2019年成都中考数学一诊20,27,28一．解答题（共50小题）1．（2019•成华区模拟）如图，抛物线经过原点O，与x轴交于点A（﹣4，0），且经过点B （4，8）（1）求抛物线的解析式；（2）设直线y＝kx+4与抛物线两交点的横坐标分别为x1，x2（x1＜x2），当﹣＝时，求k的值；（3）连接OB，点P为x轴下方抛物线上一动点，过点P作OB的平行线交直线AB于点C，连接OC，当S△POC：S△BOC＝1：2时，求点P的坐标．2．（2019•合浦县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣3，0）与B（1，0），与直线y＝kx（k≠0）交于点C（﹣2，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点E是抛物线上（x轴下方）的一个动点，过点E作x轴的平行线与直线OC交于点F，试判断在点E运动过程中，以点O，B，E，F为顶点的四边形能否构成平行四边形，若能，请求出点E的坐标；若不能，请说明理由．（3）如图2，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DM交x轴于点M，当点E在抛物线上B，D之间运动时，连接EA交DM于点N，连接BE并延长交DM于点P，猜想在点E的运动过程中，MN+MP的和是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．3．（2019•锦江区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+x+，分别交x轴于A与B点，交y轴于点C点，顶点为D，连接AD．（1）如图1，P是抛物线的对称轴上一点，当AP⊥AD时，求P的坐标；（2）在（1）的条件下，在直线AP上方、对称轴右侧的抛物线上找一点Q，过Q作QH ⊥x轴，交直线AP于H，过Q作QE∥PH交对称轴于E，当▱QHPE周长最大时，在抛物线的对称轴上找一点，使|QM﹣AM|最大，并求这个最大值及此时M点的坐标．（3）如图2，连接BD，把∠DAB沿x轴平移到∠D′A′B′，在平移过程中把∠D′A′B′绕点A′旋转，使∠D′A′B′的一边始终过点D点，另一边交直线DB于R，是否存在这样的R点，使△DRA′为等腰三角形，若存在，求出BR的长；若不存在，说明理由．4．（2018•武侯区模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣6x+4的顶点A在直线y＝kx﹣2上．（1）求直线的函数表达式；（2）现将抛物线沿该直线方向进行平移，平移后的抛物线的顶点为A′，与直线的另一交点为B′，与x轴的右交点为C（点C不与点A′重合），连接B′C、A′C．ⅰ）如图，在平移过程中，当点B′在第四象限且△A′B′C的面积为60时，求平移的距离AA′的长；ⅱ）在平移过程中，当△A′B′C是以A′B′为一条直角边的直角三角形时，求出所有满足条件的点A′的坐标．5．（2019•武侯区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx+3与抛物线交于点A（9，﹣6），与y轴交于点B，抛物线的顶点C的坐标是（4，﹣11）．（1）分别求该直线和抛物线的函数表达式；（2）D是抛物线上位于对称轴左侧的点，若△ABD的面积为，求点D的坐标；（3）在y轴上是否存在一点P，使∠APC＝45°？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2019•岳池县模拟）如图，抛物线y＝﹣+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，点D为直线AC上方抛物线上的动点，DE⊥线段AC于点E．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，求线段DE的最大值；（3）如图2，连接CD、BC，当△BOC与以C、D、E为顶点的三角形相似时，求点D 的横坐标．7．（2019•龙泉驿区模拟）如图，B（2m，0）、C（3m，0）是平面直角坐标系中两点，其中m为常数，且m＞0，E（0，n）为y轴上一动点，以BC为边在x轴上方作矩形ABCD，使AB＝2BC，画射线OA，把△ADC绕点C逆时针旋转90°得△A′D′C′，连接ED′，抛物线y＝ax2+bx+n（a≠0）过E、A′两点．（1）填空：∠AOB＝°，用m表示点A′的坐标：A′；（2）当抛物线的顶点为A′，抛物线与线段AB交于点P，且时，△D′OE与△ABC是否相似？说明理由；（3）若E与原点O重合，抛物线与射线OA的另一个交点为M，过M作MN垂直y轴，垂足为N：①求a、b、m满足的关系式；②当m为定值，抛物线与四边形ABCD有公共点，线段MN的最大值为5，请你探究a的取值范围．8．（2019•都江堰市模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（2，3），对称轴为直线x＝1．（1）求抛物线的表达式；（2）如果垂直于y轴的直线l与抛物线交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜0，x2＞0，与y轴交于点C，求BC﹣AC的值；（3）将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在x轴上，原抛物线上一点P平移后对应点为点Q，如果OP＝OQ，直接写出点Q的坐标．9．