齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学2018届高三第一次调研联考数学（文）试题一、选择题（12个小题，每小题5分，共60分）1. 已知函数()()2lg 1f x x =-的定义域为P ，不等式11x -<的解集为Q ，则P Q ⋃=（ ）A. ()0,1B. ()1,2-C. ()1,0-D. ()1,2【答案】B 【解析】因为210,1x 1x ->-<<，所以()1,1P =-，由11x -<可得02x << ,所以()0,2Q =，所以()1,2P Q ⋃=-，故选B.2. “0.20.2log log a b <”是“a b >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】根据函数0.2()log f x x =是减函数，由0.20.2log log a b <可得a b >，充分性成立； 但当a b ，之一非正数时，由a b >不能推出0.20.2log log a b <，必要性不成立；故选A.3. 关于函数()|sin |f x x π=的说法，正确的是（ ） A. ()f x 在(0,1)上是增函数 B. ()f x 是以π为周期的周期函数 C. ()f x 是奇函数 D. ()f x 是偶函数【答案】D 【解析】由复合函数的单调性可知()f x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，上递增，在112，⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减； sin x π的周期为1，则()f x 的周期为1()()()sin f x x sin x f x ππ-=-==，()f x 为偶函数，故选D4. 已知角θ的终边经过点34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2sin 2θ的值为（ ） A.110 B.15C.45D.910【答案】C 【解析】 因为点34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在单位圆上，又在角θ的终边上，所以3cos 5θ=-； 则231()1cos 45sin 2225θθ---===；故选C. 5. 已知tan 2θ=，则23sin cos 2θθ-=（ ） A.45B. 3C. 0D.95【答案】B 【解析】22222222223sin cos 24sin cos 4tan 13sin cos 23sin cos sin cos tan 1θθθθθθθθθθθθ----====+++,故选B. 6. 已知函数()()()21221f x f x x f '=++，则()2f '的值为 A. 2- B. 0 C. 4- D. 6-【答案】D 【解析】由题意()()()11221f f f =++'，化简得()()112f f '=--，而()()212f x f x ''=+，所以()()1212f f ''=+，得()12f '=-，故()10f =， 所以()222f x x x =-+，()42f x x ∴=-+'，所以()26f '=-，故选D ．7. 要得到cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将sin 2y x 3π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象经过这样的变换（ ） A. 向左平移6π个单位长度 B. 向右平移6π个单位长度 C. 向左平移43π个单位长度 D. 向右平移43π个单位长度【答案】B 【解析】平移前的函数为33sin cos2cos22y x x xπππ⎛⎫⎛⎫=-=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将cosy x=的图象向右平移6π个单位长度可得到函数cos6y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，所以要得到cos6y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将3sin2y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，平移后的函数为cos6y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭；所以向右平移6π个单位长度，故选B.8. 已知()2,0A-，点(),P x y满足2,244x y sin x y sinππθθ⎛⎫⎛⎫+=+-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则直线AP的斜率的取值范围为（）A.33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 3,3⎡⎤-⎣⎦ C.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. []22-,【答案】A【解析】由2424x y sinx y sinπθπθ⎧⎛⎫+=+⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-=-⎪⎪⎝⎭⎩，得cosx sinyθθ=⎧⎨=⎩，故221x y+=，即点(),P x y的根据方程是，221x y+=过A33，由图可知，33k⎡∈⎢⎣⎦，故选A.