F ( x)
x
1 2

e
( x )2 2 2
dt
(2) 正态分布的密度函数 f(x) 的图形的性质
1 f ( x) e 2 ( x )2 2 2
, x
正态曲线
(1) f(x) 关于 是对称的.
1 在 点 f(x) 取得最大值 . 2
2.4 几种常见的连续型随机变 量的分布
(1) 均匀分布 (2) 指数分布
(3) 正态分布（重点）
1 、均匀分布
如果随机变量 X 的概率密度为
1 , a xb f ( x) b a 其它 0,
则称 X 在区间 [a, b]上服从均匀分布. 记为 X～U[a, b].
由于 P{c x d } f ( x)dx
b
x
abBiblioteka x例1 设随机变量 X ~ U(2, 5). 现在对 X 进行三次独立观测，
试求至少有两次观测值大于 3 的概率.
解： 记 A = { X > 3 },
则 P(A) = P( X> 3) = 2/3
设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数, 则 Y~ B(3, 2/3)，所求概率为
P (Y ≥ 2) = P(Y = 2) + P(Y = 3)
（2）该热水器能正常使用600 h以上的概率是多少？
解 （1）P{在100 h以内需要维修} P( X 100}

100 0

100
f ( x)dx
0.002e0.002 x dx 1 e0.2 0.1813
（2） P{能无故障使用600 h以上} P( X 600}
(2) 设 X ~ N( , 42), Y ~ N( , 52), 记 p1 = P{X ≤ 4}，
p2 = P{Y ≥ +5}, 则( ① )
① ② ③ ④ 对任意的 对任意的 只个别的 对任意的
，都有 p1 = p2 ，都有 p1 < p2 ，才有 p1 = p2 ，都有 p1 > p2
解：可得 P{| X | 2 } 2(1) 1 0.6826 P{| X | 2 } 2(2) 1 0.9544 P{| X | 3 } 2(3) 1 0.9973
由此可看出，正态分布的随机变量 X 几乎全部落在区间
(-3, +3)内.从理论上讲，服从正态分布的随机变 量X的可能取值范围是( -∞, +∞)，但事实上 X 的取值落在 (-3, +3)以外数值微乎其微，一般可以忽略不计.

600
0.002e0.002 xdx e1.2 0.3012
3. 正态分布
(1). 正态分布的定义
若X的概率密度为
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
, x
其中μ, σ(σ>0)为常数，则称X服从参数为μ, σ2的正态分布或高 斯 (Gauss)分布. 记作 X～ N(μ, σ2) 分布函数为：
f(x)
(2) 若 固定, 改变, f(x)左右移动, 形状保持不变.
0 μ σ大
σ 小 x
(3) 若 固定, 改变,
越大曲线越平坦; 越小曲线越陡峭.
标准正态分布N(0, 1)
它的概率密度和分布函数通常都用约定的符号
(x)
1 ( x )
密度函数记为
1 x2 /2 ( x) e 2
(3) 设 X ~ N( , 2), 则随 的增大,概率 P{| X | < } ( ③ ).
① 单调增大 ③ 保持不变 ② 单调减少 ④ 增减不定
•3) P{|X| ≤1.54}= Φ(1.54)- Φ(-1.54)
=2Φ(1.54)-1= 0.8764
· 4) P{|X| ≥1.54} = 1- P{|X| ≤1.54}=1-0.8764=0.1236
(4) 一般正态分布的标准化与计算
定理 若随机变量 X ~ N ( , )，则 X
c
d
d
c
1 d c dx ba ba
可知 X 落在[a, b]内任一小区间 [c, d] 内的概率与该小区间的位置 无关，只依赖于子区间的长度．可见概率分布在[a, b]内是均匀
的.
分布函数为：
f ( x) a
F( x)
xa 0, xa F ( x) a xb b a xb 1,
分布函数记为
( x )
x 0 x
x
1 ( x) 2
易见

x

e dt
t2 2
1 (1) (0) , 2
(2) ( x ) 1 (x)
(3) 查标准正态分布函数表计算概率
•例4 设 X～N(0,1) ,计算 P{X ≤ 2.35} ； P{-1.64 ≤ X＜0 .82} ； P{ |X| ≤ 1.54}； P{ |X| ≥ 1.54} •1) P{X ≤ 2.35} =Φ(2.35)= 0.9906 •2) P{-1.64 ≤X＜0 .82} = Φ(0.82)- Φ(-1.64) = Φ(0.82)- [1-Φ(1.64)] = 0.7434
例 2 设 X E ( 2) ，且 P ( X C ) 0.5 (C 0) , 求常数 C .
例3 假设某种热水器首次发生故障的时间X（单位：h）服 从指数分布，其概率密度为
0.002e0.002 x， x 0 f ( x) ， x0 0
（1）该热水器在100 h内需要维修的概率是多少？
2
*
X

~ N (0,1) .
通常，我们把 X
*
X

称为 X 的标准化随机变量.
22 ) ,求 P8 X 14 及 P X 5 . 例5 设随机变量 X ~ N (10，
例6 (3原则) 设 X ~ N (, 2) ，求
P{ |X - |﹤ }, P{ |X - |﹤2}, P{|X - |﹤3}.
1 e x , F ( x) 0,
x0 x0
特别：指数分布具有无忆性，即：
P( X > s+t | X > s ) = P( X > t )
指数分布常用来作各种“寿命”分布的近似，如电子元件、 某些微生物及某些易损物品的使用寿命等. 指数分布中的参数 的倒数
1

的实际意义是使用寿命 X 的平均值.
2 C 3
2 3
2
1 32 C3 3 3
3
1 = 20/27 3
0
2. 指数分布
设连续型随机变量 X 具有概率密度
e x , f ( x) 0,
x0 x0
则称 X 服从参数为 的指数分布.记作 X ~E ( ). 其分布函数为
例7 设 X ~ N(, 2), P(X 5) = 0.045, P(X 3) = 0.618,
求 及 .
解:
5 1.69 3 0.3

= 1.76
=4
课堂练习
(1) 已知 X ~ N(3, 22), 且 P{X > k} = P{X ≤ k}, 则 k = ( 3 ).