（2019•成都模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c与轴交于点A和点B，与y轴交于点C，作直线BC，点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，﹣6）．（1）求抛物线的解析式并写出其对称轴；（2）D为抛物线对称轴上一点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求D点坐标；（3）若E为y轴上且位于点C下方的一点，P为直线BC上的一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q．使以C，E，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出Q点的横坐标；若不存在，请说明理由．10．（2010•北海）如图，在△OAB中，AO＝AB，∠OAB＝90°，点B坐标为（10，0）．过原点O的抛物线，又过点A和G，点G坐标为（7，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）边OB上一动点T（t，0），（T不与点O、B重合）过点T作OA、AB的垂线，垂足分别为C、D．设△TCD的面积为S，求S的表达式（用t表示），并求S的最大值；（3）已知M（2，0），过点M作MK⊥OA，垂足为K，作MN⊥OB，交点OA于N．在线段OA上是否存在一点Q，使得Rt△KMN绕点Q旋转180°后，点M、K恰好落在（1）所求抛物线上？若存在请求出点Q和抛物线上与M、K对应的点的坐标，若不存在请说明理由．11．（2019•简阳市模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣（x﹣a）（x﹣4）（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）若D点坐标为（），求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）若点M为抛物线对称轴上一点，且点M的纵坐标为a，点N为抛物线在x轴上方一点，若以C、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形时，求a的值；（3）直线y＝2x+b与（1）中的抛物线交于点D、E（如图2），将（1）中的抛物线沿着该直线方向进行平移，平移后抛物线的顶点为D′，与直线的另一个交点为E′，与x 轴的交点为B′，在平移的过程中，求D′E′的长度；当∠E′D′B′＝90°时，求点B′的坐标．12．（2019•郫都区模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+mx+2m2（m＞0）与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，C是抛物线上一个动点（点C与点A、B不重合），D是OC的中点，连接BD并延长，交AC于点E．（1）用含m的代数式表示点A、B的坐标；（2）求证：；（3）若点C、点A到y轴的距离相等，且s△CDE＝1.6时，求抛物线和直线BE的解析式．13．（2019•无锡一模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点D（0，3），过顶点C作CH⊥x轴于点H（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）连结AD、CD，若点E为抛物线上一动点（点E与顶点C不重合），当△ADE与△ACD面积相等时，求点E的坐标；（3）若点P为抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），过点P向CD所在的直线作垂线，垂足为点Q，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标．14．（2018秋•新都区期末）如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足+（a+b+3）2＝0，▱ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线y＝经过C、D两点．（1）求k的值；（2）点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标；（3）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT 的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．15．（2018秋•镇原县期末）如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求点A、B、C的坐标；（2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q 作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；（3）当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的△AEM的面积；（4）在（3）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG＝2DQ，求点F的坐标．16．