达为部分分式形式；
Ha ( s )
i 1
N
Ai s si
其拉氏反变换为：
ha (t ) Ai e si t u (t ),
i 1
s ，此时可增加一保护滤波器，滤掉高于 2
的频带，再用脉
冲响应不变法转换为数字滤波器，这会增加设计的复杂性和滤 波器阶数，只有在一定要满足频率线性关系或保持网络瞬态响 应时才采用。
j
3 T
j Im( z )

0
T

0
T
Re(z )


3
T
S 平面
: ~
Z 平面
应指出，Z=esT的映射关系反映的是Ha(s)的周期延拓与 H（Z） 的关系，而不是Ha(s)本身与H（Z）的关系，因此，使用脉冲响 应不变法时，从Ha(s)到H(z)并没有一个由S平面到Z平面的一一 对应的简单代数映射关系，即没有一个S=f(z)代数关系式。
③
2 s T
正如第一章的采样定律中所讨论的，如果模拟滤波器的 频响带限于折叠频率ΩS/2 以内， 即
H a ( j) 0
s 2
这时数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤波器的频 响（存在于折叠频率ΩS/2以内）
H (e
j
1 ) Ha ( j ) T T

但任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能是真正带 限的，因此不可避免地存在频谱的交叠，即混淆，如图，这 时，数字滤波器的频响将不同于原模拟滤波器的频响而带有 一定的失真。模拟滤波器频响在折叠频率以上衰减越大，失 真则越小，这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才 能得到良好的效果。
Ha ( j ) T

0

H ( e j )


0


脉冲响应不变法中的频响ห้องสมุดไป่ตู้淆
虽然脉冲响应不变法能保证S平面与Z平面的极点位置有 一一对应的代数关系，但这并不是说整个S平面与Z平面就存 在这种一一对应的关系，特别是数字滤波器的零点位置与S 平面上的零点没有一一对应关系，而是随着Ha(s)的极点 Si 与系数 Ai 的不同而不同。
zeST
的映射关系映射
映射关系
zeST ：
z re
令
则
j
,
s j
T
因为e以2拍为周期
r eT ,
T S平面上每一条宽为 叠地映射到Z平面的整个平面上:
2
的横带部分，都将重
每一横带的左半部分映射到Z平面单位圆以内， 每一横带的右半部分映射到Z平面单位圆以外， j 轴映射到单位圆上， j 轴上每一段2 T 都对应于绕单位圆一周。
H (e j ) 与采样间隔T有关,如P77图b, 显然 T越小,衰减越大,混叠越小,当 fs=24Hz ,混叠可忽略不计,为什 么混迭呢?
小结
1)脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性 的，ω ＝Ω Τ ，ω 与Ω 是线性关系。
因此如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率以内的话，通过变 换后数字滤波器的频响可不失真地反映原响应与频率的关系。
第三章
无限长单位脉冲响应（IIR）
滤波器设计
概述:
许多信息处理过程，如信号的过滤，检测、预测等都 要用到滤波器，数字滤波器是数字信号处理中使用得最广 泛的一种线性系统，是数字信号处理的重要基础。 数字滤波器的功能（本质）是将一组输入的数字序列 通过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列。实现方 法主要有两种：数字信号处理硬件和计算机软件。 数字滤波器——线性时不变系统。
下面讨论两种常用的映射变换方法：
一、脉冲响应不变法 利用模拟滤波器理论设计数字滤波器，也就是使数字滤波 器能模仿模拟滤波的特性，这种模仿可从不同的角度出发。 脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波 器的单位脉冲响应序列h(n)正好等于模拟滤波器的冲激响应 ha(t)的采样值，即 h(n)=ha(nT), T为采样周期。 ① 如以 Ha(s) 及 H（z）分别表示 ha(t) 的拉氏变换及 h(n) 的 Z 变换，即 Ha(s)=L[ha(t)] , H(z)=Z[h(n)]

