历年高考理科数学真题汇编+答案解析专题6 解析几何（2020年版）考查频率：一般为2个小题和1个大题. 考试分值：22分知识点分布：必修2、选修2-1一、选择题和填空题（每题5分）1．（2019全国I 卷理10）已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y +=【解析】由题意，设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.∵22||2||AF BF =，2||3||AB BF =，又∵1||||AB BF =，12||3||BF BF =. 由椭圆的定义可知，12||||2BF BF a +=，∵13||2a BF =，2||2aBF =，2||AF a =，1||AF a =. ∵13||||=2aAB BF =，∵1AF B ∆为等腰三角形，在1AF B ∆中，11||1cos 2||3AF F AB AB ∠==. 而在12AF F ∆中，222222121212212||||||22cos 12||||2AF AF F F a a F AB AF AF a a+-+-∠===-， ∵22113a -=，解得2=3a . ∵2=2b ，椭圆C 的方程为22132x y +=. 【答案】B【考点】选修2-1 椭圆2．（2019全国I 卷理16）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =u u u r u u u r ，120F B F B ⋅=u u u r u u u u r，则C 的离心率为____________．【解析】∵1F A AB =u u u r u u u r ，120F B F B ⋅=u u u r u u u u r∵1F A AB =，21F B F B ⊥， 又∵12F O OF =，∵2//OA FB ，1OA F B ⊥，12OB F O OF c ===.∵直线OA 的斜率为a b -，∵直线F 1B 的斜率为b a ，∵直线F 1B 的方程为)(c x bay +=. 因直线OB 的方程为x a b y =，联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=xa b y c x b a y )(，解得),(22222a b abc a b c a B --. 则2222222222242)()(c a b c b a a b c a OB =-+-=，整理得223a b =，又∵222a c b -=，∵224c a =. 因此2==ace .【答案】2【考点】选修2-1 双曲线3．（2019全国II 卷理8）若抛物线y 2=2px (p ＞0)的焦点是椭圆1322=+py p x 的一个焦点，则p =（ ） A ．2 B ．3 C ．4D ．8【解析】抛物线y 2=2px (p ＞0)的焦点为)0,2(p，并且在x 轴上. 所以椭圆1322=+p y p x 的一个焦点为)0,2(p . 所以有p p22=，得p =8. 【答案】D【考点】选修2-1 抛物线4．（2019全国II 卷理11）设F 为双曲线C ：22221(0,0)-=>>x y a b a b的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222+=x y a 交于P ，Q 两点．若=PQ OF ，则C 的离心率为（ ）A BC ．2D 【解析】如图A11所示. ∵OF 为直径，=PQ OF ，∴PQ 也是直径.，即点P 、Q 的坐标为)2,2(c c .把)2,2(c c 代入222+=x y a 得，222=c a . ∴22=e ，即2=e .【答案】A【考点】选修2-1 双曲线5．（2019全国III 卷理10）双曲线C ：22142x y -=的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A B C ． D ．【解析】依题意，双曲线C 的的右焦点为F ，渐近线方程为2y x =±.设),(00y x P ，若点P 在C 的渐近线2y x =上，如图A10所示，∵=PO PF ，∴ 0x =0y ==∵011||||22POF S OF y ∆=⋅==.若点P 在C 的渐近线y x =上，同理可得0x =0(y ==∵011||||2224POF S OF y ∆=⋅==.综上所述，4POF S ∆=.【答案】A【考点】选修2-1 双曲线6．（2019全国III 卷理15）设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【解析】由题意可知，6a =，b =4c =，∴12=2=8F F c ，12=2=12MF MF a +.∵M 在第一象限．12MF F △为等腰三角形，∴112=8MF F F =，24MF =. 设),(00y x M ，则有12222220000222220000=()(4)64=()(4)16x c y x y x c y F MF y M x ⎧++=++=⎪⎨-+=-+=⎪⎩， 解得03x =，0y M 的坐标为)15,3(.【答案】 【考点】选修2-1 椭圆7．（2018全国I 卷理8）设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(–2, 0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则⋅=u u u u r u u u rFM FNA ．5B ．6C ．7D ．8【解析】抛物线C 的焦点为F (1, 0)，过点(–2, 0)且斜率23的直线方程为324=+y x ，联立直线方程与抛物线方程，消去x 得2680-+=y y ，解得12=y ，24=y .不妨M (1, 2)，N (4, 4)，则有(0,2)=u u u u r FM ，(3,4)=u u u rFN ，所以8⋅=u u u u r u u u r FM FN .【答案】D【考点】选修2-1 抛物线8．（2018全国I 卷理11）已知双曲线C ：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝ A ．B ．3C ．D ．4【解析】由双曲线的方程可知，渐近线方程为3=±y x . 两条渐近线的夹角为60°. 由△OMN 是直角三角形，所以∠OMN =90°或∠ONM =90°.图A11当∠OMN =90°时，如图A11所示，∠MOF =30°，∠MON =60°，||||2==OM OF|||3==MN OM .由对称性可知，当∠OMN =90°时，||3MN =.【答案】B【考点】选修2-1 双曲线9．（2018全国II 卷理5）双曲线，则其渐近线方程为A ．B ．C ．D ． 2213x y -=3222221(0,0)x y a b a b-=>>y =y =2y x =y =【解析】由题意可知c=，∴b=. ∵渐近线方程为by xa=±=.【答案】A【考点】选修2-1 双曲线10.（2018全国II卷理12）已知，是椭圆的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠PF1F2＝120°，则C的离心率为A. B．C．D．【解析】由题意可知：(,0)-A a，1(,0)-F c，2(,0)Fc，所以直线AP的方程为)+y xa.由△PF1F2为等腰三角形，∠PF1F2＝120°，可知212||||2==PF F F c，则P的坐标为(2)P c.点P在直线AP)=+c a，化简得，4=a c. 所以C的离心率为14==cea.【答案】D【考点】选修2-1 椭圆11．（2018全国III卷理6）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则∵ABP面积的取值范围是A．