2 矩阵矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。

其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单!知识要点解析2.1.1 矩阵的概念1．矩阵的定义由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==组成的m 行n 列的矩形数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211称为m×n 矩阵，记为n m ij a A ⨯=)( 2．特殊矩阵（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵；（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；（5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E ； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。

3．矩阵的相等 设mn ij mn ij b B a A )(;)(==若 ),,2,1;,,2,1(n j m i b a ij ij ===，则称A 与B 相等，记为A=B 。

2.1.2 矩阵的运算1．加法（1）定义：设mn ij mn ij b B A A )(,)(==，则mn ij ij b a B A C )(+=+= （2）运算规律① A+B=B+A ；②（A+B ）+C =A +（B+C ）③ A+O=A④ A +（-A ）=0， –A 是A 的负矩阵2．数与矩阵的乘法（1）定义：设,)(mn ij a A =k 为常数，则mn ij ka kA )(=（2）运算规律 ① K (A+B ) =KA+KB , ② (K+L )A =KA+LA ,③ (KL ) A = K (LA )3．矩阵的乘法（1）定义：设.)(,)(np ij mn ij b B a A ==则,)(mp ij C C AB ==其中∑==nk kjik ij b aC 1（2）运算规律①)()(BC A C AB =；②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( （3）方阵的幂①定义：A n ij a )(=，则Kk A A A =②运算规律：n m n m A A A +=⋅；mn n m A A =)( （4）矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。

①BA AB ≠②;00,0===B A AB 或不能推出③k k k B A AB ⋅≠)( 4．矩阵的转置（1）定义：设矩阵A =mn ij a )(，将A 的行与列的元素位置交换，称为矩阵A的转置，记为nm a A ji T )(=，（2）运算规律①;)(A A T T = ②T T T B A B A +=+)(； ③;)(T T KA kA =④T T T A B AB =)(。

（3）对称矩阵与反对称矩阵若,A A T =则称A 为对称阵；A A T -=，则称A 为反对称阵。

5．逆矩阵（1）定义：设A 为n 阶方阵，若存在一个n 阶方阵B ，使得AB=BA=E ，则称A 为可逆阵，B 为A 的逆矩阵，记作1-=A B 。

（2）A 可逆的元素条件：A 可逆0≠⇔A（3）可逆阵的性质①若A 可逆，则A -1也可逆，且(A -1)-1 =A ； ②若A 可逆，k ≠0，则kA 可逆，且111)(--=A kkA ； ③若A 可逆，则A T 也可逆，且T T A A )()(11--=； ④若A ，B 均可逆，则AB 也可逆，且111)(---=A B AB 。

（4）伴随矩阵①定义：T n ij A A )(*=，其中ij A 为ij a 的代数余子式， ②性质：i ）E A A A AA ==**； ii ）1*-=n A A ；iii ）A AA n 2**)(-=；iv ）若A 可逆，则*A 也可逆，且A AA A 1)()(*11*==--③用伴随矩阵求逆矩阵公式：*11A AA =- 2.1.3 方阵的行列式1．定义：由n 阶方阵A 的元素构成的n 阶行列式（各元素的位置不变）叫做方阵A 的行列式，记为A 或detA 。

2．性质：（1）A A T =，（2）A k kA n =， （3）B A AB =，（4）AA 11=- 3．特殊矩阵的行列式及逆矩阵(1) 单位阵E ：E E E ==-1;1；(2) 数量矩阵kE ：;n k kE =当E kkE k 1)(,01=≠-时 (3)对角阵：;,*2121n n λλλλλλ=Λ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λ则若021≠n λλλ ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λ-n λλλ1112114． 上（下）三角阵设nn nn a a a A a a a A22112211,*=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=则 若0≠A ，则1-A 仍为上（下）三角阵2.1.4 矩阵的初等变换与初等矩阵1．矩阵的初等变换 （1）定义：以下三种变换①交换两行（列）；②某行（列）乘一个不为零的常数k ；③某行（列）的k 倍加到另一行（列）上去，称为矩阵的初等变换。

