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动态几何问题分类解析

2
①当0<t≤2时,即Q在BC上时
②当2<t≤3时即Q在BA上时
③当3<t≤4.5时
找 界 点, 分 情 况 计 算
(2).当点P 、 Q运动时,阴影部分的形状随之变化,设PQ与 △ABC围成阴影部分面积为S(cm²),求出S与时间t的函数 关系式,并指出自变量t的取值范围; 解:(2)
①当0<t≤2时,即Q在BC上时
t y 解:由(3)知,当 S有最大值时, 2,此时 N N 在 BC 的中点处,如下图,设 Q(0,y)
则பைடு நூலகம்AQ 2 OA2 OQ 2 42 y 2

C
B(4, 3)
A(4, 0) O M 为等腰三角形, △QAN ①若 AQ AN,则 42 y 2 32 22,此时方程无解. 1 2 2 2 2 ②若 AQ QN ,即 4 y 2 (3 y) ,解得 y . 2 2 2 2 2 ③若 QN AN,即 2 (3 y) 3 2 ,解得 y1 0,y2 6
(1).当时间t为何值时,以P 、 C 、 Q三点为顶点的 三角形的面积(图中的阴影部分)等于2cm²; (2).当点P 、 Q运动时,阴影部分的形状随之变化, 设PQ与△ABC围成阴影部分面积为S(cm²),求 出S与时间t的函数关系式,并指出自变量t的取值 范围;
(3)点P 、 Q在运动的过程中,阴影部分面积S 有最大值吗?若有,请求出最大值;若没有,请 说明理由。



解(1)当∠POA 90 时,点P运动的路程为⊙O周长的 1 或 3 .
设点运动的时间为 .
当点P运动的路程为 ⊙O周长的 1 时, 4 1 2t 2 12
ts
4
4

解得 t
3 3 当点 P运动的路程为⊙O 周长的 时, 4

4



3 2t 2 12 4
0
AB OA, AP AB
OAP APB B
0 APB B 30 0 OPB OPA APB 90 OP BP
直线BP与圆O相切。
P
思维拓展:
O
A B
4cm P
在运动过程中,什么时间BP和圆也相切?
. ,
综上:2S或者10S相切
2
3 9 s t 2 3t t 2 4
②当2<t≤3时即P在AC上Q在BA上时
PH AP BC AB
PH x 4 5
PH
4x 5
s S ABC S APQ 6
1 9 2t ( 4 t ) 2 5
4 18 4 9 39 s t2 t 6 t 5 5 5 4 20
2 1 81 直线 AQ 的解析式为 y x 8 2 0) 0) Q 0) 当Q 为(0, 时,A(4, , (0, 均在 x 轴上, (或直线为 x轴). 直线AQ 的解析式为y 0
6) Q 当 Q 为 (0, 时, ,N,A在同一直线上,

A(4, 代入得 4k 0, k 0)
(1)当时间t为何值时,以P 、 C 、 Q三点为顶点 的三角形的面积(图中的阴影部分)等于2cm²; 解:(1)
1 S PCQ PC CQ 2 1 3 t 2t 2
3 t t 2
t1 1, t 2 2 解得
当时间t为 s或2s时,S PCQ 2cm 1
S S△MPA
3 2 3 S t t (0 t 4) 8 2

1 3 (4 t ) t 即 2 4
当 (3)

t2
3 面积的最大值 , 2

y
C F O
3) N B(4,
P M E A(4, 0) x
(4)若点Q在y轴上,当s有最大值且△QAN为等腰三角 形时,求直线AQ的解析式.
再体会:

在“动”中求“静”,化“动”为“静”, 抓住它运动中的某一瞬间
二、动点与列函数关系式相结合
例1:已知:如图: △ABC中,∠C=90°, AC=3cm,CB=4cm, 两个动点P、Q 分 别从A 、C两点同时按顺时针方向沿△ABC 的边运动,当点Q运动到点A时,P 、Q两点 运动即停止,点 P、Q的运动速度分别为 1cm/s 、 2cm/s。设点P运动时间为t(s)

动态几何压轴题往往文字阅读量较大,因此 在平时训练中要求同学们仔细读题、审题,力求 从语法结构、逻辑关系、数学含义等方面真正看 懂题目,弄清条件和结论是什么?它们分别与哪 些知识有联系?仔细思考,找到解题途径。同时 注意推理要严谨、逻辑性强,表达书写整洁规范