B．C．D．【解析】如图所示，由题意可知)0,2(-A、)0,2(-B，∴22||=AB.过点P作△ABP的高PH，由图可以看出，当高PH所在的直线过圆心)0,2(时，高PH取最小值或最大值. 此时高PH所在的直线的方程为02=-+yx.1F2F22221(0)x yC a ba b+=>>：2312131420x y++=x y A B P()2222x y-+= []26，[]48，⎡⎣将02=-+y x 代入，得到与圆的两个交点：)1,1(-N 、)1,3(M ，因此22|211|min =+-=|PM|，232|213|max =++=|PM|. 所以222221min =⨯⨯=S ，6232221max =⨯⨯=S .【答案】A【考点】必修2 直线与圆12．（2018全国III 卷理11）设F 1、F 2是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若，则的离心率为 AB ．2CD【解析】双曲线C 的渐近线方程为by x a=±，即0bx ay ±=.∴ 点F 2到渐近线的距离为b ba bc d =+=22，即b ||PF =2，∴ a b c ||PF ||OF |OP|=-=-=222222，∴ a |OP|||PF 661==，在Rt △OPF 2中，cbOF ||PF O PF ==∠||cos 222，在Rt △F 1PF 2中，bca cb |F |F ||PF ||PF |F |F ||PF O PF 4642cos 22221221221222-+=⋅-+=∠，22(2)2x y -+=1PF =C∴ bc a c b c b 464222-+=，化简得222364b a c =-，将222a c b -=代入其中得223a c =，∴3222==ac e ，3=e .【答案】C【考点】选修2-1 双曲线13．（2018全国III 卷理16）已知点M (－1,1)和抛物线C ：24y x =，过的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若，则________．【解析】令由题意可知，抛物线C 的焦点为F (1,0)，直线AB 的方程为(1)y k x =-.联立2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，得22222(2)0k x k x k -++=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有21222424=2k x x k k++=+，121x x =， ∴12124(2)y y k x x k+=+-=，21212(1)(1)4y y k x x =--=-. ∵ M (－1,1)，∴ 11=(1,1)MA x y +-u u u r ，22=(1,1)MB x y +-u u u r，∵90AMB =o∠，∴MA MB ⊥u u u r u u u r ，∴1212244(1)(1)(1)(1)10MA MB x x y y k k⋅=+++--=-+=u u u r u u u r ，即2440k k ++=，解得=2k.C 90AMB =︒∠k =【答案】2【考点】选修2-1 抛物线14．（2017全国I 卷理10）已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．10【解析】方法一：如图，l l 丄l 2，直线l l 与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，要使|AB | + |DE |取最小值，则A 与D ，B 与E 关于x 轴对称，即直线DE 的斜率为1，又直线l 2过点（1, 0)，则直线l 2的方程为y ＝x －1，联立方程组241y xy x ⎧=⎨=-⎩，则y 2－4y －4 = 0，∴ y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝－4，∴12||-==y y ∴12||||8DE y y =-==， ∴ |AB|+|DE|的最小值为2|DE|＝16.方法二：设直线ll 的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为π2θ+， 根据焦点弦长公式可得2224||sin sin p AB θθ==，2224||πcos sin ()2pDE θθ==+，∴ 2222244416||||sin cos sin cos sin 2AB DE θθθθθ+=+==， ∵ 20sin 21<≤θ，∴ 当θ＝45°时，|AB|+|DE|取最小值，最小为16.【答案】A【考点】选修2-1 抛物线15．（2017全国I 卷理15）已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点. 若∵MAN =60°，则C 的离心率为________.【解析】双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A (a , 0)，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点.若∵MAN =60°，则A 到渐近线bx +ay =0的距离为：b cos30°=2，，解得=3c a ，即C 的离心率为=3e .【考点】选修2-1 双曲线16. （2017全国II 卷理9）若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2BCD ．3【解析】双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线方程不妨设为0bx ay +=，圆()2224x y -+=的圆心为A (2, 0)，半径为2，圆心A 到0bx ay +=的距离为L =，双曲线C 的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，由几何关系有22212L +=，即L =22=4c a ，所以离心率=2ce a =.【答案】A【考点】选修2-1 双曲线17. （2017全国II 卷理16）已知F 是抛物线C ：28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则|FN |＝ ． 【解析】由题意可知，F (2, 0)，N (0, y )，若M 为FN 的中点，则M 的横坐标为=1M x ，将=1M x ，代入抛物线C 的方程中，得=M y ±，即(1,M ±． ∵ ||2||6FN FM ==.【答案】6【考点】选修2-1 抛物线18．（2017全国III 卷理5）已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为2y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为 A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -= 【解析】椭圆221123x y +=的焦点坐标为(3,0)±， 则双曲线C 的焦点坐标为(3,0)±，即c ＝3；∵ 双曲线C 的一条渐近线方程为y x =，∴ 2=b a ，即2222222954--===b c a a a a a ，解得224,5==a b ；∴ C 的方程为22145x y -=. 【答案】B【考点】选修2-1 双曲线19．（2017全国III 卷理10）已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为ABCD ．