2014中考数学压轴题精选精析（21-30例）
21．（2011•湖南邵阳）如图（十一）所示，在平面直角坐标系Oxy 中，已知点A (－94
，0)，点C (0，3)，点B 是x 轴上一点(位于点A 的右侧)，以AB 为直径的圆恰好经过．．．．
点C ． （1）求∠ACB 的度数；
（2）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A 、B 两点，求抛物线的解析式；
（3）线段BC 上是否存在点D ，使△BOD 为等腰三角形．若存在，则求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解题思路】：(1) ∵以AB 为直径的圆恰好经过．．．．点C ∴∠ACB =0
90 (2) ∵△AOC ∽△ABC ∴OB AO OC ∙=2 ∵A (－94，0)，点C (0，3)，∴4
9=AO 3=OC ∴OB 4
932=
∴ 4=OB ∴B(4,0) 把 A 、B 、C 三点坐标代入得 3127312++-=x x y (3)
1）OD=OB , D 在OB 的中垂线上，过D 作DH ⊥OB,垂足是H 则H 是OB 中点。
DH=OC 21 OB OH 2
1= ∴D )23,2( 2) BD=BO 过D 作DG ⊥OB,垂足是G ∴OG:OB=CD:CB DG:OC=1:5 ∴ OG:4=1:5 DG:3=1:5 ∴OG=
54 DG=53 ∴D(54,53)
【点评】：本题考察了相似、勾股定理、抛物线的解析式求解等知识，运用平行于三角形一边的直线截其他两边所得的三角形与原三角形相似构建比例式，求解点到坐标轴的距离，进而得出相应的坐标。
难度中等
24、（2011•湖北荆州）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA 所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）．若⊙P过A、B、E三点（圆心在x轴上），抛物线y= 14x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1．
（1）求B点坐标；
（2）求证：ME是⊙P的切线；
（3）设直线AC与抛物线对称轴交于N，Q点是此轴称轴上不与N点重合的一动点，
①求△ACQ周长的最小值；
②若FQ=t，S△ACQ=S，直接写出S与t之间的函数关系式．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）如图甲，连接PE、PB，设PC=n，由正方形CDEF的面积为1，可得CD=CF=1，根据圆和正方形的对称性知：OP=PC=n，由PB=PE，根据勾股定理即可求得n的值，继而求得B的坐标；
（2）由（1）知A（0，2），C（2，0），即可求得抛物线的解析式，然后求得FM的长，则可得△PEF∽△EMF，则可证得∠PEM=90°，即ME是⊙P的切线；
（3）①如图乙，延长AB交抛物线于A′，连CA′交对称轴x=3于Q，连AQ，则有AQ=A′Q，△ACQ周长的最小值为AC+A′C的长，利用勾股定理即可求得△ACQ周长的最小值；
②分别当Q点在F点上方时，当Q点在线段FN上时，当Q点在N点下方时去分析即可求
得答案．
解答：解：（1）如图甲，连接PE、PB，设PC=n，
∵正方形CDEF的面积为1，
∴CD=CF=1，
根据圆和正方形的对称性知：OP=PC=n，
∴BC=2PC=2n，
∵而PB=PE，
∴PB2=BC2+PC2=4n2+n2=5n2，PE2=PF2+EF2=（n+1）2+1，
∴5n2=（n+1）2+1，
解得：n=1或n=－12（舍去），
∴BC=OC=2，
∴B点坐标为（2，2）；
（2）如图甲，由（1）知A（0，2），C（2，0），
∵A，C在抛物线上，
\∴ {c=214×4+2b+c=0，
解得：{c=2b=－32，
∴抛物线的解析式为：y= 14x2－32x+2= 14（x－3）2－14，∴抛物线的对称轴为x=3，即EF所在直线，
∵C与G关于直线x=3对称，
∴CF=FG=1，
∴MF= 12FG= 12，
在Rt△PEF与Rt△EMF中，
∠EFM=∠EFP，
∵ FMEF=121=12，EFPF=12，
∴ FMEF=EFPF，
∴△PEF∽△EMF，
∴∴∠EPF=∠FEM，
∴∠PEM=∠PEF+∠FEM=∠PEF+∠EPF=90°，
∴ME是⊙P的切线；
