1.1集合1、B 包含于A ，但B 不是A 的真子集，这个情况什么时候能出现？解 由题设及真子集定义得，A 的每一个元都属于B ，因此A 属于B ，B 属于A ，得A=B 。

所以上述情形在A=B 的情况下出现。

2、假设A 包含于B,A ∩B=? A ∪B=?解 （i ）由于A 包含于B ，所以A 的每一个元都属于B ，即A 的每一个元都是A 和B 的公共元，因而由交集的定义得 A 包含于A ∩B ，但显然有A ∩B 包含于A ，所以A ∩B=A（ii ）由并集的定义，A ∪B 的每一个元都属于A 和B 之一，但A 包含于B ，所以A ∪B 的每一元都属于B ：A ∪B 包含于B 。

另一方面B 包含于A ∪B ，所以A ∪B=B 。

1.2映射1、A={1，2，……，100}。

找一个AxA 到A 的映射。

解 用（a ，b ）表示AxA 的任意元素，a 和b 都属于A 。

按照定义做一个满足要求的映射即可，例如 Ф： （a ，b ）→a 就是这样的一个，因为Ф替AxA 的任何元素（a ，b ）规定了一个唯一的象a ，而a ∈A 。

2、习题1的映射下是不是每一个元都是AxA 的一个元的象？解 映射Ф之下，A 的每一个元素都是AxA 的一个元的象，因为（a ，b ）中的a 可以是A 的任一元素。

1.3 代数运算1、A={所有不等于零的偶数}。

找一个集合D ，使得普通乘法是AxA 到D 的代数运算。

是不是找得到一个这样的D ？解 一个不等于零的偶数除一个不等于零的偶数所得结果总是一个不等于零的有理数。

所以取 D={所有不等于零的有理数}，普通除法就是一个AxA 到D 的代数运算。

2、A={a,b,c}. 规定A 的两个不同的代数运算。

解 （i ）用运算表给出A 的一个代数运算： o按照这个表，通过o ，对于A 的人和两个元素都可以得出一个唯一确定的结果a 来，而a 仍属于A 。

所以o 是A 的一个代数运算。

这个代数运算也可以用一下方式来加以描述o ： （x ，y ）→a=x o y 对一切x ，y ∈A (ii)同理o ： （x ，y ）→x=x o y 对一切x ，y ∈A 也是A 的一个代数运算。

（列表亦可） 1.4 结合律1、A={所有不等于零的实数}。

O 是普通除法： a o b=a / b 这个代数运算适不适合结合律？解 这个代数运算o 不适合结合律。

例如，当 a = 4， b = c = 2 时( a o b ）o c = (4o2)o2 =4/2 o2=2/2=1 a o(b o c) = 4o(2o2) =4 o(2/2)=4/1=4 所以 当a ，b 和c 取上述值时 ( a o b ）o c ≠ a o(b o c)。

2、A={所有实数}。

代数运算o ：(a ，b)→a+2b= a o b 适不适合结合律？ 解 略3、A={a,b,c}. 由表给出的代数运算适不适合结合律？解 所给代数运算o 适合结合律。

为得出结论，需对元素a ，b ，c 的27（=33）种排列（元素允许重复出现）加以验证。

但利用元素a的特征，可把验证简化。

仔细考察运算表，发现以下规律：对集合A的任意元素x来说，都有a o x=x o a=x 由此得出，对于有a出现的排列，结合律都成立。

剩下不出现a的排列共有8（=23）种。

现验证4种：( b o b)ob=c o b=a b o(b o c)=b o c=a 所以( b o b)ob= b o(b o c)(b o b)o c=c o c=b b o(b o c)= b oa=b 所以(b o b)o c= b o(b o c)(b o c)o b=a o b=b b o(c o b)=b o a=b 所以(b o c)o b= b o(c o b)(b o c)o c=a oc=c b o(c o c)= b ob=c 所以(b o c)o c= b o(c o c)1.4 交换律1、A={所有实数}。