解得
t 9
当POA 90 时,点 P 运动的时间为 3s 或 9s.
(2)如图,当点 P 运动的时间为2s 时,直线BP
P
OP OP OA, OAP是等边三角形 OA AP, OAP 60
. ,
与⊙O相切. A B O 理由如下: 当点P运动的时间为2s时,点P运动的路程为4cm . 连接OP、PA 1 ︵ AP的长为圆O周长的 POA 60 0 圆o的周长为24cm 6
(1)点的坐标为( , )(用含t的代数式表示). P (2)记 △MPA的面积为S,求 S 与 t 的函数关系式(0 t 4) 秒时 S有最大值,最大值是 (3)当t y (4)若点Q 在 y 轴上,当S 有最大值且 N B C △QAN 为等腰三角形时,求直线AQ P 的解析式. F

1.如图,A是半径为12cm的⊙O上的定点,动点P 从A出发,以 2π cm/ s的速度沿圆周逆时针运动, 当点P回到A地立即停止运动.
POA 90 (1)如果 ,求点P运动的时间;
动点与分类讨论相结合
(2)如果点B是OA延长线上的一点,AB=OA, 那么当P点运动的时间为2s时,判断直线BP与⊙O 的位置关系,并说明理由. P
2
解:(2) ③当3<t≤4.5时,P在BC上,Q在AB上
3 27 42 3 9 15 s t2 t t 5 5 5 5 2 4
2
(3)点P 、 Q在运动的过程中,阴影部分面积S 有最大值吗?若有,请求出最大值;若没有,请说 明理由。
解:(3)有 ①在0<t≤2时
图形中的点、线的运动,构成了数 学中的一个新问题——动态几何。它通 常分为三种类型:动点问题、动线问题、 动形问题。这类试题以运动的点、线段、 变化的角、图形的面积为基本的条件, 给出一个或多个变量,要求确定变量与 其它量之间的关系,或变量在一定条件 下为定量时,进行相关的几何计算、证 明或判断。
△ ANQ 不存在,舍去. 1 1 故直线 AQ的解析式为 y 8 x 2


或y
0
. . .
这类试题的分类讨论有固定的模式, 它要求学生通过观察、比较、分析图形 的变化,揭示图形之间的内在联系,要 能够根据条件作出或画出图形,从而进 行分类。
. ,
兴趣拓展
1.如图3, A是硬币圆周上一点,硬币与数轴相切于原点O ﹙A与O点重合﹚,假设硬币的直径为1个单位长度,若 将硬币沿数轴正方向滚动一周,点A恰好与数轴上点 A 重合,则点 A 对应的实数是 .
, . , . . .
AN AB BN 3 2
2 2 2 2
QN 2 CN 2 CQ 2 22 (3 y)2

2
Q
x
1 0) 6) Q1 (0,- ) Q2 (0, Q3 (0, 2
1 1 当 Q 为(0, ) 时,设直线AQ的解析式为 y kx ,将 2 2 1 1
①x最大能“逼近”哪个点(数)?最小能“逼近” 哪个点(数)? 能否等于这个数? ② 在变化过程中有无特殊点(数) ③综合以上两点下结论,另外,此题还结合了动态 问题和分类问题,这是代数几何综合题,也是今后 发展的命题趋势。
三、动点与坐标几何题相结合
如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC为矩形,点 0) (4 3) A B的坐标分别为 (4,,, ,动点M,N 分别从点 , O,B同时出发,以每秒1个单位的速度运动,其中点 M 沿 OA 向终点 A运动,点 N 沿BC向终点 C 运动, ,连结MP,当两动点 过点 N 作 NP BC ,交AC于点 P 运动了 t 秒时.

在解这类题时,要充分发挥空间想象的能 力,往往不要被“动”所迷惑,在运动中寻求 一般与特殊位置关系;在“动”中求“静”, 化“动”为“静”,抓住它运动中的某一瞬间, 通过探索、归纳、猜想,正确分析变量与其它 量之间的内在联系,建立变量与其它量之间的 数量关系。再充分利用直观图形,并建立方程、 函数模型或不等式模型,结合分类讨论等数学 思想进行解答。

理解A到A′的距离是圆的周长, 根据周长公式即可求解
基于上述分析,可以发现动态几何问题知识覆盖 面广、形式多样,其中蕴含数学思想丰富,同学们在 考试中较好解决此类问题是有一定难度的。要想有效 地提高数学总复习的质量和效益,使同学们能较好的 应对动态几何型问题,必须做到:
1.重视双基和数学思想方法
, . . .
O
M
E A
x
3 ( 解:(1) 4 t, t) 4
分 析
MA 4 t
PN CN AB CB
PN 4 t 3 4

PN 3(4 t ) 1 4
y
C
3) N B(4,

PE= 3 t
4

F O
P M E A(4, 0) x
解:
3 MA (2)在△MPA 中, 4 t , 边上的高为 t MA 4 .
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