2019-2020年高考数学大一轮复习 8.1空间几何体学案理苏教版导学目标： 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图．自主梳理1．多面体的结构特征(1)棱柱的上下底面________，侧棱都________且__________，上底面和下底面是________的多边形．侧棱和底面________的棱柱叫做直棱柱．底面为________的直棱柱叫正棱柱．(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个________的三角形．棱锥的底面是________，且顶点在底面的正投影是________，这样的棱锥为正棱锥．(3)棱台可由________________的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形________．________被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫正棱台．2．旋转体的结构特征将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做________、________、________，这条直线叫做____．垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做________．半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做________，球面围成的几何体叫做________，简称____．3．空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用________画法，其规则是：(1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°.(2)画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，它们相交于点O′，并使∠x′O′y′＝__________________，∠x′O′z′＝90°，x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面．(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于________________________的线段．(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度________，平行于y 轴的线段，长度变为____________．自我检测1．下列四个条件能使棱柱为正四棱柱的是________(填序号)．①底面是正方形，有两个侧面是矩形；②底面是正方形，有两个侧面垂直于底面；③底面是菱形，具有一个顶点处的三条棱两两垂直；④每个侧面都是全等矩形的四棱柱．2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是________．3．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________．4．长方体AC1中，从同一个顶点出发的三条棱长分别是a，b，c，则这个长方体的外接球的半径是________．5．如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是________．探究点一空间几何体的结构例1 给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；⑤存在每个面都是直角三角形的四面体；⑥棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的序号是________．变式迁移1 下列结论正确的是________(填序号)．①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥；③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥；④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线．探究点二空间几何体的直观图例2 一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于________．变式迁移2 等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝2，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．探究点三简单组合体的有关计算例3 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，求图中三角形(正四面体的截面)的面积．变式迁移3 如图，一个正方体内接于高为40 cm，底面半径为30 cm的圆锥，则正方体的棱长是________cm.1．熟练掌握几何体的结构特征与对应直观图之间的相互转化，正确地识别和画出空间几何体的直观图是解决空间几何体问题的基础和保证．2．棱柱的分类(按侧棱与底面的位置关系)：棱柱⎩⎨⎧直棱柱――→底面为正多边形正棱柱斜棱柱3．