O是普通减法： aob=a-b 这个代数运算适不适合交换律/解容易验证，当a=1，b=2时，aob≠boa 。

所以这个代数运算不适合交换律。

2、A={a,b,c，d}。

由表：所给代数运算适不适合交换律？解考察运算表，关于主对角线对称的位置上，有没有不相同的元素。

1.6 分配律假定⊙，⊕是A的两个代数运算，并且⊕适合结合律，⊙，⊕是和两个分配律。

证明：(a1⊙b1)⊕(a1⊙b2)⊕(a2⊙b1)⊕(a2⊙b2) =(a1⊙b1)⊕(a2⊙b1)⊕(a1⊙b2)⊕(a2⊙b2)解 (a1⊙b1)⊕(a1⊙b2)⊕(a2⊙b1)⊕(a2⊙b2)=a1⊙(b1⊕b2)⊕a2⊙(b1⊕b2)=(a1⊕a2) ⊙ (b1⊕b2)=(a1⊕a2) ⊙b1⊕(a1⊕a2) ⊙b2=(a1⊙b1)⊕(a2⊙b1)⊕(a1⊙b2)⊕(a2⊙b2)1.7一一映射、变换1、A={所有＞0实数}。

A-={所有实数}。

找一个A与A-间的一一映射。

解Ф： x→㏒x 对一切x∈A是一个A与A-间的一一映射。

首先，给了任一x∈A，即任一大于0的实数x，㏒x是一个实数，即㏒x∈A-，并且㏒x是唯一确定的，所以Ф是一个A 与A-间的映射。

其次，对于任一y∈A-，即任一实数y，10y=x是一个大于0 的实数，而在Ф之下，x→㏒x =㏒10y=y，所以Ф是一个A与A-间的满射。

最后，若是x1，x2∈A，并且x1≠x2，那么㏒x1≠㏒x2，所以Ф是一个A 与A-间的单射。

这样，Ф是一个A与A-间的一一映射。

2、A = {所有≣0的实数}。

A-={所有实数a-，0≢a-≢1}。

找一个A与A-间的满射。

解Ф： x→x 若0≢x<1 ；x→1/x 若x≣1 是一个A与A-间的满射。

首先，Ф替每一个x∈A，规定了一个确定的象Ф(x)，而0≢Ф≢1，所以Ф是一个A与A-间的映射。

其次，在Ф之下，A-的每一个元a-都是A中的一个元，即a-本身的象，所以Ф是一个A与A-间的满射。

亦可证明：Ф1： x→|sin x| x∈A。

Ф2： x→0 0≢x<1； x→1/x x≣1 。

都是A与A-间的满射。

3、假定Ф是一个A与A-间的一一映射，a是A的一个元。

Ф-1[Ф(a)]=？Ф[Ф-1(a)]=？若Ф是一个A的一一变换，这两个问题的回答又该是什么？解当Ф是一个A与A-间的一一映射时，Ф-1[Ф(a)]=a Ф[Ф-1(a)]未必有意义，若Ф是一个A的一一变换，那么，Ф-1[Ф(a)]=a Ф[Ф-1(a)]=a。

1.8 同态1、A = {所有的实数x}。

A的代数运算是普通乘法。

一下映射是不是A到A的一个子集A-的同态满射？a) x→|x| b) x→2x c) x→x2 d) x→-x解 a) 取A-={所有≣0的实数}。

则A-=A，而Ф1： x→|x|=Ф1(x) x∈A是A到A-的一个同态满射。

因为：对任一实数x，|x|是一个唯一确定的≣0的实数，所以Ф1是A到A-的一个映射;若x-∈A-，那么x-∈A，而Ф1(x-)=|x-|=x-,所以Ф1是A到A-的一个满射；对任意x，y∈A，Ф1(x y)= |x y|= |x||y|=Ф1(x) Ф1(y)，所以Ф1是A到A-的一个同态满射。

