练习P103.2
P103--2
一曲线通过点e2,3 ， 且在任一点处的切线率等于
该点横坐标的倒数， 试求该曲线的方程。
解： 设所求曲线方程为y f x,由题意知
f x 1 ,即f x是1 的解一： 个原函数,而且
x
x
1 x
dx
ln
x
C
即1 的积分曲线族为y ln x C， 将x e2 , y 3
如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则 f xdx Fx C
例2
求
1dx. x
解:当x 0时， 因为ln x 1， 所以
x
1 dx
x
ln
x
Cx
0
当x 0时， x 0,ln x 1 x 1 所以
x
x
合并上面两式，1xdx得到ln(x) Cx 0
1dx x
ln
x
Cx
0
• P100不定积分的几何意义
P99 一、不定积分的概念
定义4.1
设Fx及f x是在区间I上都有意义， 若在I上 Fx f x， 则称Fx是f x在区间上的一个原函数.
例 sin x cos x, sin x是cos x 的原函数.
ln x 1 ( x 0),
x
ln x 是1 在区间(0,)内的原函数. x
问题：
(1) 在什么条件下，一个函数的原 函数存在？如果存在，是否唯一？
例 sin x cos x
sin x C cos xC为任意常数
P100
定 义 4 . 2 (不定积分的定义)
函数f x的全部原函数F x C， 称为f x
不定积分，记为 f ( x)dx.
f ( x)dx F ( x) C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
式
积 分 变 量
任 意 常 数
性质4.3
f x gxdx f xdx gxdx
性质4.4
kfxdx k f xdxk是常数， 且k 0
4.1.3 直接积分法 P 1 0 1
(1) kdx kxC (k 是常数),
(2)
x
dx
1
1
x
1
C
,
(3)
1 x
dx
ln
|
x|C
,
(4) exdx ex C ,
(5)
a
xdx
第四章 不定积分
4.1 不定积分的概念与性质
教学目标:
1、理解原函数和不定积分的概念
2、熟练掌握不定积分的性质和基本积分公式
教学重点：
综合运用不定积分的性质和基本积分公式求 不定积分。
§4.1 不定积分的概念
一、不定积分的概念 二、不定积分的性质 三、直接积分法
前言
早在两千多年前，数学家们就已经开始注意到累 积计算的重要性，随着生产的发展，这类问题不断有 人提出，如求某块平面图形的面积，某条定曲线的长 度等等． 其中某些问题甚至得到了解决． 例如，阿 基米得(Archimedes)、开普勒(Kepler)、卡瓦列里 (Cavaliere)都在具体问题中得到了后来用积分计算 得到的相同结果． 费马(Fermat)与巴洛(Barrow)已 初步意识到某些问题与微分之间存在互逆关系． 但 当时并没有一般地引入积分概念，他们的方法也不具 有普遍意义． 直到十七世纪，牛顿和莱布尼兹各自 独立地看到了积分问题是微分问题的逆问题，并从微 分逆运算的角度提了简洁的一般解决办法．
2
x
7 2
C
7
.
2
2 x3 x C . 7
例例66
dx x3 x
x
4 3
dx
4 1x Biblioteka 34 1C
3x13 C
3 3x
C .
3
x34x3434113411C
C
3x3x13 13C
C
3 3
3x
3xC
C.
.
堂上练习:
x (xx(x2x(2x52)5d)5xd)xdx(x(x52(52x552 x5x125)12xd)12xd)xdxxx52d52xxd52xdx5x51x25d12xxd12xdx
((1133))ccssccxxccoottddxxccssccxxCC ,,
(7) sin xdx cosxC ,
(8) sec2 xdx tan xC ,
(2)
x
dx
1
1
x
1
C
,
例例44
1 x3
dx
x3dx
1 31
x31
C
1 2x2
C
.
例例55
x2
5
xdx x2dx
1
x
5 2
1
C
5 1
a ln
x
a
C
,
(6) cosxdx sin xC ,
(9) csc2 xdx cot x C ,
(10)
1 1 x2
dx
arc
tan
x
C
,
((1111)) 1111xx22ddxxaarrccssiinnxxCC,,
(1(122))sseeccxxtatannxxddxxsseeccxxCC, ,
例3
设通过点(1, 3), 且其切线斜率为 2X的曲线方程.
解： 设所求曲线方程为y f x,由题意知 f x 2x,即f x是2x的一个原函数,而且
2xdx x2 C
即2x的积分曲线族为y x2 C， 将x 1, y 3 代入， 得C 2， 故所求的曲线方程为y x2 2
(2)在已知某函数的原函数存在，怎 样将这个原函数求出来。
P99 定理4.1（原函数存在定理）
若函数f x在区间I上连续， 那么在区间I上 存在原函数，F x,即Fx f x, x I.
即连续函数一定有原函数！
初等函数在其定义区间内一定有原函数。
P99 定理4.2
设Fx是f x在区间I上的一个原函数， 则 Fx C也是f x的原函数，C 为任意常数。
通常把函数f(x)的原函数y= F(x)的图形叫做f(x)的一条 积分曲线。那么f(x)的所有积分曲线构成的曲线族 y=F(x)+C称为f(x)的积分曲线族.
不定积分的几何意义：. 函数f(x)
的不定积分 f (x)dx . 表示f(x)的一簇
积分曲线，而f(x)正是积分曲线的 斜率.
2x的积分曲线
如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则 f xdx Fx C
例1
因为sin x 是cos x 的原函数, 所以 cos xdx sinx C
因为
x是 1 的一个原函数 2x
所以
2
1 dx
x
xC
例如: 4x3dx x4 c
exdx e x C
1 1 x2 dx
arctgx c arccot x c
x
代入， 得C 1， 故所求的曲线方程为y ln x 1
§4.1.2 不定积分的性质
一、不定积分的性质 二、基本积分公式
P101 一、 不定积分的性质
由不定积分的定义，可知
性质4.1：
f ( x)dx
f (x)
，或
d f (x)dx f (x)dx
性质4.2：
F( x)dx F(x) C ，或 dF(x) F(x) C