e - r 0 maxST - X ,0 g ST dST

e - r X ST - X g ST dST ,

g ST 由下式给出
1 g S T e 2
1 ln S T / S - r - 2
2
进行一些简单的代数运算就可以得到Black-Scholes公 式
估计历史波动率
在间隔为 年的期间观测到 S0 , S1 , S2 , , Sn 计算连续复利 St rt ln St -1 估计波动率 (标准差)
ˆ 每年的波动率：
1 n 2 ˆ rt - r n - 1 t 1
隐含波动率
S0u B0e rT c u S0 d B0 e rT c d
解方程组得到： cu - cd ucd - dcu -rT ，和 B0 u - d e S0u - S0 d 无套利要求：
e rT - d c V0 e -rT cu 1 - cd , 其中 u-d
其中是 n(0,1)分布的一个随机实现 － 任意互不重叠的两期的 z 的取值相互独 立
Wiener过程的特征

zT - zt的均值为0 zT - zt的方差为T-t
zT - zt的标准差为 T - t zT - zt ~ n0, T - t

股票收益率的特征
不同的衍生证券，其价值取决于上述微分方 程的边界条件 对于欧式看涨期权，边界条件为 cT max0, ST - X 对欧式期权解上述偏微分方程，就得到BlackScholes期权定价模型
Black-Scholes 公式
c SN d1 - Xe N d 2 - r p Xe N - d 2 - SN - d1

c S0 B0 S0 - c - B0
- B0 的符号为正，意味着投资
cu - cd 由 股股票和一个看涨期权空头构成 S0u - S0 d
的组合等价于无风险投资 该组合经常被称为无风险对冲组合， (delta) 被称为 套头比（hedge ratio）
Black-Scholes期权定价模型
0.2
T -t
0 0 20
对数正态分布
Black-Scholes 偏微分方程 的导出

S St Sz
f f 1 2 2 2 f f f S 2 S t Sz 2 t S S S
构造一个组合 ，该组合的构成如下：
公司负债与股东权益
股东权益相当于拥有一个以D为执行价格的对 于公司价值V的看涨期权
E
D
V
公司负债与股东权益
公司债权人相当于拥有一个面值为D的无风险 债券和同时出售一个执行价格为D的看跌期权
VD
D
V
认股权证筹资
• 认股权证（warrants）：股份公司发行的，持有者有 权购买该公司股票的一种权利证书。认股权证的持有 者没有投票权，也不享受股利分配，但认股权证规定 的施权价随股票股利的分配而自动调整 • 认股权证的价值：认股权证具有期权的性质，它相当 于一个股票看涨期权。因此其价值可由期权定价公式 确定
风险中性定价
很自然可以被解释为是股票价格上涨的概率 (风险中性概率或等价鞅测度)
cu 1 - cd 可以被解释为是该看涨期权在 到期日的收益
该期权的价值是它在到期日的期望收益按无 风险利率折成的现值 在 下, E ST S0 e rT
Delta对冲组合
$40
p
1- p
S0 d 32 cd 0
组合(合成看涨期权) = 股票+ 无风险资产
V0 S0 B0
组合复制了该期权在到期日的收益
48 B 0 1.10 8
32 B0 1.10 0
1.10 = 今天的$1投资在1年后的财富
解方程组得到 0.5, B0 -14.55
期权价格的决定因素
正的变化 股票价格, S 执行价格, X
看涨期权
看跌期权
波动率,
距离到期日的时间,




无风险利率, r
现金股利, d
Black-Scholes公式的应用
S 50 , X 45 , i.e. T - t 0.25 年, 20% pa r 6% （按连续复利计息） ln S / X r 2 d1
- r
式中，
d 2 d1 -
d1
ln S / X r
2
2

N .是标准正态分布的累积概率分布函数
Black-Scholes 模型 在风险中性定价下的导出
利用风险中性概率算出期权在到期日的期望收 益
用无风险利率对期望收益进行折现
欧式看涨期权的价值由下式给出： c e - r Et cT
2
ln 50 / 45 0.06 0.2 0.25

