2 矩阵矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。

其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单!2.1 知识要点解析2.1.1 矩阵的概念1．矩阵的定义由m×n个数a ij（i 1,2, ,m; j 1,2, , n）组成的m行n 列的矩形数表a11 a12 a1na2na m1 a m2 a mn称为m×n矩阵，记为 A （a ij ）m n2．特殊矩阵（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵；（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵；（4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；（5）单位矩阵：主对角线上元素全是 1 的对角阵，记为E；（6）零矩阵：元素全为零的矩阵。

3．矩阵的相等设 A (a ij )mn; B (b ij )mn若a ij b ij(i 1,2, ,m; j 1,2, ,n)，则称 A 与B相等，记为A=B2.1.2 矩阵的运算1．加法(1)定义：设 A (A ij )mn ,B (b ij ) mn ，则 C A B (a ij b ij )mn (2) 运算规律① A+B=B+A ； ②( A+B )+C=A+(B+C )③ A+O=A④ A+(-A ) =0， –A 是 A 的负矩阵2．数与矩阵的乘法(1)定义：设 A (a ij ) mn , k 为常数，则 kA (ka ij )mn(2)运算规律 ①K (A+B) =KA+KB , ② (K+L )A=KA+LA ,③ (KL) A= K (LA)3．矩阵的乘法(1)定义：设 A (a ij )mn ,B (b ij )np .则nAB C (C ij )mp ,其中 C ija ikb kjk1(2) 运算规律① (AB)C A (BC) ；② A(B C) AB AC③ (B C)A BA CA3)方阵的幂①定义：A (a ij ) n ，则 A k A KA②运算规律：A m A n A mn(A m )n A(4)矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。

① AB BA ② AB 0, 不能推出 A 0或B 0; ③ (AB)k A k B k4．矩阵的转置 (1)定义：设矩阵 A=(a ij )mn ，将 A 的行与列的元素位置交换，称为矩阵 A 的转置，记为 A T (a ji )nm ，(2) 运算规律①(A T )T A; ②(A B)T A T B T ； ③(kA)T KA T ;④ (AB)T B T A T 。

（3）对称矩阵与反对称矩阵若 A T A,则称 A 为对称阵；A T A ，则称 A 为反对称阵。

5．逆矩阵（1）定义：设 A 为n 阶方阵，若存在一个 n 阶方阵 B ，使得 AB=BA=E ，则称 A 为可逆阵， B 为 A 的逆矩阵，记作 B A 1 。

（2）A 可逆的元素条件：A 可逆 A 0（3）可逆阵的性质① 若 A 可逆，则 A -1也可逆，且 （A -1）-1=A ； ② 若A 可逆， k ≠0，则 kA 可逆，且（kA ） 1 1A 1；k③ 若 A 可逆，则 A T 也可逆，且 （A T ） 1 （A 1）T ； ④若 A ，B 均可逆，则 AB 也可逆，且 （AB ） 1 B 1A 1。

（4）伴随矩阵①定义： A * （A ij ）n T ，其中 A ij 为a ij 的代数余子式， ② 性质：i) AA * A *A AE ； ii ) A * A n1； * * n 2iii )(A *)* A n 2A ；iv )若A 可逆，则 A *也可逆，且 (A *)1 (A 1)* 1A A2.1.3 方阵的行列式做方阵 A 的行列式，记为 A 或 detA③用伴随矩阵求逆矩阵公式： A 1A *1．定义：由 n 阶方阵 A 的元素构成的 n 阶行列式（各元素的位置不变）叫2．性质：（1） A T A ， 2) kA k n A ，3) AB A B ，3．特殊矩阵的行列式及逆矩阵 (1) 单位阵 E ： E 1; E 1 E ；1(2) 数量矩阵 kE ： kE k n;当k 0时,(kE) 1 1E k（3）对角阵：1212n11121n4． 上（下）三角阵a 11*设A, 则 A a 11a 22 a nna nn若 A 0 ，则 A 1 仍为上（下）三角阵2.1.4 矩阵的初等变换与初等矩阵1．矩阵的初等变换 （1）定义：以下三种变换① 交换两行（列）；② 某行（列）乘一个不为零的常数 k ；③ 某行（列）的 k 倍加到另一行（列）上去，称为矩阵的初等变换。

2．初等矩阵（1）定义：将 n 阶单位阵 E 进行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵； 交换 i ,j 两行（列），记为 E （i, j ）； 第i 行（列）乘以不为零的常数 k 记为 E （i （k ）） ；4) A若 1 2 n 0 ，则精品文档第j行的k倍加到第i行上去，记为E(j(k)i ；2) 初等矩阵的性质初等阵是可逆阵，且逆阵仍为同型的初等阵；而[ E (ij )] 1E(ij) [E(i(k))] 1E(i 1)k[E(j(k)i)] 1E[ j( k)i]3) 方阵A 可逆与初等阵的关系若方阵 A 可逆，则存在有限个初等阵P1,P2, ,P t，使 A P1P2 P t，4) 初等阵的行列式E(ij) 1, E(i(k)) k,5) 初等阵的作用：对矩阵 A 进行一次初等行(列)变换，相当于用相应的初等阵左(右)乘矩阵A，且E(ij)A A, E(i(k))A k A, E(j(k)i) A3．矩阵的等价(1)定义：若矩阵A经过有限次初等变换变到矩阵B，则称A与B等价，(2)A与B等价的三种等价说法，①A 经过一系列初等变换变到B；②存在一些初等阵E1, ,E s,F1, ,F t，使得E s E1AF1 F t B③存在可逆阵P，Q，使得PAQ=B2.1.5 分块矩阵1．分块矩阵的定义以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。