（2017•武汉）已知点A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线y＝ax2+bx上（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM＝2PM，直接写出t的值．17．（2018•资阳）已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△P AB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．18．（2018•昆明）如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP＜CP），∠APB＝90°．将△ADP沿AP翻折得到△AD′P，PD′的延长线交边AB于点M，过点B作BN∥MP交DC于点N．（1）求证：AD2＝DP•PC；（2）请判断四边形PMBN的形状，并说明理由；（3）如图2，连接AC，分别交PM，PB于点E，F．若＝，求的值．19．（2018秋•成都期末）在△ABC中，P为边AB上一点．（1）如图1，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP•AB；（2）若M为CP的中点，AC＝4．①如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝7，求BP的长；②如图3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，求BP的长．20．（2018•温江区模拟）在四边形ABCD中，点E为AB边上一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB．（1）若四边形ABCD为正方形；①如图1，请直接写出AE与DF的数量关系；②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE、DF，猜想AE与DF的数量关系并说明理由；（2）如图3，若四边形ABCD为矩形，BC＝mAB，其它条件都不变，将△EBF绕点B 逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E′BF′，连接AE′，DF′，请在图3中画出草图，并求出AE′与DF′的数量关系．21．（2018秋•新都区期末）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值；（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．22．（2018秋•金牛区期末）在矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF、EG始终与矩形AB、BC两边相交，AB＝2，FG＝8，（1）如图1，当EF、EG分别过点B、C时，求∠EBC的大小；（2）在（1）的条件下，如图2，将△FFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动．若EF、EG分别与AB、BC相交于点M、N，①在△EFG旋转过程中，四边形BMEN的面积是否发生变化？若不变，求四边形BMEN的面积；若要变，请说明理由．②如图3，设点O为FG的中点，连结OB、OE，若∠F＝30°，当OB的长度最小时，求tan∠EBG的值．23．（2019•简阳市模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AC＝2，AB＝5．（1）求BD的长；（2）点E为直线AD上的一个动点，连接CE，将线段EC绕点C顺时针旋转∠BCD的角度后得到对应的线段CF（即∠ECF＝∠BCD），EF交CD于点P．①当E为AD的中点时，求EF的长；②连接AF、DF，当DF的长度最小时，求△ACF的面积．24．（2019•彭州市模拟）如图①，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，动点P 在线段BC上（不含点B），∠BPE＝∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）如图②，当点P与点C重合时，求证：△BOG≌△POE；（2）通过观察、测量、猜想：＝，并结合图①证明你的猜想；（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图②），若∠ACB＝a，直接写出的值，为．（用含a的式子表示）25．（2019•都江堰市模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，tan A＝，AC＝6，以BC为斜边向右侧作等腰直角△EBC，P是BE延长线上一点，连接PC，以PC为直角边向下方作等腰直角△PCD，CD交线段BE于点F，连接BD．（1）求证：PC：CD＝CE：BC；（2）若PE＝n（0＜n≤4），求△BDP的面积；（用含n的代数式表示）（3）当△BDF为等腰三角形时，请直接写出线段PE的长度．26．（2019•成都模拟）已知四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，E为BC边上一动点且不与B、C重合，连接AE（1）如图1，过点E作EN⊥AE交CD于点N①若BE＝1，求CN的长；②将△ECN沿EN翻折，点C恰好落在边AD上，求BE的长；（2）如图2，连接BD，设BE＝m，试用含m的代数式表示S四边形CDFE：S△ADF值．