例 2（133.例 4）设总体 X 服从标准正态分
布, X1, X2, , Xn 是来自总体 X 的一个简单随 机样本, 试问统计量
Y
n 5
1
5 i 1
X
2 i
服从何种分布?
n
X
2 i
,
i6
n5
• 某学院今年将扩招硕士，预计招硕士新生 100人，按入学考试成绩录取，现有1000人 报名，可认为考试成绩X服从正态分布，经 往年报考成绩数据估算，X～N(350,400).那 么该学院今年应如何确定录取分数线？
• 设X1，X2，…，Xn为来自总体X的一个样 本，g( X1，X2，…，Xn ）是一个不含任何未 知参数的连续函数，称g(X1，X2，…，Xn） 为统计量。
统计量是样本的函数，也是随机变量，具有 概率分布。把统计量的概率分布称为抽样 分布。
概率论与数理统计
Review
设（X1，X2，…，Xn）为来自总体X的简单随机样本。
P{| X | u /2}
(uP0P.0{{5/XX2 )1uu0//22.或 2}05XP{0X.u97/52u} /2}
2uP0{.02X5 1.9u6 / 2} 2(u / 2 ) 2(1 (u /2 ))
(u /2 ) 1 2
概率论与数理统计
n0(.10 x4
概率论与数理统O计1 2
1
23 4
e
x2 2
dx
5678
1)
9 10
n(3 1)
11 1213 14 15
y2n
例 1（131.例 2）设 X1, , X6 是来自总体 N(0,1) 的样本, 又设
Y (X1 X2 X3)2 (X4 X5 X6)2
试求常数 C, 使CY 服从 2 分布.
2] / 2)
n n n1/ 2 n2/ 2
1
2
x n1 2
1
n1 n2
(n1x n2 ) 2
0,
,x 0
x0
F f (x)
若 F ~ F(n1, n2) , 则
1 F
~
F (10,50)
F (n2, n1)
F (10,4)
若 Z ~ t(n) , 则 Z 2 ~ F(1, n)
x
O
1.0
2.0
概率论与数理统计
t
设 X ~ N(0,1), Y ~ 2 (n) ,且 X ,Y 相互独立,令
t X Y /n
称 服t 从自由度为 的 分布n，记为t
t ~ t (n).
t
f
(x)
Γ[(n 1) / 2]
n Γ (n / 2)
1+
x2 n
(n1) / 2
,
x
随着自由度的增加曲 线越来越趋近
f ( x) N (0,1) t (9)
2 ~ 2(n).
2
Y12
Y22
Y2 n2
设
2 1 取
~n个f独(2y立()n同1)理分),,解则布122为22n可/E~2独(Γ1的22立(22n~变()n/N化22()的)2n,0(r,且y,.n1vn1D)个/2(数1n12er22,相.))vy互/22X2独,21y立,nX, 则20,,
1.样本均值:
X
1 n
n i 1
Xi
常用于估计总体分布的均值，或 检验有关总体分布均值的假设。
2.样本方差：
S2
1 n 1
n i 1
(Xi
X )2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
用于估计总体分布的方差。式中的n－1称为S2的自由度（式中含有
独立变量的个数），S称为样本标准差，又称为标准误。
3.样本矩： K 阶原点矩：
Ak
1 n
n i 1
X
k i
（k 1, 2,） A1 X
K 阶中心矩：
Bk
1 n
n
(Xi X )k
i1
(k 1, 2,L )
B2
n 1 n
s2
s2
概率论与数理统计
2
设 X1, X2 ,, Xn 是来自总体
X ~ N( 0 ,1) 的样本,令
2
X12
X
2 2
Xn2
称 服2从自由度为 的 分布n，记为 2
概率论与数理统计
分位数：设随机变量 X 的分布函数为 F(x), 对给定的实数 ， (0 1) ，若实数 F 满足
P{X F }
则称 F 为随机变量 X 分布的水平 的上侧分 位数。 若实数 T /2 满足
P{| X | T /2}
则称为随机变量 X 分布的水平的双侧分位数。
概率论与数理统计
Xn
则 X1与2 2 X22X12 XX22 n21 Xn2 同0分布 ,,于是
y0
则
Γ设D(Ez(()i222))0~xziEXn200011..e.(1142322Din000nxi1(d)fXXXx(,y22iiin222)2))(nz21n1,in2n0D14,)E(Xk2(X,n2X~n1k12i,2)Y且)6212(nn1i{nY11nE22D2,n(2X1(122X14,i)随)着重,Y[nn自心E2i2kkn2由向1()相1X度右互12的下独)n增方]立2加移}, 曲动线
例 3（129.例 1）设 0.05, 求标准正态分 布的水平 0.05 的上侧分位数和双侧分位数.
解 P{X u }
1 P{X u }
1 (u )
(u ) 1
(u0.05 ) 1 0.05 0.95 u0.05 1.645
概率论与数理统计
例 3（129.例 1）设 0.05, 求标准正态分 布的水平 0.05 的上侧分位数和双侧分位数.
N ( 0,1 )
t (2)
概率论与数理统计
5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5
x
F
设 U ~ 2 (n1), V ~ 2 (n2 ) ,且 U ,V 相互独立,令
称 F服从自由度为
F
U /n1 V /n2
的 (n分1布, n，2)记为 F
F ~ F (n1, n2).
F
f
(x)
Γ[(n1 n2 ) / Γ (n1/ 2)Γ (n2
概率论与数理统计
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• 为使样本具有充分的代表性，常进行简单 随机抽样，即要求： 样本有随机性：总体中每个个体入选的机会
相等，即每个样品与总体同分布； 样本有独立性：每次抽样的结果不影响其它
各次抽样的结果，即相互独立。 简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本。
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• 统计学认为，总体就是一个随机变量X，它 的分布称为总体分布。数理统计的基本问 题就是推断总体的分布。
从总体X中抽取部分个体，称为抽样，即是 对X进行若干次观测，得到的就是n个随机变 量X1,X2,…, Xn ，称为样本，其中n为样本容 量，样本中的个体称为样品,样本观测值称 为样本值。