点E是AB的中点
思考1：求证线段相等有哪些常规方法？
D
全等三角形，等腰三角形三线合一 需构造
……相似三角形，平行四边形，面积法
思考2：从条件出发，可得哪些基本结论？
思考3：如何添加辅助线，构造基本图形？
A
C F
O PG
E
B
思路探寻
如图,已知AC,BD为⊙O的两条直径,连接AB,BC,OE⊥AB于点E,
（2）连接BF,DF,设OB与EF交于点P, ①求证：PE＝PF. ②若DF＝EF,求∠BAC的度数.
①证明：取OB的中点K.
②解：作EG⊥AB, 则OE∥FG∥CB.
∵ OE ⊥AB, ∴点E是AB的中点， ∴ EK ∥OA,EK= ½OA.
∵ F是OC的中点，
∴
EG GB
OF FC
1
，EG=GB，
F
O P
？ A
E
B
题号
条件1
条件2
问题
（1） （2）①
AC,BD为⊙O 的两条直径
⊙O的半径为1, ∠BAC＝30°
线段EF的长
OE⊥AB
无
PE＝PF
（2）② F是OC的中点
DF＝EF ∠BAC的度数
D
C
F
O
1
P
30°
A
E
B
试题解读
如图,已知AC,BD为⊙O的两条直径,连接AB,BC,OE⊥AB 于点E,点F是半径OC的中点,连接EF.
过等分点，作等分线的平行线
延长等分线，构造相似三角形
求线段比例的基本图形 D
C
C F
D P
OP
A
F
a ?
2a ?
k
k
F
O P
A
E
面积法
B
A
E
B
证明：
∵OF:OA=1:2
∴ S△POF: S△POA=1:2
S△BOF: S△BOA=1:2 ∴ S△BPF: S△BPA=1:2 ∵ E是AB的中点，
∴ S△BPE=S△EPA B ∴ S△BPF=S△BPE
初中数学说题
复杂几何问题的破解策略
原题呈现
如图,已知AC,BD为⊙O的两条直径,连接AB,BC,OE⊥AB
于点E,点F是半径OC的中点,连接EF.
（1）设⊙O的半径为1,若∠BAC＝30°,求线段EF的长.
（2）连接BF,DF,设OB与EF交于点P, D
C
①求证：PE＝PF. ②若DF＝EF,求∠BAC的度数.
∴ P是EF的中点.
拓展生长
a ?
2a ?
k
k
D
C (1)求OP与PB的比值
F
O PG
(2) S△EOP: S△BPF的值
A
E
B
m 2m
归纳提炼
几何综合题
分析条件 简单推理
构造几何推理 的基本图形
分析结论 探求结论
D
C
D
C
F
F
O P
O PG
A
E
B
A
E
B
求线段比例的基本图形
C
D P
A
F
B
a ?
2a ?
（1）设⊙O的半径为1,若∠BAC＝30°,求线段EF的长. （2）连接BF,DF,设OB与EF交于点P,
①求证：PE＝PF. ②若DF＝EF,求∠BAC的度数.
本题属于圆综合题，考查了等边三角形的判 D
C
定和性质，相似（全等）三角形的判定和性质，
F O
平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例
1
P
点F是半径OC的中点,连接EF. （2）连接BF,DF,设OB与EF交于点P,
②若DF＝EF,求∠BAC的度数.
思考1：如何探究本题的答案？
画出相对准确的图形
通过画图过程感知：当∠BAC 的度数变大时(小于90°)，EF 变长，DF变短，变化过程中 BF与EF始终相等.
思考2：已知边长的关系，求角度，联想到什么？
k
k
谢谢聆听
全等三角形、等腰三角形、直角三角形
D
C
思考3：如何利用关键条件“DF＝EF ” ？ D
C FF
构造全等三角形或转化至等腰三角形
O
OE∥FH∥CB
EH OF 1 HB FC
EH＝HB
O K
PP
DF＝EF
A？ E
B
DF＝BF ∠DOC=90° ∠BAC=45° A
EH B
B？F＝？E？F
解法展示
如图,已知AC,BD为⊙O的两条直径,连接AB,BC,OE⊥AB于点E, 点F是半径OC的中点,连接EF.
D
∴ FG是EB的中垂线，FE=FB
C F
∵ F是OC的中点， ∴ OF= ½OA.
∵ DF=EF ∴ DE=BF,
O P
∴ EK ∥ OA,EK= ½OA,
∴ ∠DOC =90°，
∴四边形OEKF为平行四边形， ∴ ∠AOB =45 °
A
EH B
∴ PE=PF.
பைடு நூலகம்
拓展生长
当∠BAC的度数发生变化 时，E、F为AB、OC的中 点，保持不变，可由此提 炼问题的本质.
30°
等知识，侧重综合分析能力的考查，对于知识的 A
E
B
积累程度以及理解能力要求较高，解题的关键是
学会添加常用辅助线．
思路探寻
如图,已知AC,BD为⊙O的两条直径,连接AB,BC,OE⊥AB于点E, 点F是半径OC的中点,连接EF.
（2）连接BF,DF,设OB与EF交于点P, ∠ACB=90° ①求证：PE＝PF.