正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜高、底面正多边形、内切圆半径、外接圆半径、底面边长的一半构成的直角三角形中解决．4．圆柱、圆锥、圆台、球应抓住它们是旋转体这一特点，弄清旋转轴、旋转面、轴截面．5．用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积S ′与原平面图形的面积S 之间的关系是S ′＝24S .(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．下列命题正确的是________(填序号)．①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱； ②有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体叫棱锥； ③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱．2．如图为一个简单多面体的表面展开图(沿虚线折叠即可还原)则这个多面体的顶点数为________．3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm 2，母线与轴的夹角为45°，则这个圆台的高为________cm ，母线长为________cm ，上、下底面半径分别为________cm 和________cm.4．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的，现用一个平面去截这个几何体，若这个平面垂直于圆柱底面所在的平面，那么所截得的图形可能是图中的________．(把所有可能的图的序号都填上)5．已知水平放置的△ABC 的直观图△A ′B ′C ′(斜二测画法)是边长为2a 的正三角形，则原△ABC 的面积为_________________________________________________________．6．棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的8个顶点都在球O 的表面上，E 、F 分别是棱AA 1、DD 1的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为________．7．(xx·四川)如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．8．(xx·连云港模拟)棱长为a的正四面体ABCD的四个顶点均在一个球面上，则此球的半径R为________．二、解答题(共42分)9．(12分)正四棱台AC1的高是17 cm，两底面的边长分别是4 cm和16 cm，求这个棱台的侧棱长和斜高．10．(14分)用斜二测画法画出如图中水平放置的四边形OABC的直观图．11．(16分)一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个高为x的内接圆柱．(1)用x表示圆柱的轴截面面积S；(2)当x为何值时，S最大？学案38 空间几何体答案自主梳理1．(1)平行平行长度相等全等垂直正多边形(2)公共顶点正多边形底面中心(3)平行于棱锥底面相似正棱锥 2.圆柱圆锥圆台轴底面球面球体球 3.斜二测(2)45°(或135°)(3)x′轴、y′轴或z′轴(4)不变原来的一半自我检测1．③2．球体3．60°解析设母线长为l，底面半径为r，则πl＝2πr.∴rl＝12，∴母线与高的夹角为30°.∴圆锥的顶角为60°.4.a2＋b2＋c22解析长方体的外接球的直径长为长方体的体对角线长，即2R＝a2＋b2＋c2，所以R＝a2＋b2＋c22.5.2＋2解析把直观图还原为平面图形得：直角梯形ABCD中，AB＝2，BC＝2＋1，AD＝1，∴面积为12×(2＋2)×2＝2＋ 2.课堂活动区例1 解题导引解决这种判断题的关键是：①准确理解棱柱、棱锥、棱台的概念；②正确运用平行、垂直的判定及性质定理进行判断，整体把握立体几何知识．答案③④⑤⑥解析①错误，因为棱柱的底面不一定是正多边形；②错误，必须用平行于底面的平面去截棱锥，才能得到棱台；③正确，因为三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；④正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；⑤正确，如图所示，正方体AC1中的四棱锥C1—ABC，四个面都是直角三角形；⑥正确，由棱台的概念可知．因此，正确命题的序号是③④⑤⑥.变式迁移1 ④解析①错误．如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．②错误．如下图，若△ABC 不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥．③错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．④正确．例2 解题导引 本题是已知直观图，探求原平面图形，考查逆向思维能力．要熟悉运用斜二测画法画水平放置的直观图的基本规则，注意直观图中的线段、角与原图中的对应线段、角的关系．答案 22a 2解析 根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则可知，在x 轴上(或与x 轴平行)的线段，其长度保持不变；在y 轴上(或与y 轴平行)的线段，其长度变为原来的一半，且∠x ′O ′y ′＝45°(或135°)，所以，若设原平面图形的面积为S ，则其直观图的面积为S ′＝12·22·S ＝24S .