（3）①如图乙，延长AB交抛物线于A′，连CA′交对称轴x=3于Q，连AQ，
则有AQ=A′Q，
∴△ACQ周长的最小值为AC+A′C的长，
∵A与A′关于直线x=3对称，
∴A（0，2），A′（6，2），
∴A′C=（6－2）2+22=2 5，而AC=22+22=2 2，
∴△ACQ周长的最小值为2 2+2 5；
②当Q点在F点上方时，S=t+1，
当Q点在线段FN上时，S=1－t，
当Q点在N点下方时，S=t－1．
点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，圆的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性很强，题目难度较大，解题的关键是方程思想、分类讨论与数形结合思想的应用．
22、（2011•襄阳）如图，在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB=10，以AB为直径的⊙O'与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是⊙O'的切线，AD丄CD于点D，tan∠CAD=错误！未找到引用源。
，抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点．
（1）求证：∠CAD=∠CAB；
（2）①求抛物线的解析式；
②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形．若存在，直接写出点P的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题。
（1）连接O′C，由CD是⊙O的切线，可得O′C⊥CD，则可证得O′C∥AD，又由O′A=O′C，分析：
则可证得∠CAD=∠CAB；
（2）①首先证得△CAO∽△BCO，根据相似三角形的对应边成比例，可得OC2=OA•OB，又由tan∠CAO=tan∠CAD=错误！未找到引用源。
，则可求得CO，AO，BO的长，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
②首先证得△FO′C∽△FAD，由相似三角形的对应边成比例，即可得到F的坐标，求得直线DC的解析式，然后将抛物线的顶点坐标代入检验即可求得答案；
（3）根据题意分别从PA∥BC与PB∥AC去分析求解即可求得答案，小心不要漏解．
解答：（1）证明：连接O′C，
∵CD是⊙O的切线，
∴O′C⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴O′C∥AD，
∴∠O′CA=∠CAD，
∵O′A=O′C，
∴∠CAB=∠O′CA，
∴∠CAD=∠CAB；
（2）①∵AB是⊙O′的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OC⊥AB，
∴∠CAB=∠OCB，
∴△CAO∽△BCO，
∴错误！未找到引用源。
，
即OC2=OA•OB，
∵tan∠CAO=tan∠CAD=错误！未找到引用源。
，
∴AO=2CO，
又∵AB=10，
∴OC2=2CO（10﹣2CO），
∵CO＞0，
∴CO=4，AO=8，BO=2，
∴A（﹣8，0），B（2，0），C（0，4），
∵抛物线y=ax2+bx+c过点A，B，C三点，
∴c=4，
由题意得：错误！未找到引用源。
，
解得：错误！未找到引用源。
，
∴抛物线的解析式为：y=﹣错误！未找到引用源。
x2﹣错误！未找到引用源。
x+4；
②设直线DC交x轴于点F，
∴△AOC≌△ADC，
∴AD=AO=8，
∵O′C∥AD，
∴△FO′C∽△FAD，
∴错误！未找到引用源。
，
∴8（BF+5）=5（BF+10），
∴BF=错误！未找到引用源。
，F（错误！未找到引用源。
，0）；
设直线DC的解析式为y=kx+m，
则错误！未找到引用源。
，
解得：错误！未找到引用源。
，
∴直线DC的解析式为y=﹣错误！未找到引用源。
x+4，
由y=﹣错误！未找到引用源。
x2﹣错误！未找到引用源。
x+4=﹣错误！未找到引用源。
（x+3）2+错误！未找到引用源。
得顶点E的坐标为（﹣3，错误！未找到引用源。
），
将E（﹣3，错误！未找到引用源。
）代入直线DC的解析式y=﹣错误！未找到引用源。
x+4中，
右边=﹣错误！未找到引用源。
×（﹣3）+4=错误！未找到引用源。
=左边，。