西北工业大学系统辩识大作业题目：最小二乘法系统辨识一、 问题重述：用递推最小二乘法、加权最小二乘法、遗忘因子法、增广最小二乘法、广义最小二乘法、辅助变量法辨识如下模型的参数离散化有z^4 - 3.935 z^3 + 5.806 z^2 - 3.807 z + 0.9362---------------------------------------------- =z^4 - 3.808 z^3 + 5.434 z^2 - 3.445 z + 0.8187噪声的成形滤波器离散化有4.004e-010 z^3 + 4.232e-009 z^2 + 4.066e-009 z + 3.551e-010----------------------------------------------------------------------------- =z^4 - 3.808 z^3 + 5.434 z^2 - 3.445 z + 0.8187采样时间0.01s要求：1.用Matlab 写出程序代码；2.画出实际模型和辨识得到模型的误差曲线；3.画出递推算法迭代时各辨识参数的变化曲线；最小二乘法:在系统辨识领域中 ,最小二乘法是一种得到广泛应用的估计方法 ,可用于动态 ,静态 , 线性 ,非线性系统。

在使用最小二乘法进行参数估计时 ,为了实现实时控制 ,必须优化成参数递推算法 ,即最小二乘递推算法。

这种辨识方法主要用于在线辨识。

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对4324326.51411.5320120232320Y s s s s G U s s s s ++++==++++432120120232320E N W s s s s ==++++于一个简单的系统,可以通过分析其过程的运动规律 ,应用一些已知的定理和原理,建立数学模型 ,即所谓的“白箱建模 ”。

但对于比较复杂的生产过程 ,该建模方法有很大的局限性。

由于过程的输入输出信号一般总是可以测量的 ,而且过程的动态特性必然表现在这些输入输出数据中 ,那么就可以利用输入输出数据所提供的信息来建立过程的数学模型。

这种建模方法就称为系统辨识。

把辨识建模称作“黑箱建模”。

系统辨识又分为参数辨识和阶次辨识 ,在本文中只讨论参数辨识问题最小二乘递推算法所用的模型：Z(k)=B()u(k)+v(k)最小二乘递推算法为:)(k v 是服从N )1,0(分布的不相关随机噪声。

)(1-z G )()(11--=z A z B ，)(1-z N )()(11--=z C z D ，考虑如图 1示仿真对象 ,系统的差分方程为z(k)=3.808*z(k-1)-5.434*z(k-2)+3.445*z(k-3)-0.8187*z(k-4)+u(k)-3.935*u(k-1)+5.806*u(k-2)-3.807*u(k-3)+0.9362*u(k-4)+)(k v (3.69) 仿真对象选择如下的模型结构)()4(5)3()2(3)1()()4(4)3(3)2()1()(42121k v k u b k u b k u b k u b k u b k z a k z a k z a k z a k z +-+-+-+-+=-+-+-+-+(3.68)+ e (k ) 图1 最小二乘递推算法辨识实例结构图y (k )u (k )z (k )v (k ))(1-z N)(1-z G其中，)(k v 是服从正态分布的白噪声N )1,0(。

输入信号采用4位移位寄存器产生的M 序列，幅度为1。

按式(3.69)构造h (k )；加权阵取单位阵I Λ L ；利用式(3.61)计算K (k )、)(ˆk θ和P (k )，计算各次参数辨识的相对误差，精度满足要求式(3.67)后停机。

