ωn e −ζωnt sin 1−ζ 2
1 − ζ 2 ωnt, (t ≥ 0)
（b）有零点 z = −1时
c(t) =
1−
2ζω n
+
ω2 n
1−ζ 2
⋅ωn
e −ζωnt
sin
1 − ζ 2 ωnt + arctg
1−ζ 2ωn 1 − ζωn
, (t
≥
0)
比较上述两种情况，可见有 z = −1零点时，单位脉冲响应的振幅较无零点时小，而且产生相移，相移角为 arctg
esr (t ) = C0rs (t) + C1rs (t) = 0.1R1 ， t ≥ 0
(3)
r(t)
=
R0
+
R1t
+
1 2
R2t 2
，此时有
rs
(t)
=
R0
+
R1t
+
1 2
R2t 2
,
rs (t) = R1 + R2t ， rs (t) =R 2 ，于是稳态误差级数为
esr
(t )
=
C0 rs
R(s)
E(s) = R(s) − C(s) = s2 + (2ζ − aωn )ωn s R(s)
s 2 + 2ζωn s + ωn 2
R(s) = 1
s2
esr
=
im sE(s) =
s→0
2ζ
− aωn ωn
可见取 a
=
2ζ ωn
，可使 esr
=0
3-7 ζ = 0.598,ωn = 19.588
（ 4 ） 系 统 处 于 稳 定 的 临 界 状 态 ， 由 辅 助 方 程 A(s) = 2s 4 + 6s 2 + 4 可 求 得 系 统 的 两 对 共 轭 虚 数 极 点
s1,2 = ± j; s3,4 = ± j 2 。须指出，临界稳定的系统在实际中是无法使用的。
3-16 （1）K>0 时,系统稳定。 （2）K>0 时，系统不稳定。 （3）0<K<3 时，系统稳定。
1−ζ 2 ωn −ζ
, (t
≥ 0)
加了 z = −1的零点之后，超调量 M p 和超调时间 t p 都小于没有零点的情况。
3-13 系统中存在比例-积分环节 K1 (τ1s + 1) ，当误差信号 e(t ) = 0 时，由于积分作用，该环节的输出保持不变，故系统输
s
出继续增长，知道出现 e(t ) < 0 时，比例-积分环节的输出才出现减小的趋势。因此，系统的响应必然存在超调现象。 3-14 在 r(t )为常量的情况下，考虑扰动 n(t ) 对系统的影响，可将框图重画如下
N(s) + _
ss((ττK2K2ss22++11))
C(s)
KK1(1τ(τ1s1s++11))
ss
图 A-3-2 题 3-14 系统框图等效变换
C(s)
=
s 2 (τ 2 s
K2s
+ 1) + K1K 2 (τ1s
+ 1)
N (s )
根据终值定理，可求得 n(t ) 为单位阶跃函数时，系统的稳态误差为 0， n(t ) 为单位斜坡函数时，系统的稳态误差为 1 。
=
98 500 2
rs (t) = sin 5t rs (t) = 5cos 5t rs (t) = −25sin 5t
esr
(t )
=
C0
−
C2 2
×
25
+ sin 5t
+
[C1
× 5 − ]cos 5t
= [4.9 ×10−4 + ]sin 5t + [1×102 − ]cos 5t
3-5 按技术条件（1）~（4）确定的二阶系统极点在 s 平面上的区域如图 A-3-1 (a) ~ (d)的阴影区域。
《自动控制理论 第 2 版》习题参考答案
第二章
2-1
(a)
U 2 (s) U1 (s)
=
R1R2CS + R2 R1R2CS + R1 + R2
= R2 ⋅ R1 + R2
R1CS + 1 R1R2 CS + 1
R1 + R2
( ) (b) U1 s =
1
( ) U 2 s R1R2C1C2 s 2 + (R1C1 + R1C2 + R2C2 )s + 1
(3)ts = 15s , (ωn = 0.4rad / s,ζ = 1.25) ，过阻尼系统，无超调。