27．（2019•历下区模拟）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P为AB边上的动点（P与A、B不重合），将△BCP沿CP翻折，点B的对应点B1在矩形外，PB1交AD于E，CB1交AD于点F．（1）如图1，求证：△APE∽△DFC；（2）如图1，如果EF＝PE，求BP的长；（3）如图2，连接BB′交AD于点Q，EQ：QF＝8：5，求tan∠PCB．28．（2019•五华区二模）如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，BC上，连接EF，将△BEF沿直线EF翻折得到△HEF，AB＝8，BC＝6，AE：EB＝3：1．（1）如图1，当∠BEF＝45°时，EH的延长线交DC于点M，求HM的长；（2）如图2，当FH的延长线经过点D时，求tan∠FEH的值；（3）如图3，连接AH，HC，当点F在线段BC上运动时，试探究四边形AHCD的面积是否存在最小值？若存在，求出四边形AHCD的面积的最小值；若不存在，请说明理由．29．（2019•锦江区校级模拟）已知，如图所示，在矩形ABCD中，点E在BC边上，△AEF ＝90°（1）如图①，已知点F在CD边上，AD＝AE＝5，AB＝4，求DF的长；（2）如图②，已知AE＝EF，G为AF的中点，试探究线段AB，BE，BG的数量关系；（3）如图③，点E在矩形ABCD的BC边的延长线上，AE与BG相交于O点，其他条件与（2）保持不变，AD＝5，AB＝4，CE＝1，求△AOG的面积．30．（2018•成都）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C（点A，B的对应点分别为A'，B′），射线CA′，CB′分别交直线m于点P，Q．（1）如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数；（2）如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；（3）在旋转过程中，当点P，Q分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形P A'B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形P A′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．31．（2019•锦江区模拟）如图，在等边△ABC中，点E，F分别是边AB，BC上的动点（不与端点重合），且始终保持AE＝BF，连接AF，CE相交于点P．过点A作直线m∥BC，过点C作直线n∥AB，直线m，n相交于点D，连接PD交AC于点G．（1）求∠APC的大小；（2）求证：△APD∽△EAC；（3）在点E，F的运动过程中，若＝，求的值．32．（2019•成华区模拟）如果a：b＝b：c，即b2＝ac，则b叫a和c的比例中项，或等比中项．若一个三角形一条边是另两条边的等比中项，我们把这个三角形叫做等比三角形．（1）已知△ABC是等比三角形，AB＝2，BC＝3．请直接写出所有满足条件的AC的长；（2）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC，求证：△ABC是等比三角形；（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC＝90时，求的值．33．（2019•郫都区模拟）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF交边DC于点G．（1）求证：DG•BC＝DF•BG；（2）连接CF，求∠CFB的大小；（3）作点C关于直线DE的对称点H，连接CH，FH．猜想线段DF，BF，CH之间的数量关系并加以证明．34．（2019•成华区模拟）如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上（不与点B，C重合），连接AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，设＝k．（1）求证：AE＝BF；（2）求证：＝k；（3）连接DF，当∠EDF＝30°时，求k的值．35．（2018•成都）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）设AB＝x，AF＝y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长；（3）若BE＝8，sin B＝，求DG的长，36．（2019•锦江区校级模拟）如图，F为⊙O上的一点，过点F作⊙O的切线与直径AC的延长线交于点D，过圆上的另一点B作AO的垂线，交DF的延长线于点M，交⊙O于点E，垂足为H，连接AF，交BM于点G．（1）求证：△MFG为等腰三角形．（2）若AB∥MD，求MF、FG、EG之间的数量关系，并说明理由．（3）在（2）的条件下，若DF＝6，tan∠M＝，求AG的长．37．（2019•武侯区模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC平分∠DAB，点B 是弧AC的中点．（1）求证：AB＝CD；（2）如图2，连接BO并延长分别交AC，AD于点E和F，交⊙O于点G，连接FC；（i）试判断四边形ABCF的形状，并说明理由；（ii）若，AC＝4，求⊙O的半径．38．