一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2
)1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q
q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n
k n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n [
[∴当8
-n ，即n ＝8时，50)(max =n f 题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝
题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a =,b =,c =
.
解：原式=答案：
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列.
[例3]求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①
解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积
设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=……………………….②（设制错位） n n 1432-∴[例4]2
练习题1已知，求数列｛答案：
练习题2的前n 项和为____
答案：
三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.
[例5]求证：n n n n n n
n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++
证明：设n n n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=…………………………..①
把①式右边倒转过来得
0113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-（反序）
又由m n n m n C C -=可得
n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..……..②
①+②得n n n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=-（反序相加）
[例6]求S ①+∴S 题1已知函数
（1）证明：；（2）求的值解：（1（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，
两式相加得：
所以. 练习、求值：
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
[例7]求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a
a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n a
a a S n n 将其每一项拆开再重新组合得
)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n a
a a S n n （分组） 当a ＝1时，
)13(n n n S n -+=＝)13(n n +（分组求和） [例8]这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：
（1）)()1(n f n f a n -+=（2）
n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）1
11)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])
2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n
(6)n
n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 （7）)11(1))((1C
An B An B C C An B An a n +-+-=++= （8
）n a ==[例9]求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,3
21
,211n n 的前n 项和.
[例 ∴b n ＝1(8[例11]求证： 1
sin 89cos 88cos 2cos 1cos 1cos 0cos 2=+⋅⋅⋅++ 解：设
89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵
n n n n tan )1tan()
1cos(cos 1sin -+=+（裂项） ∴ 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=
S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1
sin 1 -+-+-+-
＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝
1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立
练习题1. 答案：.
练习题2
答案：[例＝0 [例13]665646362616++++++k k k k k k ∴ S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++（合并求和）
＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a
＝2002200120001999a a a a +++
＝46362616+++++++k k k k a a a a
＝5
[例14]在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.
解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=
由等比数列的性质q p n m a a a a q p n m =⇒+=+（找特殊性质项）
和对数的运算性质N M N M a a a ⋅=+log log log 得
)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++=（合并求和）
＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅
＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++
练习题1设＝答案：2练习题2A .1B .解：对前=
答案：练习题3A .先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.
[例15]求
1
1111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 解：由于)110(9199999111111
1-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅k k k
个个（找通项及特征） ∴
11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ ＝)110(9
1)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n （分组求和）
＝)1111(91)10101010(911
321 个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++ ＝9
110)110(1091n n ---⋅ ＝)91010(81
11n n --+ [例16]已知数列{a n }：∑∞=+-+++=1
1))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值.
＝3
13 1．2．(1)3．数列n ⑵设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ；
说明：本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列”一章的学习。