n


h(n )e nsT
H ( z)
n


h(n ) z n
s平面与z平面的映射关系
ze
sT
以上表明，采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换为 数字滤波器时，它所完成的 S 平面到 Z 平面的变换，正是 以前所讨论的拉氏变换到Z变换的标准变换关系，即首先对 Ha(s)作周期延拓，然后再经过 到 Z 平面上。
例 将一个具有如下传递出数
2 1 1 ( s 1)( s 3) s 1 s 3 的模拟滤波器数字化。 H ( s)
解：
1 1 H ( z) 1 T 1 z e 1 z 1e 3T
z (e e ) 1 z 1 (e T e 3T ) e 4T z 2
1 1-δ
1
δ2 0
ω
ωc 通带 过渡带
ωr 阻带
π
§3.1
根据模拟滤波器设计IIR滤波器
利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波 器传递函数Ha(s)设计数字渡波器传递函数H（z），这归根到 底是一个由S平面到Z平面的变换，这种映射变换应遵循两个 基本原则： 1）H（z）的频响要能模仿Ha(s)的频响，即S平面的虚轴应 映射到Z平面的单位圆上。 2）Ha(s) 的因果稳定性映射成 H（z）后保持不变，即S平 j 面的左半平面 Re{S}＜0 e 应映射到Z平面的单位圆以内 |Z|<1。
1
T
3T
模拟滤波器的频率响应为:
2 2 Ha ( j) H ( s ) s j ( j 1)( j 3) (3 2 ) j 4
示于P77图a
数字滤波器的频率响应为:
H ( e j ) H ( z )
z e j
(e T e 3T )e j T 3T j 4T j 2 1 (e e )e e e
i 1 i 1 N
M
一般M N
分类:
递归系统
非递归系统
IIR
FIR
高通 低通
带通
带阻
i
数字滤波器的设计步骤： 1）按照实际需要确定滤波器的性能要求。 2）用一个因果稳定系统的 H(z) 或 h(n) 去逼近这个性 能要求，即求 h(n) 的表达式 di b 确定系数 ai 、i 或零极点ci 、 ， 以使滤波器满足给定的性能要求——第三章、四章讨论 3）用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。 包括 选择运算结构：如级联型、并联型、卷积型、频率 采样型以及快速卷积（FFT）型等; 选择合适的字长和有效数字的处理方法等(第五章)。
H (e ) H a ( j)
j
/T
例如线性相位的贝塞尔低通滤波器，通过脉冲响应不变法 得到的仍是线性相位的低通数字滤波器。
2)在某些场合，要求数字滤波器在时域上能模仿模拟滤波器 的功能时，如要实现时域冲激响应的模仿，一般使用脉冲响应 不变法。
3)如果Ha(s)是稳定的，即其极点在S左半平面，映射后得到 的H(Z)也是稳定的。 4)脉冲响应不变法的最大缺点：有频谱周期延拓效应，因 此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通， 而高频衰减越大，频响的混淆效应越小，至于高通和带阻滤波 器,由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中
的 Z 变换 射关系.
H (z )
之间存在的 S 平面与Z平面的映
ˆ H a ( s)



[ha (t ) (t nT )]e st dt
n

n

ha (t ) (t nT )e st dt
nsT
n
ha (nT )e
数字滤波器的数学描述： 1)差分方程
y (n) ai x(n i ) bi y (n i )
i 0 i 1
N
N
2)系统函数
H (Z )
ai z
i 0 N i 1
M
i
1 bi z i
A
(1 ci z 1 ) (1 d i z 1 )
N
u (t )
N
单位阶跃
对ha(t)采样得到数字滤波器的单位脉冲响应序列
h(n) ha(nT ) Ai e si nT u (n) Ai (e siT ) n u (n)
i 1 i 1
N
再对h(n)取Z变换，得到数字滤波器的传递函数：
H ( z ) Ai e si nT z n Ai (e siT z 1 ) n
n 0 i 1 i 1 n 0

N
N

第二个求和为等比级数之和，要收敛的话，