2-3随机变量及其分布-- HW)T数字特征11 ….--- L-W Array「(两点分布〕5店殊分布列)--憊几何分祠-(二项分利十［并件相互独立性)一価立重复试劇5J ~(条件概率)”、r<正态分布密度曲绚f正态分布)一要点归纳一、离散型随机变量及其分布列1.⑴随机变量：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示•在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量•通常用字母X, Y, E, n等表示.(2) 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量.(3) 离散型随机变量的分布列：一般地，若离散型随机变量 X可能取的不同值为X i,X2…，X i，…X n，X取每一个值X i(i = 1，2，…，n)的概率P(X= X)= p i，以表格的形式表示如下：X的分布列.有时为了简单起见，也用等式P(X = X i) = p i，i = 1，2，…，n表示X的分布列.(4)离散型随机变量的分布列的性质：①P i>0，i = 1，2，…，n；n②P i = 1.i = 1(5)常见的分布列：两点分布：如果随机变量X 的分布列具有下表的形式，则 称X 服从两点分布，并称p = P(X = 1)为成功概率.两点分布又称 0- 1分布，伯努利分布. 超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取X 件次品，则事件｛X = k ｝发生的概率为 P(X =其中 m= min ｛ M , n ｝，且 n W N , M < N , n , M , N € N *.如 果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X服从超几何分布. 2 .二项分布及其应用(1)条件概率：一般地，设 A 和B 是两个事件，且 P(A)>0,p / AB)称P(BA) = P ((A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生 的条件概率.P(B|A)读作A 发生的条件下B 发生的概率.⑵条件概率的性质： ① 0 < P(BA)< 1；② 必然事件的条件概率为1,不可能事件的条件概率为0; ③ 如果 B 和C 是两个互斥事件，则P(B U C|A)= P(B|A) +P(C|A).(3) 事件的相互独立性：设 A, B 为两个事件，如果 P(AB)= P(A)P(B)，则称事件 A 与事件B 相互独立•如果事件 A 与B 相互独立，那么 A 与-,-与B ,-与-也都相互独立.(4) 独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验.c M c N-/ic Nk = 0, 1, 2,,m,即n 件，其中恰有 k)=(5) 二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X= k) = Cp k(1 — p)n-k, k= 0, 1, 2,…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作 X〜B(n, p)，并称p为成功概率.两点分布是当n = 1时的二项分布，二项分布可以看成是两点分布的一般形式.3.离散型随机变量的均值与方差(1)则称 E(X) = X i p i + X2P2+ •" + X i p i + …+ X n P n为随机变量 X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.n称D(X)= (X i — E(X))2p i为随机变量 X的方差， D ( X)为i = 1随机变量X的标准差.(2) 均值与方差的性质：若Y= aX+ b,其中a, b是常数，X 是随机变量，则Y也是随机变量，且E(aX + b) = aE(X) +b,D(aX + b)= a2D(X).(3) 常见分布的均值和方差公式：①两点分布：若随机变量X服从参数为p的两点分布，贝吐匀值E(X) = p,方差D(X) = p(1 —p).②二项分布：若随机变量X〜B(n, p),则均值E(X) = np, 方差D(X)= np(1—p).4.止态分布⑴正态曲线与正杰分布;①正态曲线：我n把函数烈.©= £. 厂（歸），戈亡（一8, +-o（其中川是样本均值，疔是样本标准差〉的團象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线，正态曲线呈钟形, 即中间高・两边低.②止态分布；一般地，如果对于任何实敷附蚱rVQ）,随机变量A譎足I\u<X^b）“曲..心）归，则称廈机变量A服a从正态分布.正态分布完全由参数知亦确定，因此正态分布常记作N^h </）・（2）正态曲线的特点：①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线 x= 口对称；1③曲线在x = 口处达到峰值2n；④曲线与x轴之间的面积为1.⑶丽0对正态曲线的影响：①当（一定时，曲线的位置由砸定，曲线随着曲勺变化而沿x轴平移；②当「定时，曲线的形状由（确定，o越小，曲线越瘦高” 表示总体的分布越集中；（越大，曲线越矮胖”表示总体的分布越分散.⑷正态分布的3（原则：若随机变量X〜N（仏0）,则P（卩—（r< X w 卩+ o）= 0.682 6, P（卩一2 oV X w 卩+ 2 o）—0.954 4, Pg—3oV X w + 30 —0.997 4.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N（y, 0）的随机变量X只取（卩―3 o,叶3 0之间的值，并简称之为3 o原则.专题一 条件概率1 •条件概率的求法⑴利用定义，分别求出 P(A)和P(AB)，解得P(BA) =P (AB) P( A).(2)借助古典概型公式，先求事件A 包含的基本事件数n(A),再在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事件数 n(AB),得 P(BA) =n (AB).n (A)2.解决概率问题要注意 三个步骤，一个结合 ”(1) 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质； 第二步，判断事件的运算； 第三步，运用公式.(2) 概率问题常常与排列、组合知识相结合.