0. 2 2 2
0.25 1.2536
以及 d 2 d1 - 1.1536
那么
N d1 0.8950 N d 2 0.8757 - r c SN d1 - Xe N d 2
可转换债券的价值评估
• 看成纯债券与看涨期权 • 北京燕京啤酒股份有限公司2002年10月发行7亿 元可转换债券:
–该债券票面利率1.2%，期限5年，每年支付一次利息 –转债期在发行之日起12个月后至到期日 –转股价格按照公告募集说明书前三十个交易日“燕京 啤酒”股票收盘价的算术平均值9.63元为基准，上浮 10%确定 ,转股价格为10.59元
认股权证的价值
• N股发行在外的流通股股票
• M份认股权证；每股认股权证可以以每股为X的执行 价格购买 股股票
• 股东权益的价值V=NS+MW
VT MX • 认股权证执行后的股票价格为： N M
• 认股权证持有者的收益为： VT MX N VT max( - X ,0)或 max( - X ,0) N M N M N
可转换债券的价值评估
以目前五年期国债利率2.59%计算，燕京转 债纯粹价值约为93.56元
计算公式如下：
1.2 100 VB 93.56 t 5 ) (1.0259 ) t 1 (1.0259
式中，S是股票价格；W是认股权证价格
认股权证的价值
VT MX • 认股权证的价值是 N M 或基于V/N的看涨期权
的价值 • 使用Black－Scholes期权定价模型时
- S0 改为 S o N MW
N
– 波动率 是所有股东权益的波动率 - 最后乘以
N N M
无套利原则与 对衍生证券的定价
今日
交易的 衍生证券
到期日
收益相同
合成的 衍生证券 交易的衍生证券的价值= 合成的衍生证券（组合）的价值
二项式期权定价模型
要对期权进行定价，我们需要知道标的资产价格如何 变动 简单但非常有力的一个模型是二项式模型 - 在每个（很短）的时间间隔期末，股票价格只能 有两个可能的取值 - 当时间间隔足够短，这是很好的近似 - 有利于解释期权定价模型背后所包含的原理 - 可以用于对象美式期权这样的衍生证券进行定价
期权的隐含波动率是指让根据公式计算得到的期权价 格与市场价格相等的波动率，即
imp f S , X , r, , cM
-1
期权价格与隐含波动率之间存在着一一对应 在柜台市场（OTC），交易者和经纪商经常不是报货 币价格而是报隐含的收益率 隐含波动率给出了市场总体对未来标的股票在期权有 效期内的平价波动率的一致估计（预期） 隐含波动率是前瞻性的
－ 1单位衍生证券的空头 f － 股股票多头 S
组合的价值为： f -f S S 在跨度为 t 的短期内，它的价值的变动为：
f - f S S f 1 2 2 2 f - 2 S t 2 S t
因为该组合的收益率没有不确定性，所有它 必须等于无风险利率。因此
ห้องสมุดไป่ตู้
期权价格和股票价格依赖于同一种不确定性 来源
无风险的对冲组合可以用股票和期权来构造
无风险组合必然获得无风险利率
这导致了Black-Scholes偏微分方程 (PDE)
Black-Scholes模型的假设
完美的资本市场，没有套利机会 价格的瞬间变动服从波动率为常数的几何布 朗运动 短期利率已知，并且不随时间发生变化
50 0.8950 - 45 e - 0.06 0.25 0.8757 5.93
p c Xe - r - S 5.93 45 e - 0.06 0.25 - 50 0.26
Delta对冲
Delta ()：期权价格对标的资产价格的变化比 率
对于欧式看涨期权 c N d1 , 0 c 1 S 对于欧式看跌期权 p N d1 - 1 , - 1 p 0 S
单期二项式模型
今日 1年 $140 $100 $80
收益率被定义为价格的相对数
期望收益率= 1.1 期望方差 = 0.09
概率
1 2 1 2
单期：给欧式看涨期权定价
欧式看涨期权： T 1, S0 40, X 40, u 1.2, d 0.8
今日 1年 概率
S0u 48 cu 8
Chapter 9:
期权定价模型
1
期权定价中的难点
债券和股票的估价：贴现现金流 期权的估价