【方法点睛】本题主要考查两角和与差的正弦公式、直线的斜率、数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点.9. 已知()221x x a f x -=+为奇函数， ()()2ln g x x b =-，若对任意的12,x x R ∈， ()()12f x g x ≤恒成立，则b 的取值范围为（ ） A. (],e -∞- B. (],0-∞C. [],0e -D. [),e -+∞【答案】A 【解析】由于()221x x af x -=+为奇函数，故()00f =，可得1a =；因为对()()1212,,x x R f xg x ∀∈≤恒成立，所以()()max minf xg x ≤，而()221x x a f x -=+=21212121x x x-=-++，所以()[)1,1f x ∈-，从而要求()22ln 1,x b x b e -≥-≥，在R 上恒成立，()2minb x eb e ≤-≥-，故选A.【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性及最值、全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1）12,,x D x E ∀∈∀∈()()12f x g x ≥只需()()min max f x g x ≥；（2）1,x D ∀∈2x E ∃∈()()12f x g x ≥，只需()min f x ≥()min g x ；（3）1x D ∃∈，2,x E ∀∈()()12f x g x ≥只需()max ,f x ≥()max g x ；（4）12,x D x E ∃∈∃∈，()()12f x g x ≥，只需()max f x ≥()min g x .10. 已知函数()lg f x x =，若0a b >>，有()()f a f b =，则()22a bi a b+-（i 是虚数单位）的取值范围为（ ） A. ()1,+∞ B. [)1,+∞C. ()2,+∞D. [)2,+∞【答案】C 【解析】因为()lg x x =，由()()f a f b =，可得10>>>a b ，所以lg lg 1a b ab =-⇒=，所以()222212a bi a b a b a a ba b a+-==+=+>--，故选C. 11. ABC ∆中，3BC =,D 在边BC 上，且2CD DB =,1AD =.当ABC ∆的面积最大时，则ABC ∆的外接圆半径为（ ）A.B.3C.2D.2【答案】C 【解析】因为3,1BC AD ==所以ABC ∆的面积最大时AD BC ⊥,由题可知，1BD =,1AD =,2CD =可得4B π∠=,所以AC =由正弦定理可得2sin4R π==，故2R =，故选C. 12. 已知函数()21()(),,2xx f x e a e e aex b a b R =+--+∈（其中e 为自然对数底数）在1x =取得极大值，则a 的取值范围是（ ） A. 0a < B. 0a ≥C. 0e a -≤<D. a e <-【答案】D 【解析】 因为()()21,2xx f x e a e e aex b =+--+所以可得2()()()()x x x x f x e a e e ae e a e e '=+--=+-． 当0a ≥时，由()0f x '> 可得()f x 在()1,+∞上递增，()0f x '<得()f x 在(),1-∞上递减，所以()f x 在1x =取得极小值，无极大值，不符合题意；当0a <时，令()0f x '=得1x =或ln()a -，只有当ln()1,a a e -><-时，由()0f x '> 可得()f x 在(),1-∞，()()ln ,a -+∞上递增，()0f x '<得()f x 在()()1,ln a -上递减，()f x 在1x =取得极大值，所以函数()()()21,,2xx f x e a e e aex b a b R =+--+∈（其中e 为自然对数底数）在1x =取得极大值，则a 的取值范围是 a e <-,故选D.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值、分类讨论思想、.属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.二、填空题（4个小题，每小题5分，共20分）13. 一个质量为2kg 的物体做直线运动，设运动距离s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系可用函数()21s t t t =++表示，并且物体的动能212k E mv =，则物体开始运动后第5s 时的动能为________________.（单位：J ）. 【答案】121 【解析】由()21s t t t =++，由导数的物理意义可得得()/21v s t t ==+，则物体开始运动后第5s 时的瞬时速度()/511v s ==，此时的动能为212111212k E =⨯⨯=，故答案为121 .14. 已知,,A B C 为ABC 的内角，且s :sin :sinC 4:5:6inA B =,则cos :cos :cos A B C = .