（2019•青羊区模拟）如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上位于直径AB两侧的点，连接AC、AD、CD、BD，且AD＜BD．（1）如图1，若∠C＝15°，求∠BAD的度数；（2）如图2，若BD＝6，AD＝3，CD平分∠ADB，求CD长度；（3）如图3，将（2）中的CD延长与过点A的切线交于点E，连接BE，设tan∠ABD＝x，tan∠ABE＝y，用含x的代数式表示y．39．（2019•成都模拟）在△ACD中，CD＝1，AC＝3．以AD为直径作⊙O，点C恰在圆上，点B为射线CD上一点，连接BA交⊙O于点E，连接CE交AD于点G，过点A作AF ∥CD交DE的延长线于点F．（1）若∠DAE＝30°，求DE的长；（2）求证：△AEC∽△F AD；（3）当△GEA∽△F AD时，求DF的长．40．（2019•随县一模）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，AE与BC交于点F，∠C＝2∠EAB．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知CD＝4，CA＝6，①求CB的长；②求DF的长．41．（2013•衡阳）如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，已知AD＝4．（1）试说明AE2+CF2的值是一个常数；（2）过点P作PM∥FC交CD于点M，点P在何位置时线段DM最长，并求出此时DM 的值．42．（2019•彭州市模拟）如图，在△ABC中，BC为⊙O的直径，AB交⊙O于点D，DE⊥AC，垂足为点E，延长DE交BC的延长线于点F，若∠A＝∠ABC（1）求证：BD＝AD；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）若⊙O的半径为6，sin∠F＝，求DE的长．43．（2019•郫都区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD＝HF；（3）若CD＝1，EF＝，求AF长．44．（2019•南山区校级三模）如图，已知Rt△ACE中，∠AEC＝90°，CB平分∠ACE交AE于点B，AC边上一点O，⊙O经过点B、C，与AC交于点D，与CE交于点F，连结BF．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若cos∠CBF＝，AE＝8，求⊙O的半径；（3）在（2）条件下，求BF的长．45．（2018•成都模拟）在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E、F分别为AB、BC 的两点．（1）如图1，若∠B＝90°，且BF＝CE＝2，连接EF、DE，判断EF和DE的数量关系及位置关系，并说明理由；（2）如图2，∠B＝∠FED＝60°，求证：；（3）如图3，若∠ABC＝90°，点C关于BD的对称点为点C'，点O为平行四边形ABCD 对角线BD的中点，连接OC交AD于点G，求GD的长．46．（2018秋•朝阳区期末）数学课上学习了圆周角的概念和性质：“顶点在圆上，两边与圆相交”，“同弧所对的圆周角相等”，小明在课后继续对圆外角和圆内角进行了探究．下面是他的探究过程，请补充完整：定义概念：顶点在圆外，两边与圆相交的角叫做圆外角，顶点在圆内，两边与圆相交的角叫做圆内角．如图1，∠M为所对的一个圆外角．（1）请在图2中画出所对的一个圆内角；提出猜想（2）通过多次画图、测量，获得了两个猜想：一条弧所对的圆外角这条弧所对的圆周角；一条弧所对的圆内角这条弧所对的圆周角；（填“大于”、“等于”或“小于”）推理证明：（3）利用图1或图2，在以上两个猜想中任选一个进行证明；问题解决经过证明后，上述两个猜想都是正确的，继续探究发现，还可以解决下面的问题．（4）如图3，F，H是∠CDE的边DC上两点，在边DE上找一点P使得∠FPH最大．请简述如何确定点P的位置．（写出思路即可，不要求写出作法和画图）47．（2018秋•成都期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AD交AB于E，△ADE的外接圆⊙O与边AC相交于点F，过F作AB的垂线交AD于P，交AB于M，交⊙O于G，连接GE．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若tan∠G＝，BE＝6，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求MP的长．48．（2018•通辽）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O 于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△ABD∽△DCP；（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．49．（2019•锦江区模拟）如图，AB是半圆⊙O的直径，点C是半圆⊙O上的点，连接AC，BC，点E是AC的中点，点F是射线OE上一点．（1）如图1，连接F A，FC，若∠AFC＝2∠BAC，求证：F A⊥AB；（2）如图2，过点C作CD⊥AB于点D，点G是线段CD上一点（不与点C重合），连接F A，FG，FG与AC相交于点P，且AF＝FG．①试猜想∠AFG和∠B的数量关系，并证明；②连接OG，若OE＝BD，∠GOE＝90°，⊙O的半径为2，求EP的长．