解析几何中的基本公式
平行线间距离:若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++
则:2
2
21B
A C C d +-=
注意点:x ,y 对应项系数应相等。
点到直线的距离:0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为:2
2
B
A C
By Ax d +++=
直线与圆锥曲线相交的弦长公式:⎩⎨
⎧=+=0
)y ,x (F b
kx y
消y :02
=++c bx ax ,务必注意.0>∆ 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则:2122))(1(x x k AB -+=
若A ),(),,(2211y x B y x ,P (x ,y )。
P 在直线AB 上,且P 分有向线段AB 所成的比为λ,
则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ,特别地:λ=1时,P 为AB 中点且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
+=+=222
121y y y x x x 变形后:y
y y y x x x x --=λ--=
λ21
21或 若直线l 1的斜率为k 1,直线l 2的斜率为k 2,则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα 适用围:k 1,k 2都存在且k 1k 2≠-1 , 2
11
21tan k k k k +-=
α
若l 1与l 2的夹角为θ,则=
θtan 2
1211k k k k +-,]2,0(π
∈θ
注意:(1)l 1到l 2的角,指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角,围),0(π l 1到l 2的夹角:指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。
(2)l 1⊥l 2时,夹角、到角=
2
π。
(3)当l 1与l 2中有一条不存在斜率时,画图,求到角或夹角。
(1)倾斜角α,),0(π∈α; (2)]0[,π∈θθ→
→,,夹角b a ;
(3)直线l 与平面]2
0[π∈ββα,,的夹角;
(4)l 1与l 2的夹角为θ,∈θ]2
0[π,,其中l 1//l 2时夹角θ=0; (5)二面角,θ],0(π∈α; (6)l 1到l 2的角)0(π∈θθ,,
直线的倾斜角α与斜率k 的关系
每一条直线都有倾斜角α,但不一定有斜率。
若直线存在斜率k ,而倾斜角为α,则k=tan α。
直线l 1与直线l 2的的平行与垂直
(1)若l 1,l 2均存在斜率且不重合:①l 1//l 2⇔ k 1=k 2 ②l 1⊥l 2⇔ k 1k 2=-1
(2)若0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l
若A 1、A 2、B 1、B 2都不为零 l 1//l 2⇔
2
1
2121C C B B A A ≠
=; l 1⊥l 2⇔ A 1A 2+B 1B 2=0;
l 1与l 2相交⇔
2
121B B A A ≠ l 1与l 2重合⇔
2
1
2121C C B B A A =
=; 注意:若A 2或B 2中含有字母,应注意讨论字母=0与≠0的情况。
直线方程的五种形式
名称 方程 注意点
斜截式: y=kx+b 应分①斜率不存在 ②斜率存在
点斜式: )( x x k y y -=- (1)斜率不存在: x x =
(2)斜率存在时为)( x x k y y -=- 两点式:
1
21
121x x x x y y y y --=--
截距式:
1=+b
y
a x 其中l 交x 轴于)0,(a ,交y 轴于),0(
b 当直线l 在坐标轴上,截距相等时应分:
(1)截距=0 设y=kx (2)截距=0≠a 设1=+a
y a x 即x+y=a 一般式: 0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为零) 11、直线0=++C By Ax 与圆2
2
2
)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种 若2
2
B
A C Bb Aa d +++=
,0<∆⇔⇔>相离r d
0=∆⇔⇔=相切r d 0>∆⇔⇔<相交r d 13、圆锥曲线定义、标准方程及性质
(一)椭圆
定义Ⅰ:若F 1,F 2是两定点,P 为动点,且21212F F a PF PF >=+ (a 为常数)则P 点的轨迹是椭圆。
定义Ⅱ:若F 1为定点,l 为定直线,动点P 到F 1的距离与到定直线l 的距离之比为常数e (0<e<1),则P 点的轨迹是椭圆。
标准方程:122
22=+b
y a x )0(>>b a
定义域:}{a x a x ≤≤-值域:}{b y b x ≤≤- 长轴长=a 2,短轴长=2b
焦距:2c
准线方程:c
a x 2
±=
焦半径:
)
(2
1c
a x e PF +=,
)
(2
2x c
a e PF -=,
2
12PF a PF -=,c a PF c a +≤≤-1等(注意涉及焦半径①用点P 坐标表示,②第一定义。
)
注意:(1)图中线段的几何特征:=11F A c a F A -=22,=21F A c a F A +=12 =11F B a F B F B F B ===122221 ,222122b a B A B A +==等等。
顶点与准线距离、焦点与准线距
离分别与c b a ,,有关。
(2)21F PF ∆中经常利用余弦定理....、三角形面积公式.......将有关线段1PF 、2PF 、2c ,有关角21PF F ∠结合起
来,建立1
PF +2PF 、1
PF •
2PF 等关系
(3)椭圆上的点有时常用到三角换元:⎩⎨
⎧θ
=θ
=sin cos b y a x ;
(4)注意题目中椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上,请补充当焦点在y 轴上时,其相应的性质。
二、双曲线
(一)定义:Ⅰ若F 1,F 2是两定点,21212F F a PF PF <=-(a 为常数),则动点P 的轨迹是双曲线。
Ⅱ若动点P 到定点F 与定直线l 的距离之比是常数e (e>1),则动点P 的轨迹是双曲线。
(二)图形:
(三)性质 方
程
:
12
2
22=-b y a x
)0,0(>>b a 122
22=-b
x a y )0,0(>>b a
定义域:}{a x a x x ≤≥或; 值域为R ; 实轴长=a 2,虚轴长=2b
焦距:2c
准线方程:c
a x 2
±=
焦半径:
)(21c a x e PF +=,)(2
2x c
a e PF -=,a PF PF 221=-;
注意:(1)图中线段的几何特征:=1AF a c BF -=2,=2AF c a BF +=1
顶点到准线的距离:c a a c a a 22+-或;焦点到准线的距离:c a c c a c 22+-或;两准线间的距离=c a 2
2 (2)若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程:⇒=-02222b y a x x a
b
y ±=
若渐近线方程为x a
b
y ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x
若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线,可设为λ=-22
22b
y a x
(0>λ,焦点在x 轴上,0<λ,焦点在y 轴上) (3)特别地当⇔=时b a 离心率2=e ⇔两渐近线互相垂直,分别为y=x ±,此时双曲线为等轴双曲线,
可设为λ=-2
2
y x ;
(4)注意21F PF ∆中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠,将有关线段1PF 、2PF 、2
1F F 和角结合起来。
二、抛物线
(一)定义:到定点F 与定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线。
即:到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比是常数e (e=1)。
(二)图形:
(三)性质:方程:焦参数-->=p p px y ),0(,22;
焦点: )0,2
(
p
,通径p AB 2=; 准线: 2
p
x -=;
焦半径:,2p x CF += 过焦点弦长p x x p
x p x CD ++=+++=21212
2
注意:(1)几何特征:焦点到顶点的距离=2
p
;焦点到准线的距离=p ;通径长=p 2
顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
(2)抛物线px y 22
=上的动点可设为P ),2(2
y p
y 或或)2,2(2pt pt P P px y y x 2),(2
=其中。