13【解析】以线段A 1A 2为直径的圆的圆心在原点(0,0)，半径为a ，因为与直线20bx ay ab -+=相切，所以原点到直线20bx ay ab -+=的距离为aa =，化简得223ab =，∴椭圆C 的离心率为222222222233c a b b e a a b -====，e =.【答案】A【考点】选修2-1 椭圆二、简答题（每题12分）20．（2019全国I 卷理19）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若，求|AB |．【解析】设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+． （1）由题设得3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=．323AP PB =u u u r u u u r由223y x t y x=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-． 从而12(1)592t --=，得78t =-． 所以l 的方程为3728y x =-． （2）由3AP PB =u u u r u u u r可得123y y =-． 由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=． 代入C 的方程得1213,3x x ==．故||AB =． 21．（2019全国II 卷理20）已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为12-.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.【解析】（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠， 所以曲线C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点． （2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．由22142x y ⎪⎨+=⎪⎩得x =记u =，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2ky x u =-． 由22()2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得 22222(2)280k x uk x k u +-+-=①设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uk y k=+． 从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k kuk -+=-+-+． 所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．（ii ）由（i）得||2PQ =||PG =△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k++===++++‖． 设1t k k=+，则由k ＞0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号． 因为2812t S t =+在[2,)+∞单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为169． 因此，△PQG 面积的最大值为169． 22．（2019全国III 卷理21）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2112x y =．由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=-，整理得1122+1=0tx y -. 设()22,B x y ，同理可得2222+1=0tx y -． 故直线AB 的方程为2210tx y -+=． 所以直线AB 过定点1(0,)2．（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=. 于是()2121212122,1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，()212||21AB x t =-==+.设12,d d 分别为点D ，E 到直线AB的距离，则12d d ==.因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+. 设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由于EM AB ⊥u u u u r u u u r ，而()2,2EM t t =-u u u u r，AB u u u r 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±.当t =0时，S =3；当1t =±时，S =因此，四边形ADBE 的面积为3或.23．（2018全国I 卷理19）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程； （2）设为坐标原点，证明：. 【解析】（1）由已知得，l 的方程为x ＝1.由已知可得，点A 的坐标为或. 所以AM 的方程为. （2）当l 与x 轴重合时，.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为，， 则，直线MA ，MB 的斜率之和为. 由得.将代入得 .所以，. 则. 从而，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以. 综上，.24.（2018全国II卷理19）22:12x C y +=F F l C ,A B M (2,0)l x AM O OMA OMB ∠=∠(1,0)F (1,)2(1,2-y x =+y x =0OMA OMB ∠=∠=︒OMA OMB ∠=∠(1)(0)y k x k =-≠1221(,),(,)A y x y x B 12x x <<212122MA MB x x y yk k +=+--1122,y k k x y k x k =-=-121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--(1)y k x =-2212x y +=2222(21)4220k x k x k +-+-=21221222422,2121x x x k k k x k -+==++3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+0MA MB k k +=OMA OMB ∠=∠OMA OMB ∠=∠设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．【解析】（1）由题意得，l 的方程为．设，由得． ，故． 所以．由题设知，解得（舍去），． 因此l 的方程为．（2）由（1）得AB 的中点坐标为，所以AB 的垂直平分线方程为，即．设所求圆的圆心坐标为，则解得或 因此所求圆的方程为或．25．（2018全国III 卷理20）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．（1）证明：； （2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．