【答案】12:9:2 【解析】【详解】因为sin :sin :sinC 4:5:6A B =，所以由正弦定理可得::4:5:6a b c =，设4,5,6a k b k c k ===2223cos 24b c a A bc +-∴==，2229cos 216a cb B ac +-==，2221cos 28a b c Cab， cos :cos :cos 12:9:2A B C ∴=，故答案为12:9:2.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 15. ①“若2x y π+=，则sin cos x y =”的逆命题是假命题；②“在ABC 中，sin sin B C >是B C >的充要条件”是真命题； ③“1a =-是函数0.81()log 1axf x ax -=+为奇函数的充要条件”是假命题； ④函数()1ln 4f x x x =-区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭有零点，在区间()1,e 无零点.以上说法正确的是 _______________. 【答案】①②③ 【解析】对于①“若2x y π+=，则sin cos x y =”的逆命题是“若sin cos x y =，则2x y π+=”举反例：当0x =，32y π=时，有sin cos x y =成立，但32x y π+=，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在ABC中，由正弦定理得sin sin B C b c B C >⇔>⇔>，②正确；对于③，a R ∈时，()f x 都是奇函数，故 “1a =-是函数0.81()log 1axf x ax-=+为奇函数”的充分不必要条件，③正确；对于④，()/1144x f x x x-=-=，所以()f x 在1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,上为减函数，()()11110,10,10444e f f f e e e⎛⎫=+>=>=-< ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭无零点，在区间()1,e 有零点，④错误，正确的是①②③，故答案为①②③. 16. 已知2ln ,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨+≤⎩，若()=f x a 有4个根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++的取值范围是________________. 【答案】10,2e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭【解析】作出()2,02,0lnx x f x x x x ⎧->=⎨+≤⎩的图象，如图，不妨设1234x x x x <<<，根据二次函数的对称性可得，由对数函数的性质可得34ln ln x x =- ，，若()=f x a 有4个根，由图可知，从而易知，于是，因为1234342x x x x x x +++=-++，所以，故答案为10,2e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭. 三、解答题（6个小题，共70分）17. 设命题:p 幂函数22aa y x --=在(0,)+∞上单调递减．命题:q 212a x x=-+在()0,3上有解； 若p q ∧为假，p q ∨为真，求a 的取值范围.【答案】(],1(1,2)-∞-⋃. 【解析】试题分析：由p 真可得12a -<<，由q 真可得1a ≤ ，p q ∧假，p q ∨为真等价于,p q 一真一假，讨论两种情况，分别列不等式组，求解后再求并集即可. 试题解析：若p 正确，则220a a --<，12a ∴-<< 若q 正确，()2120,3y a y x x⇔==-+与的函数图像在上有交点 1a ⇔≤p q ∧为假，p q ∨为真，∴,p q 一真一假121211a a a a a -<<≤-≥⎧⎧∴⎨⎨>≤⎩⎩或或 112a a ⇔≤-<<或即a 的取值范围为(](),11,2-∞-⋃.18. 在ABC 中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，且满足()2cos cos 0c a B b A --=． （1）求角B 的大小；（2）若2b =，且()sin sin 2sin 2B C A A +-=，求ABC 的面积.【答案】(1)3π；（2）23. 【解析】 【分析】（1）由()2cos cos 0c a B b A --=，根据正弦定理化边为角，再根据两角和的正弦公式可得1cos 2B =，从而可得结果；（2）根据两角和与差的正弦公式即二倍角的正弦公式化简()sin sin 2sin2B C A A +-=可得cos sin 2sin cos A C A A =,讨论两种情况，分别应用直角三角形的性质以及正弦、余弦定理即可求得ABC ∆的面积.【详解】（1）在ABC 中，∵()2cos cos 0c a B b A --=， ∴2sin cos sin cos sin cos 0C B A B B A --=，即()2sin cos sin 0C B A B -+=，即()sin 2cos 10C B -=，sin 0C ≠，∴1cos 2B =， ∴()0,,3B B ππ∈∴=.