50．（2019•简阳市模拟）如图，AB为⊙O的直径，AC，BC是⊙O的两条弦，过点C作∠BCD＝∠A，CD交AB的延长线与点D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若tan A＝，求的值；（3）在（2）的条件下，若AB＝7，∠CED＝∠A+∠EDC，求EC与ED的长．2019年成都中考数学一诊20,27,28参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．（2019•成华区模拟）如图，抛物线经过原点O，与x轴交于点A（﹣4，0），且经过点B （4，8）（1）求抛物线的解析式；（2）设直线y＝kx+4与抛物线两交点的横坐标分别为x1，x2（x1＜x2），当﹣＝时，求k的值；（3）连接OB，点P为x轴下方抛物线上一动点，过点P作OB的平行线交直线AB于点C，连接OC，当S△POC：S△BOC＝1：2时，求点P的坐标．【分析】（1）因为抛物线经过原点O，点A（﹣4，0）和点B（4，8），用待定系数法即可得出抛物线的表达式；（2）把条件当﹣＝转化为，再利用韦达定理即可得出k的值；（3））由OB∥PC，S△POC：S△BOC＝1：2，可得PC：OB＝1：2，因为OB＝，所以PC＝，设点P的坐标为（a，），直线PC的表达式为y＝2x+t，再把点P的坐标为（a，）代入求得直线PC的表达式，再与直线AB解交点求得点C的横坐标，最后根据两点之间距离公式可求得a的值，进而得出点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线经过原点O，与x轴交于点A（﹣4，0），且经过点B（4，8），设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，把点A（﹣4，0），B（4，8）代入，得，解得，∴抛物线的解析式为（2），消去y得，，∴x1+x2＝4（k﹣1），x1x2＝﹣16，∵﹣＝，∴，即，解得k＝3或k＝﹣1，经检验符合题意，∴k的值为3或﹣1；（3）∵OB∥PC，S△POC：S△BOC＝1：2，∴PC：OB＝1：2，∵A（﹣4，0），B（4，8），∴OB＝，直线OB的表达式为y＝2x，∴PC＝，设点P的坐标为（a，），直线PC的表达式为y＝2x+t，把点P的坐标为（a，）代入，直线PC的表达式，得，∴线PC的表达式为y＝2x+，易得直线AB的表达式为y＝x+4，联立，解得x＝，∴，解得（舍去）或，代入抛物线表达式，得y＝，∴点P的坐标为（，）．【点评】本题考查用待定系数法求二次函数，一次函数表达式，综合性较强．第（3）问把条件S△POC：S△BOC＝1：2转化为PC：OB＝1：2是解题的关键．2．（2019•合浦县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣3，0）与B（1，0），与直线y＝kx（k≠0）交于点C（﹣2，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点E是抛物线上（x轴下方）的一个动点，过点E作x轴的平行线与直线OC交于点F，试判断在点E运动过程中，以点O，B，E，F为顶点的四边形能否构成平行四边形，若能，请求出点E的坐标；若不能，请说明理由．（3）如图2，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DM交x轴于点M，当点E在抛物线上B，D之间运动时，连接EA交DM于点N，连接BE并延长交DM于点P，猜想在点E的运动过程中，MN+MP的和是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），把点C（﹣2，﹣3）代入，得a ＝1，即抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）设点E（m，m2+2m﹣3），由于直线y＝kx（k≠0）经过点C（﹣2，﹣3），可得直线表达式为y＝x，因为EF平行OA，可求得点F的横坐标，进而得出EF的长度，当EF＝OB＝1时，以点O，B，E，F为顶点的四边形构成平行四边形，即，解方程求得m的值，进而得出点E的坐标；（3）如图，作EH⊥OA于点H，证明△BEH∽△BPM，△AMN∽△AHE，可得，设点E（m，m2+2m﹣3），可求得MP＝2m+6，MN＝2﹣2m，进而得出MP+MN＝8，其值为定值，【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣3，0）与B（1，0），与直线y＝kx（k≠0）交于点C（﹣2，﹣3），∴设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），点C（﹣2，﹣3）代入，得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）设点E（m，m2+2m﹣3），∵直线y＝kx（k≠0）经过点C（﹣2，﹣3），∴﹣3＝﹣2k，k＝，∴y＝x，∵过点E作x轴的平行线与直线OC交于点F，∴m2+2m﹣3＝，∴，当EF＝OB＝1时，以点O，B，E，F为顶点的四边形构成平行四边形，∴，解得m＝1（舍去）或m＝或m＝或m＝（舍去），∴点E的坐标为（，）或（，）；（3）如图，作EH⊥OA于点H，∵PM⊥OA，∴PM∥EH，∴△BEH∽△BPM，△AMN∽△AHE，∴，设点E（m，m2+2m﹣3），则，，∴MP＝2m+6，MN＝2﹣2m，∴MP+MN＝8，∴在点E的运动过程中，MN+MP的和是定值，该定值为8．