24C y x =：F F (0)k k >l C A B ||8AB =l A B C (1,0)F (1)(0)y k x k =->1221(,),(,)A y x y x B 2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩2222(24)0k x k x k -++=216160k ∆=+>122224kx k x ++=122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=22448k k+=1k =-1k =1y x =-(3,2)2(3)y x -=--5y x =-+00(,)x y 00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩003,2x y =⎧⎨=⎩0011,6.x y =⎧⎨=-⎩22(3)(2)16x y -+-=22(11)(6)144x y -++=k l 22143x y C +=：A B AB ()()10M m m >，12k <-F C P C FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r FA u u u r FP u u u r FB u u u r【解析】（1）设，则. 两式相减，并由得. 由题设知，于是 .∵ 由题设得，故. （2）由题意得，设，则.由（1）及题设得.又点P 在C 上，所以，从而，.于是.同理.所以.故，即成等差数列.设该数列的公差为d ，则.∵1221(,),(,)A y x y x B 222212121,14343y x y x +=+=1221y x y k x -=-1122043y x y k x +++⋅=12121,22x y x ym ++==34k m=-302m <<12k <-(1,0)F 33(,)P x y 331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<34m =3(1,)2P -3||2FP =u u ur 1||22x FA ===-u u u r 2||22xFB =-u u u r 121||||4()32FA FB x x +=-+=u u u r u u u r 2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r ||,||,||FA FP FB u u u r u u u r u u ur1212||||||||||2FB FA x x d =-=-=u u u r u u u r将代入∵得. 所以l 的方程为，代入C 的方程，并整理得. 故，代入∵解得.所以该数列的公差为或.26.（2017全国I 卷理20）已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1），P 4（1）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点. 【解析】（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点.又由222211134a b a b+>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上. 因此222111314b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩.故C 的方程为2214x y +=.（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <， 可得A ，B 的坐标分别为（tt，）.则121k k +==-，得2t =，不符合题设. 从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2214x y +=得34m =1k =-74y x =-+2171404x x -+=121212,28x x x x +==||28d=2828-222(41)8440k x kmx m +++-=由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841kmk -+，x 1x 2=224441m k -+.而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-.当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-） 27.（2017全国II 卷理20）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P满足NP =u u u r u u u r .(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r. 证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【解析】（1）设P （x ,y ）,M （x 0,y 0）,设N （x 0,0）, ()()00,,0,=-=NP x x y NM y u u u r u u u u r，由=NP u u u r u u u r得00=,=x x y y ， 因为M （x 0,y 0）在C 上，所以22122+=x y ，因此点P 的轨迹方程为222+=x y .（2）由题意知F （－1,0），设Q （－3,t ）,P (m,n)，则()()3,1,,33t OQ ,PF m n OQ PF m tn =-=---⋅=+-u u u r u u u r u u u r u u u r ，()(),3,==---OP m,n PQ m,t n u u u r u u u r由1OP PQ ⋅=u u u r u u u r 得22-31m m tn n -+-=，又由（1）知22+=2m n ，故3+3m －tn ＝0所以0OQ PF ⋅=u u u r u u u r ，即⊥OQ PF u u u r u u u r . 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .28．（2017全国III 卷理20）已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，－2），求直线l 与圆M 的方程．【解析】（1）设()()11222A x ,y ,B x ,y ,l :x my =+，由222x my y x=+⎧⎨=⎩可得212240则4y my ,y y --==-， 又()22212121212==故=224y y y y x ,x ,x x ＝4，因此O A 的斜率与O B 的斜率之积为y y x x ⋅1212-4==-14， 所以O A ∵O B ，故坐标原点O 在圆M 上. （2）由（1）可得()2121212+=2+=++4=24y y m,x x m y y m +，故圆心M 的坐标为()2+2，m m ，圆M 的半径r = 由于圆M 过点P （4，－2），因此AP BP ⋅=u u u r u u u r 0,故()()()()121244220x x y y --+++=，即()()121212124+2200x x x x y y y y -++++=，由（1）可得1212=-4，=4y y x x ，所以2210m m --=，解得11或2m m ==-. 当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为（3,1），圆M M 的方程为()()223110x y -+-=，当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91，-42⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆M ，圆M 的方程为229185++4216x y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.。