最小二乘递推算法辨识的Malab6.0程序流程图：最小二乘递推算法辨识程序clear %清理工作间变量L=35; % M序列的周期y1=1;y2=1;y3=1;y4=0; %四个移位寄存器的输出初始值for i=1:L;%开始循环，长度为Lx1=xor(y3,y4); %第一个移位寄存器的输入是第三个与第四个移位寄存器的输出的“或”x2=y1; %第二个移位寄存器的输入是第一个移位寄存器的输出x3=y2; %第三个移位寄存器的输入是第二个移位寄存器的输出x4=y3; %第四个移位寄存器的输入是第三个移位寄存器的输出y(i)=y4; %取出第四个移位寄存器的幅值为"0"和"1"的输出信号，即M序列if y(i)>0.5,u(i)=-1; %如果M序列的值为"1", 辨识的输入信号取“-1”else u(i)=1; %如果M序列的值为"0", 辨识的输入信号取“1”end %小循环结束y1=x1;y2=x2;y3=x3;y4=x4; %为下一次的输入信号做准备end %大循环结束，产生输入信号ufigure(1); %第一个图形stem(u),grid on %显示出输入信号径线图并给图形加上网格z(2)=0;z(1)=0; z(3)=0;z(4)=0;%设z的前四个初始值为零for k=5:25; %循环变量从5到25z(k)=3.808*z(k-1)-5.434*z(k-2)+3.445*z(k-3)-0.8187*z(k-4)+u(k)-3.935*u(k-1)+5.8 06*u(k-2)-3.807*u(k-3)+0.9362*u(k-4); %输出采样信号end%RLS递推最小二乘辨识c0=[0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001]'; %直接给出被辨识参数的初始值,即一个充分小的实向量p0=10^6*eye(9,9); %直接给出初始状态P0，即一个充分大的实数单位矩阵E=0.000000005; %取相对误差E=0.000000005c=[c0,zeros(9,24)]; %被辨识参数矩阵的初始值及大小e=zeros(9,25); %相对误差的初始值及大小for k=5:25; %开始求Kh1=[-z(k-1),-z(k-2),-z(k-3),-z(k-4),u(k),u(k-1),u(k-2),u(k-3),u(k-4)]';x=h1'*p0*h1+1; x1=inv(x); %开始求K(k)k1=p0*h1*x1;%求出K的值d1=z(k)-h1'*c0; c1=c0+k1*d1; %求被辨识参数ce1=c1-c0; %求参数当前值与上一次的值的差值e2=e1./c0; %求参数的相对变化e(:,k)=e2; %把当前相对变化的列向量加入误差矩阵的最后一列c0=c1; %新获得的参数作为下一次递推的旧参数c(:,k)=c1; %把辨识参数c 列向量加入辨识参数矩阵的最后一列p1=p0-k1*k1'*[h1'*p0*h1+1]; %求出 p(k)的值p0=p1; %给下次用if e2<=E break; %如果参数收敛情况满足要求，终止计算end %小循环结束end %大循环结束c,e%显示被辨识参数及其误差(收敛)情况%分离参数a1=c(1,:); a2=c(2,:);a3=c(3,:); a4=c(4,:);b1=c(5,:); b2=c(6,:); b3=c(7,:); b4=c(8,:); b5=c(9,:);ea1=e(1,:); ea2=e(2,:);ea3=e(3,:); ea4=e(4,:);eb1=e(5,:); eb2=e(6,:); eb3=e(7,:); eb4=e(8,:); eb5=e(9,:);figure(2); %第二个图形i=1:25; %横坐标从1到25plot(i,a1,'r',i,a2,':',i,a3,'r',i,a4,'k',i,b1,'y',i,b2,':',i,b3,'m',i,b4,':',i, b5,'g') %画出a1，a2，a3,a4,b1，b2,b3,b4,b5的各次辨识结果title('参数变化曲线') %图形标题figure(3); %第三个图形i=1:25; %横坐标从1到25plot(i,ea1,'r',i,ea2,'k:',i,ea3,'y',i,ea4,'m',i,eb1,'g',i,eb2,'c:',i,eb3,'r',i, eb4,':',i,eb5,'g') %画出a1，a2，a3,a4,b1，b2,b3,b4,b5的各次辨识结果的收敛情况title('误差曲线') %图形标题参数变化图相对误差图仿真结果表明，大约递推到第十五步时，参数辨识的结果基本达到稳定状态，即a1=-3.808, a2=5.434, a3=-3.445, a4= -0.8187, b1=1, b2=-3.935 b3=5.806 b4=-3.807 b5=0.9362。

