一、数列的定义按一定次序排列的一列数就叫做数列；数列中每个数都叫做这个数列的项，其中的第一个数称为这个数列的第1项，第2个数称为第2项，第n 个数称为第n 项。

根据数列中项的个数分类，把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为有穷数列；把项数无限的数列（即有无穷多个数的数列）称为无穷数列。

研究数列的目的是为了发现其中的内在规律，以作为解决问题的依据。

【诀窍】1，比较简单的数列，一般从相邻两数的和差积商中找规律，稍复杂的数列，要全方位入手，把数列合理地拆分成为几部分，分别考察，还要把每个数与项数之间联系起来考虑。

2，图形中的数在图形中所处的位置，往往与它们之间的变化规律有关，需要仔细进行分析，才能找到规律；3，由若干数组组成的数列，要分别找出数组中各位商数的规律，然后再按题目要求求解。

【注意】通过观察数表中的已知数据，发现规律并进行补填与计算的问题．这里要注意数表结构的差异，它们通常是按行、按列、沿斜线或螺旋线逐步形成的．涉及小数的，或与其他方面知识相综合的数列问题．二、等差数列的定义⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．譬如：2、5、8、11、14、17、20、从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列100、95、90、85、80、从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。

项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；知识框架数列、数表规律和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ．三、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯= (思路2)这道题目，还可以这样理解： 23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即，和(1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯； ② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．例题精讲【例 1】从1开始的奇数：1，3，5，7，……其中第100个奇数是_____。

【巩固】观察右面的五个数：19、37、55、a、91排列的规律，推知a =________ 。

【例 2】2、4、6、8、10、12、是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个．【巩固】1、3、5、7、9、11、是个奇数列，如果其中8个连续奇数的和是256，那么这8个奇数中最大的数是多少？【例 3】在等差数列6，13，20，27，…中，从左向右数，第_______个数是1994．【巩固】5、8、11、14、17、20、，这个数列有多少项？它的第201项是多少？65是其中的第几项？【例 4】⑴如果一个等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项.⑵如果一个等差数列的第3项为16，第11项为72，求它的第6项.【巩固】已知一个等差数列第8项等于50，第15项等于71.请问这个数列的第1项是多少？【例 5】一个等差数列2，4，6，8，10，12，14，这个数列各项的和是多少？【巩固】有20个数，第1个数是9，以后每个数都比前一个数大3．这20个数相加，和是多少？【巩固】求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和．【例 6】15个连续奇数的和是1995，其中最大的奇数是多少？【巩固】把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？【例 7】自然数1，2，3，4……排成如下数阵：第一列第二列第三列第四列第五列第六列……1 3 5 7 9 11 ……2 4 6 8 10 12 ……3 5 7 9 11 13 ……4 6 8 10 12 14 ……问这个数阵中的第15列上起第3个数是（）【例 8】有一列由三个数组成的数组，它们依次是(1，5，10)；(2，10，20)；(3，15，30)；……．问第99个数组内三个数的和是多少？【巩固】1＋1，2＋3，3＋5，4＋7，1＋9，2＋11，3＋13，4＋15，1＋17，……，那么其中第多少个算式的结果是2008？【例 9】1，2，2，3，3，4，4，5，5，6，……是一串按照某规律排列的自然数，请问其中第51个数至第55个数的和是多少？【巩固】 1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，…．上面是一串按某种规律排列的自然数，问其中第101个数至第110个数之和是多少？【例 10】 从1开始的自然数按下图所示的规则排列，并用一个平行四边形框出九个数，能否使这九个数的和等于①1993；②1143；③1989.若能办到，请写出平行四边形框内的最大数和最小数；若不能办到，说明理由.【巩固】 如图的数阵是由77个偶数排成的，其中20，22，24，36，38，40这六个数由一个平行四边形围住，它们的和是180．把这个平行四边形沿上下、左右平移后，又围住了右边数阵中的另外六个数，如果这六个数的和是660．那么它们中间位于平行四边形左上角的那个数是 ？142144146148150152154 (30323436384042282624222018168141210642)【例 11】 将一些半径相同的小圆按如下所示的规律摆放：第1个图形中有6个小圈，第2个图形中有10个小圈，第3个图形中有16个小圈，第4个图形中有24个小圈，…，依此规律，第6个图形有___________个小圈。

【例 12】 从1到50这50个连续自然数中，去两数相加，使其和大于50．有多少种不同的取法？【巩固】 从1到100的100个数中，每次取出两个不同的自然数相加，使它们的和超过100．有几种不同的取法？【例 13】 将正整数从1开始依次按如图所示的规律排成一个“数阵”，其中2在第1个拐角处，3在第2个拐角处，5在第3个拐角处，7在第4个拐角处，……．那么在第100个拐角处的数是 ．22202119181716141513121110987654321【巩固】一列自然数：0，1，2，3，……，2024，第一个数是0，从第二个数开始，每一个都比它前一个大1，最后一个是2024．现在将这列自然数排成以下数表规定横排为行，竖排为列，则2005在数表中位于第________行第________列。

课堂检测【随练1】1、4、7、10、13、…这个数列中，有6个连续数字的和是159，那么这6个数中最小的是几？【随练2】对于数列4、7、10、13、16、19……，第10项是多少？49是这个数列的第几项？第100项与第50项的差是多少？【随练3】如果一等差数列的第4项为21，第10项为57，求它的第16项．【随练4】 下表一共有六行七列，第一行与第一列上的数都已填好，其他位置上的每个数都是它所在行的第一列上的数与所在列的第一行上的数的积，如A 格应填的数是1013130⨯=，求表中除第一行和第一列外其它各个格上的数之和？【作业1】 已知数列0、4、8、12、16、20、…… ，它的第43项是多少？【作业2】 观察下面的序号和等式，填括号．序号 等式 1 1236++= 3 35715++= 5 581124++= 7 7111533++=（）7983 ++=（）（）（）家庭作业【作业3】先观察下面各算式，再按规律填数．（1）12345679×9=111111111 （2）21×9=18912345679×18=222222222 321×9=288912345679×27=333333333 4321×9=3888912345679×____=444444444 54321×9=（）12345679×_____=666666666 654321×9=（）【作业4】在下面各题的五个数中，选出与其他四个数规律不同的数，并把它划掉，再从括号中选一个合适的数替换。

①42，20，18，48，24 （21，54，45，10）②15，75，60，45，27 （50，70，30，9）③42，126，168，63，882 （27，210，33，25）【作业5】一串数按下面规律排列：1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6……，问从左面第一个数起，数100个数，这100个数的和是多少？【作业6】建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？11 / 11【作业7】 下列数阵中有100个数，它们的和是多少？1112131920121314202113141521222021222829【作业8】 有许多等式:2461353++=+++；81012147911134+++=++++； 161820222415171921235++++=+++++；⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅那么第10个等式是_______学生对本次课的评价○特别满意○满意 ○一般家长意见及建议家长签字：教学反馈。