可以得出一个平面图形的面积S 与它的直观图的面积S ′之间的关系是S ′＝24S ，本题中直观图的面积为a 2，所以原平面四边形的面积S ＝a224＝22a 2.变式迁移2 22解析∵OE ＝22－1＝1，∴O ′E ′＝12，E ′F ＝24，∴直观图A ′B ′C ′D ′的面积为S ′＝12×(1＋3)×24＝22.例3 解题导引 解决这类问题的关键是准确分析出组合体的结构特征，发挥自己的空间想象能力，把立体图和截面图对照分析，有机结合，找出几何体中的数量关系，为了增加图形的直观性，常常画一个截面圆作为衬托．解 如图所示，△ABE 为题中的三角形，由已知得AB＝2，BE＝2×32＝3，BF＝23BE＝233，AF＝AB2－BF2＝4－43＝83，∴△ABE的面积为S＝12×BE×AF＝12×3×83＝2.∴所求的三角形的面积为 2.变式迁移3 120(3－22)解析作轴截面，PO＝40 cm，OA＝30 cm，设BC＝x，则O1C＝22x，∴O1COA＝O1POP，即22x30＝40－x40，∴x＝120(3－22)．课后练习区1．③2．7解析沿虚线折叠还原得几何体的直观图如下，则这个多面体的顶点数为7.3．14 14 2 7 21解析画出圆台的轴截面，如图，设O′、O分别是上、下底面的中心，作AE⊥DC于E，则有∠DAE＝45°.由于下底面周长是上底面周长的3倍，所以下底面半径是上底面半径的3倍，若设AE＝x，则DE＝x，AB＝x，CD＝3x，AD＝2x，于是轴截面的面积为：12·x·(3x＋x)＝392，解得x＝14，则圆台的高等于14 cm，母线长为142cm，上、下底面半径分别为7 cm和21 cm.4．①③5.6a2解析 在斜二测画法中原图面积与直观图面积之比为1∶24，则易知24S ＝34(2a )2，∴S ＝6a 2.6. 2解析 由题知球O 半径为32，球心O 到直线EF 的距离为12，由垂径定理可知直线EF 被球O 截得的线段长d ＝2×34－14＝ 2.7．2πR 2解析 方法一 设圆柱的轴与球的半径的夹角为α，则圆柱高为2R cos α，圆柱底面半径为R sin α，∴S 圆柱侧＝2π·R sin α·2R cos α＝2πR 2sin 2α.当sin 2α＝1时，S圆柱侧最大为2πR 2，此时，S 球表－S 圆柱侧＝4πR 2－2πR 2＝2πR 2.方法二 设圆柱底面半径为r ，则其高为2R 2－r 2.∴S 圆柱侧＝2πr ·2R 2－r 2，S ′圆柱侧＝4πR 2－r 2－4πr 2R 2－r2.令S ′圆柱侧＝0，得r ＝22R .当0<r <22R 时，S ′>0； 当22R <r <R 时，S ′<0. ∴当r ＝22R 时，S 圆柱侧取得最大值2πR 2. 此时S 球表－S 圆柱侧＝4πR 2－2πR 2＝2πR 2.方法三 设圆柱底面半径为r ，则其高为2R 2－r 2，∴S 圆柱侧＝2πr ·2R 2－r 2＝4πr 2R 2－r 2≤4πr 2＋R 2－r 22＝2πR 2(当且仅当r 2＝R 2－r 2，即r ＝22R 时取“＝”)．∴当r ＝22R 时，S 圆柱侧最大为2πR 2.此时S 球表－S 圆柱侧＝4πR 2－2πR 2＝2πR 2.8.64a 解析如图所示，设正四面体ABCD 内接于球O ，由D 点向底面ABC 作垂线，垂足为H ，连结AH ，OA ，则可求得AH ＝33a ，DH ＝a 2－⎝⎛⎭⎪⎫33a 2＝6a 3， 在Rt △AOH 中，⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫63a －R 2＝R 2，解得R ＝64a . 9．解如图所示，设棱台的两底面的中心分别是O 1、O ，B 1C 1和BC 的中点分别是E 1和E ，连结O 1O 、E 1E 、O 1B 1、OB 、O 1E 1、OE ，则四边形OBB 1O 1和OEE 1O 1都是直角梯形．(4分)∵A 1B 1＝4 cm ，AB ＝16 cm ， ∴O 1E 1＝2 cm ，OE ＝8 cm ，O 1B 1＝2 2 cm ，OB ＝8 2 cm ，(8分)∴B 1B 2＝O 1O 2＋(OB －O 1B 1)2＝361 cm 2，E 1E 2＝O 1O 2＋(OE －O 1E 1)2＝325 cm 2，(10分) ∴B 1B ＝19 cm ，E 1E ＝513 cm.答 这个棱台的侧棱长为19 cm ，斜高为513 cm. (12分)10．解 (1)画x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.(4分)(2)在O ′x ′轴上取D ′、B ′，使O ′D ′＝OD ，O ′B ′＝OB (如图所示)，在O ′y ′轴上取C ′，使O ′C ′＝12OC .在O ′x ′轴下方过点D ′作D ′A ′∥O ′y ′，使D ′A ′＝12DA .(10分)(3)连结O ′A ′，A ′B ′，C ′B ′，所得四边形O ′A ′B ′C ′就是四边形OABC 的直观图．(14分)11.解 (1)画出圆柱和圆锥的轴截面，如图，设圆柱的底面半径为r ，则由三角形相似可得x 6＝2－r 2，解得r ＝2－x 3.(6分) 圆柱的轴截面面积S ＝2r ·x ＝2(2－x3)·x＝－23x 2＋4x .(12分)(2)∵S ＝－23x 2＋4x ＝－23(x －3)2＋6∴当x ＝3时，S 的最大值为6.(16分)。