nn xx
[c x ]
[c
T ] x
c11 x 21 cx
n1 cx
c12 x 22 cx
n2 cx
n c1 x 2n cx
nn cx
[c
]
c11 c 21 c n1
c12 c 22 cn2
i
c1n c2n c nn
rs c xi yir , s r c rs x yj jxj j
rs c xx i
rs rs c xi , cx rs c xi yis yir i
c rs
[c yy ]与[cxx ]相似, 而[c y ]( [c y ] ) 与[cx ]相似，只需
T
[K ]
将下标x换成y即可。
• 类似地，有
[k xx ] [0] [k x ] [0] [k yy ] [k y ] , [k x ] [k y ] [k ] k k k
T j T j
{ X } [m]{1}ugx { X } [m]{ X } j (1.12)
• 化简得
T j
{ } [ J ]{1} { } [m ]{ } j
T j T j
g
第j振型圆频率
2 j
qj
2
j
jq j
qj
xj gx
u
yj gy
u
j
g
(1.13)
g
第j振型阻尼比
分别为相应地震动加速度 用， 第j振型参与系数
n
kx ky
k k
x i 1 t y j 1
k xi yi k yj x j
e y k xx ex k yy (1.6)
m m J k xx 0 e y k xx
ux uy 0 k yy ex k yy (1.7)
cxx 0 cx
0 c yy c y
cx cy c
ux uy m m J ugx ugy
• 若 Dpj D j ，j振型为平动为主振型 • 若 D j Dpj ，j振型为扭转为主振型 • 地震作用下，若产生扭转耦联振动，若结 构振动的扭转效应较大，那么结构振动时 可能发生扭转破坏，这对于结构抗震是非 常不利的。
① 应当避免结构偏心过大导致结构扭转效应增大， 这关键是限制平面布置的不规则性，使结构布 置尽量规则、对称，减少结构的偏心程度。
• 地震作用效应
S EK

j 1 k 1 2 2 T
m
m
jk
S j Sk (1.14)
jk
1.5 8 j k (1 T )T
(1 ) 4 j k (1 )T
2 T
S EK 考虑扭转的地震作用效应
jk j, k 振型的耦联系数 T k 振型与j振型的自振周期比 j， k j, k 振型的阻尼比
[C ]
[M ]
[K ]
(1.10)
将式(1.9)(1.10)代入(1.8),并在方程两边同乘以 矩阵{A}j
qj
2
j
j
qj
2 j
qj
{ A}Tj [ M ]{U g } { A} [ M ]{ A} j
T j
(1.11)
qj
2
T j
j
j
qj
2 j
qj {Y } [m ]{1}ugy {Y } [m ]{Y } j
g
e y k xx u x ex k yy u y k
1.4多层偏心结构的振动
图示为一n层 结构简图，假设 楼盖均为刚性 楼屋盖，每层均有 3个自由度，水平 地震作用下，振动 方程为
[ M ]{U } [C ]{U } [ K ]{U }
[m ] [M ] m1 [m ] m2 mn ,[ J ] [m] [J ]
cxx 0 cx
0 c yy c y m
cx cy c m
ux uy ugx ugy J
g
• 其中
n t n
cxx
i 1
cxi , c yy
j 1 n
c yj , c
i 1
cxi y
t
2 i
t
c yj x
j 1 2 j
2 j
cx k xx
c
n
x i 1
c x , cy
t
2 xi i
c
y j 1
c yj x
② 应当控制结构的抗扭刚度不至于太弱，关键是 控制 Tt / T1 之比不要太大。（0.9,0.85）
S j , Sk j, k 振型地震作用产生的作用效应。
• 1.5.3结构振动周期的判别 • 第一扭转自振周期的判别
j振型平动方向因子
Dpj m x mi y
2 i ij i i
2 ij
j振型扭转方向因子
2 D j J iij i
同一振型中，若D j , D pj 同时出现，则水平地震 作用下，结构j振型将同时产生平动和扭转。为 不对称结构。扭转振动耦联效应明显。
y
令质量中 心的位移 为 u ,u
xk yjyk xi则第i, j 个 抗侧力构件
ey
m
ex
x
uxi u yj
ux uy
yi xj (1.3)
• 运动方程
n n
mu x
i 1 t
cxi (u x c yj (u y
j 1 n
yi )
i 1 t
k xi (u x k yj (u y
j 1 t
yi ) xj ) x j )x j J
n k1 xx e yn 2n k xx e yn
nn k xx e yn
[k
]
k 11 k 21 k n1
k 12 k 22 k n2
k 1n k 2n k nn
rs k xx i
rs k xi rs k xi yis yir i j rs s r k yj xjxj
k rs
ux {U } uy , ux
ugx , ugy ,
作
X jiGi
xj i i
X2 ji Gi
i i
2 Y ji Gi i
ri 2
2 ji
Gi
Y jiGi
yj i
X Gi
i i
2 ji
Y Gi
i
2 ji
ri Gi
2
2 ji
Gi
ri 2
j i
ji
X2 ji Gi
i
2 Y ji Gi i
ri 2
2 ji
Gi
其中Gi : 第i层楼盖重力荷载代表值 ri J i / mi 为第i层楼盖的回转半径
• 由此可见，地震是无论结构是否对称、规 则，扭转振动总是存在，分析水平地震作 用下的扭转振动有实际意义：
– 《建筑结构抗震设计规范》规定：规则结构不 进行扭转耦联计算时
1.2刚度中心和质量中心
k yj ( x j )
t
k yj x j xc
j 1 t
,(1.1a ) k yj
k xi
j 1 n
• 1.5.2地震作用计算 单向水平地震作用计算 弹性结构在单向水平地震加速度 ugx或ugy 作 用下，第j振型地震作用可按下式计算
Fxji Fyji M xji
tj
tj tj tj
tj tj
X jiGi Y jiGi
tj i
r
2 ji
Gi
yj sin
(1.14)
地震作用方向与x轴 的夹角
xj cos
g
mugx mu gy
mu y J
i 1 t
xj )
cxi (u x k yj (u y
y i ) yi
j 1 n
c yj (u y k xi (u x
x j )x j
i 1
yi ) yi
(1.4)
j 1
m m J k xx 0 k x 0 k yy k y
ux uy kx ky k (1.5) ux uy
{U } [ A]{q} (1.9) [ A] [{ A}1{ A}2 ...{ A} j ...{ A}n ] { A} j [{ X } {Y } { } ] [ X j1... X jn Y j1...Y jn
j1 T j T j T j
...
jn
]
T
式中[A]—振型矩阵 {q}—广义坐标向量 采用瑞利阻尼
[ M ]{U g }
(1.8)
J1 J2 Jn
[C ]
[cxx ] [0] [cx ] [0] [c yy ] [c y ] , [c x ] [c y ] [c ] c c c
11 xx 21 xx
[cxx ]
c c c
12 xx 22 xx
c c c
1n xx 2n xx
n1 xx
n2 xx
11 xx 21 xx
[k xx ]
k k k
12 xx 22 xx
k k k
1n xx 2n xx
n1 xx
n2 xx
nn xx
[k x ]
[k
T ] x
k 11 xx e y 1 21 k xx e y1
n1 k xx e y1
k 12 xx e y 2 22 k xx ey 2
n2 k xx ey 2
yi
(1.1b)
xm
k xi yi yc
i 1 n
ey
k xi
i 1
yc xc ex
ym
k yj
平行于y轴的第j片抗侧力构件的侧移刚度
k xi
平行于x轴的第i片抗侧力构件的侧移刚度