3-11 （1）当 a = 0 时，ζ = 0.354,ωn = 2 2 。
（2）ωn 不变，要求ζ = 0.7 ，求得 a = 0.25
3-12 1. 单位脉冲响应 (a) 无零点时
c(t) =
(a) 当 ζ > 1时
( ) ( ) s1 = − ζ − ζ 2 −1 ωn , s2 = − ζ + ζ 2 −1 ωn
( ) c t = t − 2ζ +
1
e − ζ − ζ 2 −1 ωnt
−
e − ζ + ζ 2 −1 ωnt
( ) ( ) ωn
2
ζ
2
− 1ωn
ζ
−
2
ζ 2 −1
ζ+
Kp
=
∞, Kv
=
∞, K a
=
K 10
3-3 首先求系统的给定误差传递函数
(2) K p = ∞, Kv = K , K a = 0
(4)
Kp
=
∞, Kv
=
K 200 , K a
=
0
Φe (s) =
E(s) R(s)
=
1 1+ G(s)
=
s(0.1s + 1) 0.1s 2 + s + 10
误差系数可求得如下
1−ζ
ω2 n
。
1 − ζωn
2．单位阶跃响应 (a) 无零点时
c(t) = 1 −
1 1−ζ
2
e −ζωnt
sin
（b）有零点 z = −1时
1 − ζ 2 ωnt + arctg
1−ζ ζ
2
, (t
≥
0)
c(t) = 1 +
1 − 2ζωn + ωn 2 1−ζ 2
e −ζωnt
sin
1−ζ
2 ωnt − arctg
ζ
2
−1
2
(b) 当 0 < ζ < 1时
( ) ( ) s1 = − ζ − j 1 − ζ 2 ωn , s2 = − ζ + j 1 − ζ 2 ωn
( ) c t = t − 2ζ − 2ζ e−ζωnt cos
ωn ωn
1−ζ 2ωnt +
1 − 2ζ 2 e −ζωnt sin 1−ζ 2ωn
( ) 3-8 G(s) =
4
s s2 + 4s + 6
3-9 按照条件（2）可写出系统的特征方程
(s + 1 − j)(s + 1 + j)(s + a) = (s 2 + 2s + 2)(s + a) = s3 + (2 + a)s2 + (2 + 2a)s + 2a = 0
将上式与1 + G(s) = 0 比较，可得系统的开环传递函数
=
0
C1
=
lim
s→0
d ds
Φ
e
(s)
=
lim
s→0
500(0.2s (0.1s 2 + s +
+ 1) 500)
2
=
1 500
C2
= lim d 2 s→0 ds 2
Φ
e
(s)
=
lim
s→0
100(0.1s
2
+ s + 500) −1000(0.2s (0.1s 2 + s + 500)3
+
1) 2
K1
从系统的物理作用上看，因为在反馈回路中有一个积分环节，所以系统对阶跃函数的扰动稳态误差为零。在反馈回路中 的积分环节，当输出为常量时，可以在反馈端产生一个与时间成正比的信号以和扰动信号平衡，就使斜坡函数的扰动输入时， 系统扰动稳态误差与时间无关。 3-15 （1）系统稳定。
（2）劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，系统有两个极点具有正实部，系统不稳定。 （3）劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，系统不稳定。
3-17 系统的特征方程为
2τs3 + (τ + 2)s 2 + (K + 1)s + K = 0
图 A-3-1 二阶系统极点在 s 平面上的分布区域
3-6 系统在单位斜坡输入下的稳态误差为
esr
=
2ζ ωn
加入比例—微分环节后
C(s) = [R(s)(1+ as) − C(s)]G(s)
C(s)
=
(1+ as)G(s) 1+ G(s)
R(s3; as)ωn 2
+ 2ζωn s + ωn 2
+
agdef
+
abcdi