解： X可取值为0,1,2 ;
P{X =0}=(0.1)(0.1)=0.01 P{X =1}= 2(0.9)(0.1) =0.18
P{X =2}=(0.9)(0.9)=0.81
下面给出几种常见的离散型随机变量的概率分布。
(1) 0-1分布
背景：一次试验的成功次数X所服从的分布.
分布律为 或用ห้องสมุดไป่ตู้式表示
显然，该试验有两个可能的结果： H ,T
我们引入记号：
X
X (e)
1, 0,
e H， e T
于是我们就可以用 {X 1}表示出现的是正面，
而用 {X 0}表示出现的是反面。
X就是一个随机变量。
又如： 将一枚硬币掷三次, 观察正面H, 反面T出现的情况.
样本空间S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}; 若记X为三次出现正面的总数，那么，对于样本空间S={e}中
e.
s
X(e) R
随机变量X 是 S R 上的映射
随机变量的取值随试验结果而定, 而试验的各个结 果出现有一定的概率, 因而随机变量的取值有一定的 概率. 例如, 在例2中X取值为2, 记成{X=2}, 对应于样 本点的集合A={HHT, HTH, THH}, 这是一个事件, 当 且仅当事件A发生时有{X=2}. 则称P(A)=P{HHT, HTH, THH}为{X=2}的概率, 即P(X=2)=P(A)=3/8.
例4 200件产品中,有190件合格品,10件不合格品, 现从中随机抽取一件,那末,若规定
X
1, 0,
取得不合格品, 取得合格品.
X0
1
pk
190 200
10 200
则随机变量 X 服从(0 —1)分布.
（2）二项分布(Binomial Distribution)
背景： n重伯努利试验中的成功次数X所服从的分布.
的每一个样本点e，X都有一个数与之对应。X是定义在样本
空间S上的一个实值单值函数。它的定义域是样本空间S， 值域是集合{0，1，2，3}.使用函数记号可以写成：
3 e HHH
X
X
e
2 1
e HHT , HTH ,THH e HTT ,THT ,TTH
0 e TTT
定义 设随机试验E的样本空间是S，若对于每 一个e∈S, 有一个实数X(e)与之对应, 即X=X(e)是定 义在S上的单值实函数，称它为随机变量(random variable, 简记为r.v.)。
456 345 234
123 i
试验的样本空间S={e}={i,j},i,j=1,2,3. 这里i,j 分别表示第一,二球的号码. 以X记两球号码之和, 对 于每一个样本点e, X都有一个值与之对应, 如右上 图所示.
在有些试验中，试验结果表面上看来与数值无关， 仍然可以将结果数值化。
例2 抛一枚硬币，观察正反面的出现情况.
第二章 随机变量及其分布
主要内容
一、随机变量 二、离散型随机变量及其分布律 三、随机变量的分布函数 四、连续型随机变量及其概率密度 五、随机变量的函数的分布
第一节 随机变量
为了全面研究随机试验的结果, 揭示随机 现象的统计规律性, 将随机试验的结果与实数 对应起来, 即将随机试验的结果数量化, 引入 随机变量的概念.
解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验 的条件完全相同且独立，它是伯努利试验.
离散型随机变量分布律的定义 离散型随机变量表示方法 三种常见分布
如果随机变量X只取有限或可列无穷多个值， 则称X为离散型随机变量. 对于离散型随机变量，关键是要确定：
1）所有可能的取值是什么？ 2）取每个可能值的概率是多少？
设 离 散 型 随 机 变 量 X 的 可 能 取 值 为 x1, x2, ， 而 P{X xk } pk , k 1,2,
随机变量与普通函数的区别:
(1) 随机变量是一个函数 , 但普通函数是定义 在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元素不一定是实数).
(2) 随机变量X 的可能取值不止一个, 试验前只 能预知它的可能的取值，但不能预知取哪个值．
(3) X 以一定的概率取某个值.
第二节 离散型随机变量 及其分布律
若随机变量 X的分布律为：
P{X k} Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,2, , n
则称随机变量 X服从参数为n ,p的二项分布，
记为 X ~ B(n, p) 或 X ~ b(n, p)
注意，当n=1时二项分布就是0-1分布。
例5 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回 地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个 次品的概率.
称之为离散型随机变量X的分布律。
P{X xk } pk , k 1,2,
或写成如下的表格形式：
X x1 x2 P p1 p2
xk pk
显然，其中 pi 必须满足以下两个条件：
（ 1 ） 非 负 性 pi 0 ；
（ 2 ） 规 范 性
pi 1 。
i
例3 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独 立投篮投中次数X的概率分布.
X0 1
P 1 p p
P{X k} pk (1 p)1k , k 0,1.
如果试验的结果只有两个：成功与失败，并且成功
的概率为p，则成功的次数X服从参数为p的0-1分布。
说明
0-1分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种 可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是女、明 天是否下雨、种籽是否发芽等, 都可以用服从两点分 布的随机变量来描述.
一般, 若L是一个实数集合, 将X在L上取值写成{XL}. 它表示事件B={e|X(e)L}, 即B是由S中使得X(e)L的 所有样本点e所组成的事件. 此时有
P{XL}=P(B)=P{e|X(e)L}, 随机变量的取值随试验的结果而定, 在试验之前不能 预知它取什么值, 且它的取值有一定的概率. 此性质说 明随机变量与普通函数有本质的差异.
在随机试验完成时, 人们常常不是关 心试验结果本身, 而是对于试验结果联 系着的某个数感兴趣.这样，我们可以 引进一个变量来表示它的各种结果.也 就是说，把试验结果数值化.
j
例1 在一袋中装有编号分别为 3 1,2,3的3只球. 在袋中任取一只 球, 放回. 再取一只球, 记录它们 2 的编号. 计算两只球的号码之和. 1