（2）在ABC 中，A B C π++=， 即()B A C π=-+，故()sin sin B A C =+，由已知()sin sin 2sin2B C A A +-=，可得()()sin sin 2sin2A C C A A ++-=， ∴sin cos cos sin sin cos cos sin 4sin cos A C A C C A C A A A ++-=， 整理得cos sin 2sin cos A C A A =,若cos 0A =，则2A π=，于是由2b =，可得2tan c B ==， 此时ABC的面积为12S bc ==若cos 0A ≠，则sin 2sin C A =， 由正弦定理可知，2c a =， 代入222a c b ac +-=，整理可得234a =，解得3a =3c =，此时ABC的面积为1sin 2S ac B ==∴综上所述，ABC ∆. 19. 设函数[]22()2,()()4f x x g x f x =--=- （1）求函数()g x 的解析式；（2）求函数()g x 在区间[],2m m +上的最小值()h m ；（3）若不等式2(42)(2)g a a g -+≤恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）424x x +；（2）()()4242242,20,204,0m m m m m m m ⎧+++≤-⎪-<<⎨⎪+≥⎩；（3）[]0,4.【解析】试题分析：（1）()()2242244g x x x x =---=+；（2）分三种情况讨论2m ≤-，0m ≥，20m -<<，分别根据函数的单调性求得最小值，即可得到求函数()g x 在区间[],2m m +上的最小值分段函数()h m 的解析式；（3）()g x 为偶函数，在(],0-∞单调递减，在[)0+∞，单调递增可得()()()2242242(2g a a g g a a g -+≤⇔-+≤)，解不等式即可的结果.试题解析：（1）()()2242244g x x x x =---=+.（2）()()g x g x -=，()g x ∴为偶函数,()3'48g x x x =+，故函数在(],0-∞单调递减，在[)0+∞，单调递增， ①当20m +≤，即2m ≤-时，()g x 在区间[],2m m +单调递减，()()()()422242h m g m m m ∴=+=+++.②当0m ≥时，()g x 在区间[],2m m +单调递增，()()424h m g m m m ∴==+.③当20m -<<时，()g x 在区间[],0m 单调递减，在区间[]0,2m +单调递增，()()00h m g ∴==.综上：.（3）()g x 为偶函数，在(],0-∞单调递减，在[)0+∞，单调递增 ()()()()22422422g a a g g a a g ∴-+≤⇔-+≤. 2422a a ⇔-+≤, 2242204a a a ⇔-≤-+≤⇔≤≤所以不等式解集为[]0,4.20. 一大学生自主创业，拟生产并销售某电子产品m 万件（生产量与销售量相等），为扩大影响进行促销，促销费用x （万元）满足24x m +=（其中0,x a a <≤为正常数）．已知生产该产品还需投入成本6(12m m +-万元（不含促销费用），产品的销售价格定为30(4)m+元/件. （1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，此大学生所获利润最大？ 【答案】（1）329)2x x a --<≤；（2）当4a ≥时，投入4万元时，利润最大；当4a <时，投入a 万元时，利润最大. 【解析】试题分析: （1）利用销售收入与成本的差，结合24x m +=即可该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；（2）由（1）可得332929(0)22y x x x a ⎛=-=-+<≤ ⎝ ，讨论4a ≥、4a <，分别利用导数研究函数的单调性，从而可得结果.试题解析：（1）由题意知，3046y m x m m ⎛⎫⎪⎛⎫ =+--+⎪ ⎝⎭ ⎝将24x m +=代入化简得：329)2y x x a =-<≤. （2）332929(0)22y x x x a ⎛=-=-<≤ ⎝ 令()()()()0),04,004,04g x x x g x x g x x g x x '=>>⇒><⇒<='⇒'<= 故()g x 在()0,4单调递减，()4,+∞单调递增，()()min 412g x g == 所以max 11y =万元，当且仅当4x =取得.当4a ≥时，促销费用投入4万元时，该大学生获得的利润最大，最大为11万元； 当4a <时，函数在(]0,a 上单调递增，∴x a =时，函数有最大值．即促销费用投入a 万元时，该大学生获得的利润最大，最大为3292a ⎛- ⎝万元.21. 已知函数()xf x e =，()ln 2g x x =+.（1）若直线y kx b =+是曲线()y f x =与曲线()y g x =的公切线，求,k b ； （2）设()()()2h x g x f x a a =--+-，若()h x 有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）0k e b =⎧⎨=⎩或11k b =⎧⎨=⎩；（2）1a >.【解析】试题分析：（1）设直线y kx b =+与x y e =切于点()11,xP x e ，与ln 2y x =+切于()22,ln 2Q x x +，P 处的切线方程为()1111x x y e x x e =+-.Q 处的切线方程为221ln 1y x x x =++.