【点评】本题考查二次函数，平行四边形，相似三角形等知识，综合性强．用点的坐标来表示线段的长是解决本题的关键．3．（2019•锦江区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+x+，分别交x轴于A与B点，交y轴于点C点，顶点为D，连接AD．（1）如图1，P是抛物线的对称轴上一点，当AP⊥AD时，求P的坐标；（2）在（1）的条件下，在直线AP上方、对称轴右侧的抛物线上找一点Q，过Q作QH ⊥x轴，交直线AP于H，过Q作QE∥PH交对称轴于E，当▱QHPE周长最大时，在抛物线的对称轴上找一点，使|QM﹣AM|最大，并求这个最大值及此时M点的坐标．（3）如图2，连接BD，把∠DAB沿x轴平移到∠D′A′B′，在平移过程中把∠D′A′B′绕点A′旋转，使∠D′A′B′的一边始终过点D点，另一边交直线DB于R，是否存在这样的R点，使△DRA′为等腰三角形，若存在，求出BR的长；若不存在，说明理由．【分析】（1）求出点A、B、C、D的坐标，设直线AP的表达式为：y＝﹣x+b，将点A 的坐标代入上式，即可求解；（2）设点Q（x，﹣x2+x+），则点H（x，﹣x﹣），PH＝，可求出点Q（10，﹣9），取点A关于对称轴的对称点A′（6，0），连接QA′，此时，|QM﹣AM|最大，即可求解；（3）分DA＝RA′、A′R＝A′D、A′D＝DR三种情况，求解即可．【解答】解：（1）y＝﹣x2+x+，令x＝0，则y＝，令y＝0，则x＝﹣2或6，故点A、B、C、D的坐标分别为（﹣2，0）、（6，0）、（0，）、（2，3），直线AD表达式中的k值为：，AP⊥AD，则直线AP表达式中的k值为﹣，设直线AP的表达式为：y＝﹣x+b，将点A的坐标代入上式并解得：b＝﹣，则直线AP的表达式为：y＝﹣x﹣，当x＝2时，y＝﹣，故点P（2，﹣）；（2）设点Q（x，﹣x2+x+），则点H（x，﹣x﹣），PH＝＝＝，▱QHPE周长＝2（PH+QH）＝2（﹣x2+x++x++）＝﹣x2+x+，当x＝﹣＝10时，周长取得最大值，此时，点H（10，﹣16）、点Q（10，﹣9），取点A关于对称轴的对称点A′（6，0），连接QA′，此时，|QM﹣AM|最大，最大值为QA′＝＝；（3）存在，理由：AD＝BD＝5，∴∠DAB＝∠DBA＝α，由（1）知：tanα＝，则sinα＝①当DA＝RA′时，如下图1，∴∠R′AD＝∠RDA′＝∠DAB＝∠DBA＝α，A′D＝2DR cosα＝DR＝A′R，即：＝，∠RA'B＝∠DRA′﹣α＝180°﹣2α﹣α＝180°﹣3α，∠ADA′＝180°﹣3α，∴∠RA'B＝∠ADA′＝3α，而∠RBA′＝∠DAA′＝α，∴△AA′D∽△BRA′，∴＝＝＝，其中：AD＝5，AA′＝AB﹣A′B＝8﹣A′B，BR＝BD﹣DR＝5﹣DR，将上述数据代入比例中并解得：AB＝，DR＝，BR＝BD﹣DR＝；②当A′R＝A′D时，∴∠A′DR＝∠DRA′＝β，∠ADA′＝∠DA′B﹣∠DAA′＝∠RA′B+α﹣α＝∠RA′B，∠DAA′＝∠DBA′＝α∴△AA′D≌△BRA′（AAS），∴AB′＝AD＝5，AA′＝AB﹣A′B＝8﹣5＝3＝RB；（3）当A′D＝DR时，如下图所示，由图3知，A、A′重合，B、R重合，故：BR＝0；故：BR的长为0或3或．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形全等和相似等，其中（3），要分类讨论，巧妙利用三角形全等和相似求解，难度很大．4．（2018•武侯区模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣6x+4的顶点A在直线y＝kx﹣2上．（1）求直线的函数表达式；（2）现将抛物线沿该直线方向进行平移，平移后的抛物线的顶点为A′，与直线的另一交点为B′，与x轴的右交点为C（点C不与点A′重合），连接B′C、A′C．ⅰ）如图，在平移过程中，当点B′在第四象限且△A′B′C的面积为60时，求平移的距离AA′的长；ⅱ）在平移过程中，当△A′B′C是以A′B′为一条直角边的直角三角形时，求出所有满足条件的点A′的坐标．【分析】（1）利用配方法将抛物线表达式变形为顶点式，由此可得出点A的坐标，根据点A的坐标，利用待定系数法即可求出直线的函数表达式；（2）设点A′的坐标为（m，﹣2m﹣2），则平移后抛物线的函数表达式为y＝（x﹣m）2﹣2m﹣2，利用一次函数图象上点的坐标特征结合点C在x轴上且点C不与点A′重合，可得出m＞﹣1．（i）联立直线和抛物线的表达式成方程组，通过解方程组可求出点B′的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，过点C作CD∥y轴，交直线A′B′于点D，由点C的坐标可得出点D的坐标，利用S△A′B′C＝S△B′CD﹣S△A′CD＝60，即可得出关于t的方程，利用换元法解方程组即可得出m的值，进而可得出点A′的坐标，再由点A的坐标利用两点间的距离公式即可求出结论；（ii）根据点A′、B′、C的坐标，可得出A′B′、A′C、B′C的长度，分∠A′B′C＝90°及∠B′A′C＝90°两种情况，利用勾股定理可得出关于m的方程，利用换元法解方程即可求出m的值，进而可得出点A′的坐标，此题得解．【解答】解：（1）∵y＝﹣6x+4＝（x﹣6）2﹣14，∴点A的坐标为（6，﹣14）．∵点A在直线y＝kx﹣2上，∴﹣14＝6k﹣2，解得：k＝﹣2，∴直线的函数表达式为y＝﹣2x﹣2．（2）设点A′的坐标为（m，﹣2m﹣2），则平移后抛物线的函数表达式为y＝（x﹣m）2﹣2m﹣2．。