高三第一轮复习数学---三角函数的最值
一、 教学目标：掌握三角函数最值的常见求法，能运用三角函数最值解决一些实际问题. 二、 教学重点：求三角函数的最值 三、 教学过程：
(一) 主要知识：
求三角函数的最值，主要利用正、余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型 sinx 化为一次函数y at b 在闭区间t [ 1,1]上的最值求之；
a b
c ，弓丨入辅助角 (ccs
,sin —— )，化为 .a b . a b
)c 求解方法同类型①；
2
c ,设t si nx ，化为二次函数 y at bt c 在t [ 1,1]上的
④ y a si nxcosx b(si nx cosx) c ，设 t sinx cosx 化为二 次函数
y 岂卫 bt c 在闭区间t [ 、、2,、、2]上的最值求之;
2
at 2 b
⑤y atanx bcotx ，设t tanx 化为y 用 法求值；当ab 0时，还可用平
t
均值定理求最值;
-根据正弦函数的有界性，即可分析法求最值，还可“不等式”法或“数形
d
结合” •
(二) 主要方法： (1) 认真观察函数式，分析其结构特征，确定类型。
(2) 根据类型，适当地进行三角恒等变形或转化，这是关键的步骤。
(3)
在有关几何图形的最值中，应侧重于将其化为三角函数问题来解决。
2.特别说明
注意变换前后函数的等价性，正弦、余弦的有界性及函数定义域对最值确定的影响， 含参数
函数的最值，解题要注意参数的作用和影响。
(三) 例题分析：
1、化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值。
例1：求函数y sin 2x . 3si nxcosx 1的最值，并求取得最值时的
x 值。
处理:
①y
a sin x
b ，设t ②y a sin x b cosx y
.a 2 b 2 sin (x ③y
・2
a sin x
bsin x
解：y f
(1 cos2x )
3
sin2x 1
2
虫i 2
in 2x
2
lcos2x 1
2 2
sin (2x —)
6
•••当 2x
2k ,即 x k
6 2
—(k Z)时，y 取得最大值, 3
1
y max
2
a sin x
csin x 最值求之;
2k
6
,即x k (k Z)时，y 取得最小值，y mix
2 6
思维点拨：三角函数的定义域对三角函数有界性的影响。
转化为闭区间上二次函数的最值问题。
2
1 cosx a 2
4（舍）
2 a 2
3a 2 0,即a 1,即a 0时,则当t 2时，则当t 0即
cosx 1 即 cosx
y
max
1 时,y max
5 a 8
5 a 8
12（舍） 5
a 却（舍）
13
3 综上知，存在a 符合题意。
2 思维点拨：闭区间上的二次函数的最值问题字母分类讨论思路。
练习变式3:求函数y x cot sinx cotx sin2x 的最值. 2 解：y 1 cosx . si nx sin x cosx 2sinxcosx 2 cosx sin x
sinx 0 cosx 1 当 cosx
—日寸,y 有最小值 4
-,无最大值.
8
当2x
练习：变式1、函数 y sin x
cosx sin x 0
x -的最大值是
解: y sin xcosx
sin 2x
[si n2x 1
1
2 2
cos2x
— sin 2x 2
2x
—,sin 2x 4
0,」
2、
2是否存在实数a ，使得函数y sin 2 x acosx 弓在闭区间
0,
上的最大值
2
1?若存在，求出对应的 a 值？若不存在，试说明理由。
解:
—时
2时，
0 cosx
cosx 则 0 t 1，
1,即0 a 2时，则当t —即
cosx 2 i
时,
y max
.3 3
令: y k x 2，圆心到直线的距离
1，得 k —或 k
1 k 2
3
3、换元法解决sinx cosx,sinxcosx 同时出现的题型。
例 3 求函数 y (sin x a)(cos x a)的最值(0 a , 2)。
［思维点拨］：遇到sinx cosx 与sin xcosx 相关的问题，常采用换元法，但要注意 sinx
cosx 的取值范围是［、.2「2］，以保证函数间的等价转化。
练习变式4、求函数y 4 3sinx 4 3cosx 的最小值。
4 所以当t -时，y min
3
例4、求函数y
'
3 cosx
的值域。
2 sin x
思维点拨：此题为基本题型解决的方法很多， 可用三角函数的有界性或万能公式, 这里以图象法的主求解。
解: y si nxcosx a(si nx cosx) a 2
令 sinx cosx t ，贝V t [
、.2,._2], 且有 sinx?cosx ------ ---- 1
2
1
故y (t
2 a)2
a 2 1 2 ，
由a (0八2］知当t a 时,
a 2
1
y
mix 2
;当t
2
时，y max a 2 羽 2。
解:
y 16 12 sinx cosx 9sin xcosx
sin x cosx
I"
2. -2 ，贝V sin xcosx
t 2 1
16 12t 9 t 2 2
a si nx
4、图象法，解决形如 y
型的函数。
bcosx d
判别式法。
3 cosx 解：由y
得y
2 sin x V
3 sin x
cosx 0
，设点 P si nx, cosx Q 2,0 2
cosx
则
可看作是单位圆上的动点
2 sinx
P 与定点Q 连线的斜率k
3
~3
所以函数的值域为 1,1 O
围又该怎样呢？
5、利用不等式单调性求最值。
(1 sin x)(3 sinx) /
例6 求y
的最值及相应的x 的集合。
2 sin x
变式：y x sinx 在，
上的最大值为多少？
2
思维点拨：禾U 用基本不等式求最值时，等号不能取得时，可利用单调性。
(四) 巩固练习:
四、小结：
(1) 求三角函数最值的方法有：①配方法，②化为一个角的三角函数，③数形结合 法④换元法，⑤基本不等式法。
(2) 三角函数最值都是在给定区间上取得的，因而要特别注意题设所给出的区间。
(3)
求三角函数的最值时，一般要进行一些三角变换以及代数换元，须注意函数有
1.已知函数y Asin( x )在同一周期内，当 x
时，取得最大值
9
丄，当x
2
1
取得最小值-，则该函数的解析式是
2
1
2si n(§x —)
1 sin( 3x )
2 6
cos2x 2 3sinxcosx k 1 有解，则 k
(A) y (D)y
2 •若方程
1
(B) y sin(3x
(C)
-sin(3x -) 2 6
[3,1]•
意义的条件和弦函数的有界性。
（4）
含参数函数的最值，解题要注意参数的作用和影响。
五、作业：。