动量矩定理12-1 质量为m 的点在平面Oxy 内运动，其运动方程为: x a cos t y bsin2 t 式中a 、b 和 为常量。

求质点对原点 O 的动量矩。

解：由运动方程对时间的一阶导数得原点的速度V xdxsin t dt aV y dy 2b cos2 t 质点对点 O 的动量矩为L O M o (mV x ) M 0(mV y )mv x y mv y x m ( a sin t) bsin2 t m 2b cos2 t acos t 2mab cos 3 t 12-3 如图所示，质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。

轮子轴心为A,质心为C, AC = e ；轮子半径为 R,对轴心A 的转动惯量为J A ； C 、A 、B 三点在同一铅直线上。

（1 ）当轮子只 滚不滑时，若 V A 已知，求轮子的动量和对地面上 B 点的动量矩。

（2）当轮子又滚又滑时， 若V A 、 已知，求轮子的动量和对地面上 B 点的动量矩。

解：（1）当轮子只滚不滑时 B 点为速度瞬心。

轮子角速度V A R质心C 的速度V CBCR e轮子的动量p mv Cmv A (方向水平向右)R对B 点动量矩L B J B2 2 2由于 J B J C m (R e) J A me m (R e) 故 L B J A me 2 m （R e ）2食 （2）当轮子又滚又滑时由基点法求得 C 点速度。

V C V A V CA V A e 轮子动量 p mv C m(v A e) （方向向右） 对B 点动量矩L B mv C BC J Cm(v A 2e) (R e) (J A me) mv A (R e) (J A mRe) 12-13 如图所示，有一轮子，轴的直径为 50 mm 无初速地沿倾角 20的轨道滚下，设 只滚不滑，5秒内轮心滚动的距离为 s =3m 。

试求轮子对轮心的惯性半径。

解：取轮子为研究对象，轮子受力如图（ a ）所示，根据刚体平面运动微分方程有 ma C mgsi n F （ 1） J C = Fr （ 2）因轮子只滚不滑，所以有 a c = r （ 3） ® 12将式（3）代入式（1）、（2）消去F 得到mr sinm?g上式对时间两次积分，并注意到 t = 0时 0, 0,则 mgrt 2 sin mgrt 2s in 2(J C mr 2) 2(m 2 mr 2) 把 r = 0.025 m 及 t = 5 s 时，s 'grt 2sin f gt 2sin-r r「s r 1grt 2sin 2( 2 r 2) r 3 m 代入上式得0.0259.8 52si n202 30.09 m 90 mm12-17 图示均质杆 AB 长为I ，放在铅直平面内，杆的一端 A 靠在光滑铅直墙上，另一端 B 放在光滑的水平地板上，并与水平面成 °角。

此后，令杆由静止状态倒下。

求（1）杆在任 意位置时的角加速度和角速度； （2）当杆脱离墙时，此杆与水平面所夹的角。

解：（1）取均质杆为研究对象，受力分析及建立坐标系 Oxy 如图（a ），杆AB 作平面运动,质心在C 点。

mx c F NA (1)my c F NB mg ⑵J c匚l 匚l • F NB 2cos F N A 2 sin(3)由于 1 l . X c cos , y c sin 2 2将其对间 t 求两次导数，且注意到 J ?刚体平面运动微分方程为 得到y c-(sin 2-(cos 22cos ) 2sin )将式 再将 J c(4 )、( 5)代入式 F NA ， F N B 的表达式代入式ml 2 （ 4 ml 2(1 )、(2)中，得mlNA —( sinmlN B ~2~ ( cos3)中，得(4) (5)2cos2 .sin cos mgl 24 l 2代入上式得12 d dt分离变量并积分得)mg2・sin )cos mgl cos2止(sin4cos塑cos2IH 12 17 [?]2cos )sin{^(sin o sin )(2)当杆脱离墙时F NA = 0 ,设此时 1则 F NAml( sin 1 2cos 1) 0 22将和表达式代入上式解得sin 1—sin 0 321 arcsin(-sin 0)312-19 均质实心圆柱体 A 和薄铁环B 的质量均为 m 半径都等于r ,两者用杆 AB 铰接，无 滑动地沿斜面滚下，斜面与水平面的夹角为 ，如图所示如杆的质量忽略不计，求杆 AB 的（2）若在圆柱体 A 上作用一逆时针转向，矩为 M 的力偶，试问在什么条件下圆柱体 B 的质a ）、（b ）所示，A 和B 均作平 面运动，杆AB 作平动，由题意知AB,a A a Ba, F TF T。

对圆柱A 有ma mgsi n F T F 1(1) Rr J A(2)对薄铁环B 有ma T mgsi nF 2⑶F 2r J B(4)滚不滑条件得到的 a = r 代入，解得(4)，并将 J A mr 2, J2 1 . F T F Tmg sin 2mr , F T F T ，以及根据只4(压力)及 a gsin712-21 图示均质圆柱体的质量为 m 半径为r ，放在倾角为60的斜面上。

