历年高考理科数学真题汇编+答案解析专题4数列（2020年版）考查频率：一般为2个小题或1个大题考试分值：10分~12分知识点分布：必修5一、选择题和填空题（每题5分）1．（2019全国I 卷理9）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意有⎩⎨⎧=+=+5406411d a d a ，解之得⎩⎨⎧=-=231d a .∴1(1)25n a a n d n =+-=-，21(1)42n n n S na d n n -=+=-.【答案】A【考点】必修5等差数列2.（2019全国I 卷理14）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________．【解析】由246a a =可得，26511a q a q =，11a q =，∴3q =.∴551(13)1213133S -==-.【考点】必修5等比数列3．（2019全国III 卷理5）已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3=A ．16B ．8C ．4D ．2【解析】由题意可得，23142111(1)1534a q q q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩，解得2q =，11a =.∴2314a a q ==.【答案】C【考点】必修5等比数列4．（2019全国III 卷理14）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________.【解析】∵12103a a a =≠，，∴2113a a d a =+=，即12d a =.∵1011111091010901002S a d a a a ⨯=+=+=，51111545520252S a d a a a ⨯=+=+=.∴1054S S =.【答案】4【考点】必修5等差数列5．（2018全国I 卷理4）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12-B ．10-C ．10D ．12【解析】由4213S S S +=得，)64()2()33(3111d a d a d a +++=+，解得3231-=-=a d ，∴10122415-=-=+=d a a .【答案】B【考点】必修5等差数列6．（2018全国I 卷理14）记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若21n n S a =+，则6S =_____________．【解析】当n ＝1时，1121a a =+，解得11a =-；当n ≥2时，有1121n n S a --=+，21n n S a =+，二式相减，得122n n n a a a -=-，化简得12n n a a -=.所以{a n }是一个以－1为首项，以2为公比的等比数列.所以661(12)6312S -⨯-==--.【答案】－63【考点】必修5等比数列7．（2017全国I 卷理4）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】由题意得4512724a a a d +=+=，6161548S a d =+=，解得4d =.【答案】C【考点】必修5等差数列8．（2017全国I 卷理11）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A ．440B ．330C ．220D ．110【解析】第1组有1个数：20，其和为21－1；第2组有2个数：20、21，其和为22－1；第3组有3个数：20、21、22，其和为23－1；……第k 组有k 个数：20、21、…、2k －1，其和为2k －1；于是，前k 组共(1)122++++=k k k 个数，其和为1212(12)2222(2)12+-+++-=-=-+- k k k k k k ，即1(1)2(2)2++⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭k k k S k ，设第k +1组有n 个数（n ≤k +1），其和为2n －1，则(1)2+=+k k N n ，()12(2)(21)+=-++-k n S N k ，∵数列的前N 项和为2的整数幂，∴212-=+n k ，由(1)1002+>k k 得，14≥k ，∴n ＝5，k =29，则29(291)54402⨯+=+=N .【答案】A【考点】必修5等差数列、等比数列9.（2017全国II 卷理3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏【解析】设这个塔顶层有a 盏灯，∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a 为首项的等比数列，∵总共有灯381盏，∴7(12)38112a -=-，解得3a =.【答案】B【考点】必修5等比数列10.（2017全国II 卷理15）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11n k k S ==∑．【解析】等差数列{}n a 的公差为d ，则有11234(23)102a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1=11a d =，．∴(1)2n n n S +=，∴12112(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，则1111111122121223111n k kn S n n n n =⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑ .【答案】21nn +【考点】必修5等差数列11．（2017全国III 卷理9）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为A ．－24B ．－3C ．3D ．8【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，∵a 2，a 3，a 6成等比数列，∴2326=a a a ，即2(12)(1)(15)+=++d d d ，解得2=-d ；∴{}n a 前6项的和为1666()3(1110)242+==+-=-a a S .【答案】A【考点】必修5等差数列12．（2017全国III 卷理14）设等比数列{}n a 满足a 1＋a 2＝–1,a 1–a 3＝–3，则a 4＝___________．【解析】设等比数列{}n a 的公差为q ，∵a 1＋a 2＝–1,a 1–a 3＝–3，∴1(1)1+=-a q ，21(1)3-=-a q ，解得11,2==-a q ，∴3418==-a a q .【答案】－8【考点】必修5等比数列二、简单题（每题12分）13．（12分）（2019全国II 卷理19）已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434+-=+n n n a a b ，1434+-=-n n n b b a .（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列；（2）求{a n }和{b n }的通项公式.【解析】（1）由题设得114()2()+++=+n n n n a b a b ，即111()2+++=+n n n n a b a b ．又因为a 1+b 1=l ，所以{}+n n a b 是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得114()4()8++-=-+n n n n a b a b ，即112++-=-+n n n n a b a b ．又因为a 1–b 1=l ，所以{}-n n a b 是首项为1，公差为2的等差数列．（2）由（1）知，112-+=n n n a b ，21-=-n n a b n ．所以111[()()]222=++-=+-n n n n n n a a b a b n ，111[()()]222=+--=-+n n n n n n b a b a b n ．【考点】必修5等差数列、等比数列14.（2018全国II 卷理17）（12分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值．【解析】（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15．由a 1＝－7得d ＝2．所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9．（2）由（1）得S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16．所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16．【考点】必修5等差数列15．（2018全国III 卷理17）等比数列{}n a 中，15314a a a ==，．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q-=.由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =.故1(2)n n a -=-或12n n a -=.（2）若1(2)n n a -=-，则1(2)3n n S --=.由63m S =得(2)188m -=-，此方程没有正整数解.若12n n a -=，则21n n S =-.由63m S =得264m =，解得6m =.综上，6m =.【考点】必修5等比数列。