根据 这两条直线为同一条直线，可得关于1x 和2x ，解得1x 和2x 的值，从而可得结果；（2）()ln x ah x x ea -=-+，()()/1,0x a h x e x x-=->，显然()/h x 在()0,+∞上为减函数，存在一个0x ，使得()/00h x =，且()00,x x ∈时，()/0h x >，()0,x x ∈+∞时，()/00h x x <，为()h x 的极大值点，只需求()00h x >恒成立即可得结果.试题解析：对函数x y e =求导，得/xy e =，对函数ln 2y x =+求导，得/1y x=． 设直线y kx b =+与xy e =切于点()11,xP x e ，与ln 2y x =+切于()22,ln 2Q x x +.则在点P 处的切线方程为：()111xxy e e x x -=-，即()1111xxy e x x e =+-.在点Q 处的切线方程为：()2221ln 2y x x x x --=-，即221ln 1y x x x =++. 这两条直线为同一条直线，所以有()()()1121211112x x e xx e lnx ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩由（1）有12ln x x =-，代入（2）中，有()()122110x x x --=，则11x =或21x =.当11x =时，切线方程为y ex =，所以0k e b =⎧⎨=⎩,当21x =时，切线方程为1y x =+，所以11k b =⎧⎨=⎩. （2）()ln x ah x x ea -=-+．求导：()()/1,0x ah x e x x-=->， 显然()/h x 在()0,+∞上为减函数，存在一个0x ，使得()/00hx =，且()00,x x ∈时，()/0h x >，()0,x x ∈+∞时，()/0h x <， 所以0x 为()h x 的极大值点． 由题意，则要求()00h x >.由()0/0010x a h x e x -=⇔=，有00ln x x a -=-，所以00ln a x x =+， 故()000012ln h x x x x =-+. 令()12ln x x x xϕ=-+，且()10ϕ=． ()/22110x x xϕ=++>，()x ϕ∴在()0,+∞上增函数，又()10ϕ=，要求()00h x >，则要求01x >，又ln y x x =+在()0,+∞上为增函数， 所以由01x >，得00ln 1a x x =+>． 综上，1a >【方法点睛】本题主要考查利用导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22. [选修4―4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的参数方程为122(2x tty⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）；曲线1C的极坐标方程为2cosρθθ=+；曲线2C的参数方程为sinxyαα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.（1）求直线l的直角坐标方程、曲线1C的直角坐标方程和曲线2C的普通方程；（2）若直线l与曲线1C曲线2C在第一象限的交点分别为,M N,求,M N之间的距离.【答案】（1）y=，()(2214x y-+-=，2212xy+=；（2）4【解析】试题分析：（1）利用代入法消去参数可得直线l的普通方程，利用222,cos,sinx y x yρρθρθ=+==即可得曲线1C的直角坐标方程，利用平方法可得曲线2C的普通方程；（2）由2212yxy⎧=⎪⎨+=⎪⎩求得交点坐标，利用两点间的距离公式可得结果.试题解析：（1）直线l的直角坐标方程：y=，曲线1C的直角坐标方程：()(2214x y-+=，曲线2C的普通方程：2212xy+=.（2）由（1）知1,,,O M N C及圆心四点共线，所以4OM=，22222=761=27xyONxy y由方程组解得所以⎧⎧=⎪⎪⎪==⎨⎨+=⎪⎪⎩⎪⎩，47MN OM ON=-=-故.23.已知函数()f x x a=+（a R∈）.（1）若()23f x x≥+的解集为[31]--，，求a的值；（2）若x R ∀∈ ，不等式2()2f x x a a a +-≥- 恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）0a =;（2）[04]，. 【解析】试题分析：（1）利用平方去绝对值，并由解集解得0a =；（2）利用绝对值三角不等式，得到222a a a ≥-，分类讨论，求得a 的取值范围是[]04，. 试题解析：（1）()23f x x ≥+ ，即23x a x +≥+ ，两边平方并整理得()22312290x a x a +-+-≤所以3- ，1- 是关于x 的方程()22312290x a x a +-+-= 的两根由根与系数的关系得212243933aa -⎧=-⎪⎪-⎨-⎪=⎪⎩解得0a =（2）因为()()()2f x x a x a x a a +-≥+--= ， 所以若不等式()22f x x a a a +-≥- 恒成立，只需222a a a ≥-当0a ≥ 时，222a a a ≥- ，解得04a ≤≤ ；当0a < 时，222a a a -≥- ，此时满足条件的a 不存在综上可得实数a 的取值范围是[]04，. 点睛：本题考查绝对值不等式的应用．绝对值不等式的去绝对值的常用方法是分类讨论和平方．绝对值三角不等式可以解决绝对值不等式的最值问题．本题充分考查了这两类题型的方法应用．。