一细绳缠绕在圆 柱体上，其一端固定于点 A ，此绳与A 相连部分与斜面平行。

若圆柱体与斜面间的摩擦系数1为f，试求其中心沿斜面落下的加速度as3解：取均质圆柱为研究对象，其受力如图（ a ）所示，圆柱作平面运动，则其平面运动微分方程为J （F T F ）r （1） 0 F N mgcos60（2）ma C mgs in 60 F T F （3）而F = fF N（ 4）圆柱沿斜面向下滑动，可看作沿AD 绳向下滚动，且只滚不滑, 所以有 a c = r1把上式及f —代入式（3）、（4）解方程（1）至（4），得3a =（方向沿斜面向下）12-23 均质圆柱体 A 和B 的质量均为 m 半径为r ，一绳缠在绕固定轴 O 转动的圆柱A 上, 绳的另一端绕在圆柱 B 上，如图所示。

摩擦不计。

求: （1）圆柱体B 下落时质心的加速度; 加速度和杆的内力。

解：分别取圆柱 A 和薄铁环B 为研究对象，其受力分析如图（ 联立求解式（ 1）、 （2）、 （3）、US 12証圉心加速度将向上。

解：（1 ）分别取轮A 和B 研究，其受力如图（a ）、（b ）所示，轮A 定轴转动，轮B 作平面运 动。

对轮A 运用刚体绕定轴转动微分方程J A A F T r（ 1）对轮B 运用刚体平面运动微分方程有mg F T ma B ⑵J B BF T r（3）再以C 为基点分析B 点加速度，有a B a C a BCA rB r（ 4）联立求解式（1）、（ 2）、（ 3 ）、（ 4）,并将M 2mgr故当转矩M 2mgr 时轮B 的质心将上升。

B 固定。

圆柱体沿绳子解开的而降落, 其初速为零。

求当圆柱体的轴降落了高度 h 时圆柱体中心A 的速度力F T 。

解：法1 ：图（a ）ma A mg F T (1) 」a F T 「 (2)a Ar a (3)J A 1 2 mr 2解得 F T 1 3 mg (拉)a A ■|g （常量）3 (4)由运动学 V A , 2a A h 3 .3gh (J)法2:由于动瞬心与轮的质心距离保持不变，故可对瞬心 量矩定理：J C mgr (5)J C . 2彳2 J A mr mr2又 a A ra A Z 3g （同式（4））再由 ma A mg F T9-8图示圆柱体A 的质量为m 在其中部绕以细绳, 绳的一端 u 和绳子的拉C 用动(a)F TF T 及 J B JA 予2代入，解得4 a B -g52 ）若在A 轮上作用一逆时针转矩 动微分方程有J A以C 点为基点分析 M 则轮A 将作逆时针转动，对 A 运用刚体绕定轴转A M F T r（ 5）B 点加速度，根据题意，在临界状态有a Ba C a BCA rBr 0(6)联立求解式（5）、 （6 ）和（2 ）、（ 3）并将 T T 及 J B J A予2代入，得K 7 12 - 23 I*]得 F T 3mg (拉)V A j2a A h |,/3gh (J)3 9- 10图示重物A 的质量为 绳子跨过不计质量的定滑轮 C 沿水平轨道滚动而不滑动。

子C 的半径为r ，二者总质量为 m m 当其下降时，借无重且不可伸长的绳使滚子 D 并绕在滑轮B 上。

滑轮B 与滚子C 固结为一体。

已知滑轮 B 的半径为R,滚，其对与图面垂直的轴 0的回转半径为 。

求：重物A 的加速度。

解：法1:对轮: J O TR Fr ma o对A : ma A (1) (2) mg (3) 又: a A 以0为基点: t a Hta H aH 绳 na H t 3HO a O a oa A (R r) 由上四式联立，得 a H n a HO R ta HO (R r) (J)(注意到mg(R r)2(4) aA m ( 2 r 2) m(R r)2g nz 口 m (R r)2啲 E (a)11* 1 法2:对瞬心 J E ma A 又a A J E E 用动量矩定理T(R r) mg T (R J 0 r) 可解得：a A 2 / 2 m r m ( g m ( 2 r 2) 1矿 i m (R r)2(本题质心瞬心之距离为常数) r 2) 9- 11图示匀质圆柱体质量为 ，求圆柱中心 a on a Hin a HO(b) t a H 4 t a HO常数，滚动阻碍系数为 解：J D M fF N M M f 半径为r ，在力偶作用下沿水平面作纯滚动。

若力偶的力偶矩 M 为 0的加速度及其与地面的静滑动摩擦力。

(1) 代入(1), F N mg 3 2mr 2 a r 得2(M mg)3mr习题9- 11图(a)又：ma FF 2(M mg)3r 9- 12跨过定滑轮 上，如图所示。

已知圆柱 的加速度以及绳索的拉力。

解：对轮C ： J C D 的细绳，一端缠绕在均质圆柱体 A 上,另一端系在光滑水平面上的物体 A 的半径为r ，质量为 滑轮 F T 「 m ;物块B 的质量为 D 和细绳的质量以及轴承摩擦忽略不计。

B m 2。

试求物块 B 和圆柱质心 C F T F TAm i a c mg F T 对物块B：m2a B F T且：a。

a B r ；J c 1 mr 22解得：aa Bm ig ；a cm i2m23m2g m 3m2m iF T mmg m i 3m2。