2．分块矩阵的运算1)设A，B 为同型矩阵，采用相同的分法有A11 A A21 A1tA2tB11B21B1tB2tB s1 B stE(j(k)i) 1精品文档AB (A ij B ij ) (i 1,2, ,s; j 1,2,,t)2)kA (kA ij ) (i 1,2, ,s; j 1,2,,t)3)设 A (a ij )mn ,B (b ij )np,分块成A 11A 1tB 11B 1rABA s1A stB t1B tr其中 A i1,A i2 , ,A it 的列数分别等于 B 1j ,B 2j ,,B tj的行数，则AB C (c ij)sr ，其中c ijtA ikB kj(i 1,2,3,,s; j 1,2, ,r)k13．准对角阵（1）定义：形如A 1AA2A i 为 n i 阶方阵的矩阵称为准对角阵。

A s2）准对角阵的行列式及逆矩阵A 1逆，且A 11A 21A s 13）特殊的准对角阵A 1A 2若 A 1, A 2可逆，则 A1A 11ii ) AA 1A 2，若 A 1, A 2可逆，则 A1A 21 A 11iii )A 是 B 0, C 0, 则 A B C设AA 2则AA 1 A 2A s ；若每个 A i 可逆，则 A 可A 1B1DB则 c=解：由 4 1 a 5得a =0, c 11 =4而 -1+2b+6=-1 得 b=-3, c 22 =-7 从而 c=提示：对于最基本的矩阵的四则运算我们一定要烂熟于心2、设 A 为三阶矩阵，且 A 4,则（ 21 A ）2 .解：（ 1 A )21A 2 31gA 2 12444易错提示 ：本题是道特别基本的有关矩阵基本性质的类型题，考生易犯的错1误就是对矩阵进行行列式计算时，把 （1A ）2 的阶数给忘记计算。

23、设 A 为3 3矩阵，B 为4 4，且 A 1， B 2，则 B A ___.解： B A B 3 A 2 g1 8.A 1B 1B 1DC 1C 1iv )A0 ,BC0,C0，则2.2.1 矩阵的运算 1、若 2L 1L 1L bL 2 1L 22L 1 3L 12.2 c111经典题型解析5cc22易错题示：本题同上，但还应值得我们注意的是，在计算时B A B A 2 3g1 2是我们常犯的错误。

k4、设A 1L 2L 3 ，B 1L 1L 1 ，则A T B ___.k解：A T B A T B g A T B A T B A T ( BA T )( BA T ) (BA T)B1 1L 1L 1k 1 k 16k 1 2 1L 1L 6k 1 2L 2L 23 3L 3L 31 易错提示：本题关键是要求我们注意到A T B是矩阵，但BA T = 1L 1L 1 2 =63 却是数，k1L L11L1L1倘若先计算ATB2L2L2，然后再求2L2L2，则计算式相当繁琐的3L3L33L3L31L0L 15、设A0L1L 0，求A n0L0L 1解：方法一：数学归纳法.1L0L11L0L2因为A0L1L0，A2 AgA0L1L0，0L0L10L0L11L 0L 332A3 A2gA 0L 1L 0 ，0L 0L 11L 0L n 1一般的，设A n-1 0L 1L 0 ，0L 0L 11L 0L n 1 1L 0L 1 1L 0L n 则A n A n 1gA 0L 1L 0 0L 1L 0 0L 1L 00L 0L 1 0L 0L 1 0L 0L 11L 0L n所以，有归纳法知 A n 0L 1L 0 。

0L 0L 164 n 7个A48 方法二：因为 A 是初等矩阵，A n EgAgA A ，相当于对单位矩阵1L 0L 0E= 0L 1L 0 ，施行了 n 次初等列变换(把第一列加到第三列)，故 0L 0L 11L 0L nA n 0L 1L 0 。

0L 0L 1方法三：利用对角矩阵和主对角线上为零的上三角矩阵幂的特点来进行计算。

1L 0L 1 1L 0L 0 0L 0L 1令A= 0L 1L 00L 1L 0 0L 0L 0 E B ，0L 0L 10L 0L 10L 0L 00L 0L 1其中 B 0L 0L 00L 0L 00L 0L 1 0L 0L 10L 0L 0又因为B 20L 0L 0 0L 0L 00L 0L 0 ， 所以 B k O(k 2)0L 0L 0 0L 0L 00L 0L 01L 0L n故有 A nEnngEn1B E nB 0L 1L 0 .0L 0L 1提示：除上述方法外， 本题还可以与后面的特征值联系起来计算， 方法也算不少， 读者只需选择一种或几种适合自己的且快捷简便的方法为宜。