b) 当x取遍一切实数时，2x也取遍一切实数值。

易证。

Ф2： x→2x=Ф2(x) 是A到A-的一个满射，但Ф2不是A到A -的一个同态满射。

因为：取A的数2和3，那么Ф2(2)=4 Ф2(3)=6Ф2（2·3）=Ф2(6)=12≠Ф2（2）Ф2（3）c) 取A-= {所有≣0的实数}。

那么A-包含于A。

Ф3： x→x2 =Ф3(x) x∈A是A到A-的一个同态满射。

d) 当x取遍一切实数值时，-x也取遍一切实数值。

易证; Ф4: x→-x=Ф4(x) x∈A是A到A 的一个满射，但不是一个同态满射。

2、假定A和A-对代数运算o和o-来说同态，而A-和A=对于代数运算o-和o=来说同态。

证明A和A=对于代数运算o和o=来说同态。

解由题设存在A到A-的一个同态满射Ф1： a→a-=Ф1(a) a∈A，a-∈A-并且对于A的任意两个元素a 和b来说Ф1(aob) = a-o-b-=Ф1(a) o-Ф1(b)同样存在A-到A=的一个同态满射Ф2：a-→a==Ф2(a-) a-∈A-，a=∈A=并且对于A-的任意两个元素a-和b-来说Ф2(a-o-b-) = a=o=b==Ф2(a-) o=Ф2(b-)如下定义Ф：a→Ф2[Ф1(a)] a∈A 那么Ф是A到A=的一个同态满射。

因为： (i) 由于Ф1和Ф2是同态满射，所以对于任何a∈A ，Ф1(a)是A-的一个唯一确定的元素，而Ф2[Ф1(a)]是A=的一个唯一确定的元素，因而Ф是A到A=的一个映射。

(ii)由于同一原因，对于任何a=∈A= ,存在一个元素a-∈A- ,使得Ф2(a-)=a=，并且存在一个元素a∈A ，使得Ф1(a)=a-，因此在Ф之下，a→Ф2[Ф1(a)]= Ф2(a-)=a=。

因而Ф是A到A=的一个满射。

(iii) 由于同一原因，对于A的任何两个元素a和b ，Ф(aob) =Ф2[Ф1(aob)] =Ф2[Ф1(a)o-Ф1(b)] =Ф2[Ф1(a)] o= Ф2[Ф1(b)] =Ф(a) o=Ф(b) 。

因而Ф是A到A=的一个同态满射。

1.9 同构自同构1、A={a,b,c}.代数运算o 由下表给定：找出所有A的一一变换，对于代数运算o 来说，这些一一变换是否都是A的自同构？解 A共有6(=3!) 个一一变换，即Ф1： a→a b→b c→cФ2： a→a b→c c→bФ3： a→b b→c c→aФ4： a→b b→a c→cФ5： a→c b→b c→aФ6： a→c b→a c→b对于代数运算o 来说，Ф1和Ф4是A的自同构，其余4个都不是。

这是因为，若Ф1是一个A的自同构，那么对A的任何元素x和y ，将有 (1) Ф1(xoy) = Ф1(c) = Ф1(x) o Ф1(y) = c 因而(2) Ф1(c) = c 反过来，若(2) 成立，那么(1) 也成立。

2、 A = {所有的有理数}。

找一个A的对于普通假发来说的自同构。

（映射x→x 除外）。

解设k是任一有理数，且k≠0 ，k≠1 。

那么Ф： x→kx x∈A 是A的一个对于加法来说的自同构，并且Ф显然不是映射x→x。

Ф是A的一个一一变换。

令x和y是A的任意两个元素，那么Ф：x+y→Ф(x+y) =k(x+y) = kx+ky = Ф(x) + Ф(y) 所以Ф是A的一个自同构。

（试证，A只有以下对于加法来说的自同构x→kx x∈A ， k是≠0的有理数。