2．初等矩阵（1）定义：将n 阶单位阵E 进行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵；交换i ,j 两行（列），记为E (i, j )；第i 行（列）乘以不为零的常数k 记为E(i(k))； 第j 行的k 倍加到第i 行上去，记为E(j(k)i ； （2）初等矩阵的性质初等阵是可逆阵，且逆阵仍为同型的初等阵； 而)1())](([)()]([11⎪⎭⎫⎝⎛==--k i E k i E ij E ij E] )([)] )(([1i k j E i k j E -=-（3）方阵A 可逆与初等阵的关系若方阵A 可逆，则存在有限个初等阵t P P P ,,,21 ，使t P P P A 21=，（4）初等阵的行列式1) )((,))((,1)(==-=i k j E k k i E ij E（5）初等阵的作用：对矩阵A 进行一次初等行（列）变换，相当于用相应的初等阵左（右）乘矩阵A ，且A i k j E A k A k i E A A ij E ==-=) )((,))((,)(3．矩阵的等价（1）定义：若矩阵A 经过有限次初等变换变到矩阵B ，则称A 与B 等价， （2）A 与B 等价的三种等价说法，①A 经过一系列初等变换变到B ；②存在一些初等阵t s F F E E ,,,,,11 ，使得B F AF E E t s = 11 ③存在可逆阵P ，Q ，使得PAQ=B2.1.5 分块矩阵1．分块矩阵的定义以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。

2．分块矩阵的运算（1）设A ，B 为同型矩阵，采用相同的分法有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=st s t t st s t t B B B B B B B A A A A A A A12211111221111则),,2,1;,,2,1()(t j s i B A B A ij ij ==+=+（2）),,2,1;,,2,1()(t j s i kA kA ij ===（3）设,)(,)(np ij mn ij b B a A ==分块成⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=tr t r st s t B B B B B A A A A A 11111111 其中it i i A A A ,,,21 的列数分别等于tj j j B B B ,,,21 的行数，则sr ij c C AB )(==，其中∑====tk kj ikij s i B Ac 1)r ,1,2,j ;,,3,2,1(3．准对角阵 （1）定义：形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s A A A A21A i 为n i 阶方阵的矩阵称为准对角阵。

（2）准对角阵的行列式及逆矩阵设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s A A A A21，则s A A A A 21=；若每个A i 可逆，则A 可逆，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=----112111s A A A A（3）特殊的准对角阵（i ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21A A A ，若A 1, A 2可逆，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---12111A A A （ii ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21AA A ，若A 1, A 2可逆，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---11121A A A （iii ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛=C OD B A 是0,0,0≠=≠≠C B A C B 则 且⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-----111110C DC B B A （iv ）0,0,0≠≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛=C B C D B A ，则 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-----111110C DB C B A经典题型解析2.2.1 矩阵的运算1、若11221252121=11231c c c b⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭则c =解：由415a +-=得a =0, 11c =4 而-1+2b +6=-1得b =-3, 22c =-7从而 c 45=17⎛⎫⎪--⎝⎭提示：对于最基本的矩阵的四则运算我们一定要烂熟于心。

2、设A 为三阶矩阵，且4,A =则____.A =21（）2解：322111444A A A ⎛⎫=== ⎪⎝⎭21（）2易错提示：本题是道特别基本的有关矩阵基本性质的类型题，考生易犯的错误就是对矩阵进行行列式计算时，把A 21（）2的阶数给忘记计算。

3、设A 为3⨯3矩阵，B 为4⨯4，且12A B ==-，，则___.B A = 解：()3218.B A B A ==-=-易错题示：本题同上，但还应值得我们注意的是，在计算时()3212B A B A ==-=-是我们常犯的错误。

4、设()()123111A B ==，，则()___.kT A B = 解：()()()()()()()kTT T T T T T T A B A B A B A B A BA BA BA B =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅()11111162116222.3333k k --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭易错提示：本题关键是要求我们注意到T A B 是矩阵，但()111123T BA ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭==6却是数，倘若先计算111222333T A B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，然后再求111222333⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭k，则计算式相当繁琐的。

5、设101010001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求()n A .解：方法一：数学归纳法.因为101010001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2102010001A A A ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，32103010001A A A ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，一般的，设101010001n A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭n-1，则110110110010010010001001001n n n A A A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n .所以，有归纳法知10010001n A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭n 。