此时，参数的相对变化量E 0.000000005。

从整个辨识过程来看，精度的要求直接影响辨识的速度。

虽然最终的精度可以达到很小，但开始阶段的相对误差会很大，从相对误差图形中可看出，参数的最大相对误差会达到三位数增广最小二乘法算法所用的模型：Z(k)=B()u(k)+D()e(k)增广最小二乘法算法为：模型结构选用如下形式：)4)-v(k *4d 3)-v(k *3d 2)-v(k *2d 1)-v(k *1d )4(5)3()2(3)1()()4(4)3(3)2()1()(42121++++-+-+-+-+=-+-+-+-+k u b k u b k u b k u b k u b k z a k z a k z a k z a k z增广最小二乘算法流程图如下页图所示增广最小二乘辨识程序clearL=55; %4位移位寄存器产生的M序列的周期y1=1;y2=1;y3=1;y4=0; %4个移位寄存器的输出初始值for i=1:L;x1=xor(y3,y4); %第一个移位寄存器的输入信号x2=y1; %第二个移位寄存器的输入信号x3=y2; %第三个移位寄存器的输入信号x4=y3; %第四个移位寄存器的输入信号y(i)=y4; %第四个移位寄存器的输出信号，M序列, 幅值"0"和"1"，if y(i)>0.5,u(i)=-1; %M序列的值为"1"时,辨识的输入信号取“-1”else u(i)=1; %M序列的值为"0"时,辨识的输入信号取“1”endy1=x1;y2=x2;y3=x3;y4=x4; %为下一次的输入信号准备endfigure(1); %画第一个图形subplot(2,1,1); %画第一个图形的第一个子图stem(u),grid on %画出M序列输入信号v=randn(1,60); %产生一组60个正态分布的随机噪声subplot(2,1,2); %画第一个图形的第二个子图plot(v),grid on; %画出随机噪声信号u ,v %显示输入信号和噪声信号z=zeros(13,55); %输出采样矩阵z(2)=0; z(1)=0;z(3)=0; z(4)=0;%输出采样的初值c0=[0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001]'; %直接给出被辨识参数的初始值,即一个充分小的实向量p0=10^6*eye(13,13); %直接给出初始状态P0，即一个充分大的实数单位矩阵E=0.00000000005; %相对误差E=0.000000005c=[c0,zeros(13,54)]; %被辨识参数矩阵的初始值及大小e=zeros(13,55); %相对误差的初始值及大小for k=5:55; %开始求Kz(k)=3.808*z(k-1)-5.434*z(k-2)+3.445*z(k-3)-0.8187*z(k-4)+u(k)-3.935*u(k-1)+5.8 06*u(k-2)-3.807*u(k-3)+0.9362*u(k-4)+4.004e-010*v(k-1)+4.232e-009*v(k-2)+4.066e -009*v(k-3)+3.551e-010*v(k-4); %系统在M序列输入下的输出采样信号h1=[-z(k-1),-z(k-2),-z(k-3),-z(k-4),u(k),u(k-1),u(k-2),u(k-3),u(k-4),v(k-1),v(k -2),v(k-3),v(k-4)]'; %为求K(k)作准备x=h1'*p0*h1+1; x1=inv(x); k1=p0*h1*x1; %Kd1=z(k)-h1'*c0; c1=c0+k1*d1; %辨识参数ce1=c1-c0; e2=e1./c0; %求参数误差的相对变化e(:,k)=e2;c0=c1; %给下一次用c(:,k)=c1; %把递推出的辨识参数c 的列向量加入辨识参数矩阵p1=p0-k1*k1'*[h1'*p0*h1+1]; %find p(k)p0=p1; %给下次用if e2<=E break; %若收敛情况满足要求，终止计算end %判断结束end %循环结束c, e, %显示被辨识参数及参数收敛情况%分离变量a1=c(1,:); a2=c(2,:);a3=c(3,:); a4=c(4,:);b1=c(5,:); b2=c(6,:); b3=c(7,:); b4=c(8,:); b5=c(9,:); %分离出a1，a2，a3,a4,b1，b2,b3,b4,b5d1=c(10,:); d2=c(11,:); d3=c(12,:); d4=c(13,:);%分离出d1、 d2、 d3 d4ea1=e(1,:); ea2=e(2,:);ea3=e(3,:); ea4=e(4,:);eb1=e(5,:); eb2=e(6,:); eb3=e(7,:); eb4=e(8,:); eb5=e(9,:); %分离出a1，a2，a3,a4,b1，b2,b3,b4,b5的收敛情况ed1=e(10,:); ed2=e(11,:); ed3=e(12,:);ed4=e(13,:); %分离出d1 、d2 、d3 d4的收敛情况figure(2); %画第二个图形i=1:55;plot(i,a1,'r',i,a2,':',i,a3,'r',i,a4,'k',i,b1,'y',i,b2,':',i,b3,'m',i,b4 ,':',i,b5,'g',i,d1,'k',i,d2,'g:',i,d3,'m',i,d4,'r') %画出各个被辨识参数title('参数变化曲线') %标题figure(3); i=1:55; %画出第三个图形plot(i,ea1,'r',i,ea2,'k:',i,ea3,'y',i,ea4,'m',i,eb1,'g',i,eb2,'c:',i,eb3,'r',i, eb4,':',i,eb5,'g',i,ed1,'y',i,ed2,'g:',i,ed3,'k',i,ed4,'m') %画出各个参数收敛情况title('误差曲线') %标题参数变化曲线相对误差曲线仿真结果表明，递推到第十步时，参数辨识的结果基本达到稳定状态，即a 1=-3.808, a 2=5.434,a 3=-3.445, a 4= -0.8187,b 1=1, b 2=-3.935 b 3=5.806 b 4=-3.807 b 5=0.9362，d 1=0.0000, d 2=0.0000, d 3=0.0000，d4=0.0000。