【例1】在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依 次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；⑵第1次和第2次都抽到理科题的概率；⑶在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率. 解 设 第1次抽到理科题”为事件A ，第2次抽到理科题”为 事件B ，则 第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB.(1)从5道题中不放回地依次抽取 2道题的事件数为n(Q ) = A 5= 20.根据分步乘法计数原理，n(A)= A；x 12.于是P(A) =n (A)n ( Q) 12— 3 20= 5.(2)因为所以化⑹弋:骼墙=赤⑶法一由⑴｛2｝可得，在第1次抽到埋科题的条件下，第2 次抽到厘科题的概牢法二因为 rt(JB)=6f nC4)=12f ”,n(仙)所以诃戸；C4)专题二相互独立事件的概率1 .求相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进 行考查，解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在些基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事 件，并运用相应公式求解.2.特别注意以下两公式的使用前提(1) 若A, B 互斥，则P(A U B) = P(A) + P(B)，反之不成立. (2) 若A ，B 相互独立，则P(AB)= P(A)P(B)，反之成立.【例2】甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件， 甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的(1)分别求出甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品 的概率； (2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一 等品的概率.概率为 丄 12,甲丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为2 9.P 3)P (.4)解a J. B. C 分别为甲r 厶內三台机床各自独立加工同 一种零件是一尊品的事件.依题意得p （』爭）-£ p （歩⑺一迈, P （.40 =|,得r?[HC ）F —创科G+腔=仇 解得珂。

=扌或HG=#｛舍）- 5旳弓砂=审刊°=彳即甲.乙.丙三台机床各口独立加工的零件是一等甜的概率ill分别为亍尹r⑴记D 为从甲.乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有 一—等品的事件.2尸（〃）=1 —尺心）=1 —（1—只』））-（1 —/VJ ））p —= h —寸X即从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的槪率为Ip U)即」P ⑻P <-4)• (1-P ⑻)-% ■ (1—p (c) > —轄P <c) =$专题三离散型随机变量的分布列、均值与方差1.离散型随机变量的分布列在高中阶段主要学习两种：超几何分布与二项分布，由于这两种分布列在生活中应用较为广泛，故在高考中对该知识点的考查相对较灵活，常与期望、方差融合在一起，横向考查.2 •对于分布列的求法，其难点在于每个随机变量取值时相关概率的求法，计算时可能会用到等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式等.3 •均值与方差都是随机变量重要的数字特征，方差是建立在均值这一概念之上的，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者联系密切，在现实生产生活中特别是风险决策中有着重要意义，因此在当前的咼考中是一个热点问题.【例3】某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加1 5次测试.假设某学生每次通过测试的概率都是 3，每次测试时间间隔恰当.每次测试通过与否互相独立.(1) 求该学生考上大学的概率；(2) 如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X，求X的分布列及X的数学期望.解该牛考上大学”为事件乩其对立事件为则血円鮒+舒.g)=l-【幺餵陋)5］磊.⑴参加测试次敎K的可熊取值为2・3, 4. 5, flS 1P(X=2)=^f=-,呻_3)_生卜討—务p(m.；.gy•捋，P(x=5)= CA ：• 2 3+ 3 仁；6故X的分布列为:1 c 4 , 4 厂 16 38E（x）二 2X 9+ 3X 27+4X 27+ 5X 26= 38-【例4】(2012枣庄检测)某单位为了参加上级组织的普及消防知识竞赛，需要从两名选手中选出一人参加•为此，设计了一个挑选方案：选手从6道备选题中一次性随机抽取3题.通过考查得知：6道备选题中选手甲有4道题能够答对，2道题答错;2选手乙答对每题的概率都是3,且各题答对与否互不影响.设选手甲、选手乙答对的题数分别为 E n(1) 写出曲勺概率分布列(不要求计算过程)，并求出E( E ,E(n ；(2) 求D( E，D( n.请你根据得到的数据，建议该单位派哪个选手参加竞赛？1 3 1所以E(8= 1 X _ + 2 X _ + 3 X _ = 2.5 5 52 2 由题意，n 〜B 3, 3，E(n = 3X 3= 2,或者P( n= 0)= C3 3 3= £；P(n= 1)=良3132= 9；p(n=2)=C2323=9；P(n= 3)=c3t3=27,12 O所以，£(I/)=OX—+1X-+2X-+3X —-2.1 3 1 1(2)Z)(i)=(l-2)2X- +(2-2/X-+(3-2)I X-=-!可见E(©=E(>/),因此建议该单位派甲参加竞赛.专题四正态分布【例5】某市去年高考考生成绩服从正态分布N(500, 502)，现有25 000名考生，试确定考生成绩在 550〜600分的人数.解•••考生成绩X〜N(500, 502),卩=500, o= 50,••• P = (550 v X< 600)1=2[P(500 - 2X 50v X W 500 + 2X 50)—P(500- 50v X< 500 +50)]1=2(0.954 4-0.682 6)= 0.135 9.故考生成绩在550〜600分的人数约为25 000 X 0.135 9〜3 398(人).解（1）的概率分布列为123P131555。