i
xi
3) 求和.
A=
å
n
D Ai- 1
i= 1
籇å f (xi ) xi
i= 1
n
4) 取极限. 令
则曲边梯形面积
A = lim å D Ai
l®0 i= 1
n
y
=
limå
l ®0
n
f (x i )D x i
i= 1
o a x1
xi 1 xi
i
1. 曲边梯形的面积
f (i) y y=f (x)
2.函数的可积性 定理1:如果函数f(x)在区间[a, b]上连续, 则函数f(x) 在区间 [a, b]上可积. 定理2:如果函数f(x)在区间[a, b]上有界, 且只有有限 个间断点, 则函数f(x)在区间[a, b]上可积.
3.定积分的几何意义:
曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
y
A1 a
A3
xi
将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
在第i 个窄曲边梯形上任取 i [ xi 1 , xi ] y 作以 [ xi 1 , xi ] 为底 , f ( i ) 为高的小矩形, 并以此小
梯形面积近似代替相应
窄曲边梯形面积
D Ai 籇 f (xi ) xi
得
o a x1
xi- 1
(D xi = xi - xi- 1 )
3 积零为整
S f ( i )x i
i 1
.
n
分法越细，越接近精确值
o
a
x i i x i 1
x
.
4 取极限
令分法无限变细
b
.
.
1. 曲边梯形的面积
f (i) y y=f (x)
元素法
1 化整为零
2 以直代曲 (以常代变) S i f ( i )xi
S
x
.
3 积零为整
p
0 sin x 1,
3
1 1 1 , 3 4 3 sin x 3
0

1 1 1 dx dx dx, 3 0 3 sin x 0 3 4
1 dx . 3 4 0 3 sin x 3
例4 估计积分
ò
sin x 解 f ( x) , x [ , ] 4 2 x x cos x sin x cos x( x tan x ) f ( x ) 0, 2 2 x x , f ( x ) 在[ , ]上单调下降
元素法
1 化整为零
2 以直代曲 (以常代变) S i f ( i )xi
3 积零为整
S f ( i )x i
i 1
.
n
分法越细，越接近精确值
o
a x1 x2
x i i x i 1
xn1 b
x
.
.
1. 曲边梯形的面积
f (i) y y=f (x)
元素法
1 化整为零
2 以直代曲 (以常代变) S i f ( i )xi
3. 积分中值定理
连续函数在区间上的平均值公式
二、定积分的定义
1. 定积分的定义 设函数f(x)在区间[a, b]上有界. 在区间[a, b]内插入n-1 个分点: ax0<x1<x2< <xn1<xnb; 记xi=xi-xi1 (i1, , n),
max{x1, x2,,xn}; 在小区间[xi1, xi]上任取一点i
b b b

b
a
f ( x)dx | a | f (x) | dx (ab)
b
a
b
f (x)dx a g(x)dx (a b)


即
| a f ( x)dx | a | f (x) | dx |
b
b
性质6 设M及m分别是函数f(x)在区间[a b]上的最大值及 最小值 则 b m(b a) a f (x)dx M (b a) (a b) 性质7 (定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间[a b]上连 续则在积分区间[a b]上至少存在一个点 ,使下式成立 f ( x)dx f ( )(b a) ——积分中值公式 a 这是因为, 由性质6变形得
b
1 b f ( x)dx M m a ba
由介值定理, 至少存在一点[a, b], 使 1 b f (x)dx f ( ) 两端乘以ba即得积分中值公式.
b a a
注: • 积分中值定理对
b
• 可把
a
f ( x ) dx
ba
f ( )
因

b a
f ( x ) dx ba

a
性质11 性质

b
a
[ f (x) ± (x)]dx g

b
a
f ( x)dx ±a g ( x)dx

b
性质22 性质
性质3 性质 3

b
b
a
kf (x)dx k a f (x)dx

b
f (x)dx a

f (x)dx a
c
c
b
f (x)dx
注：值得注意的是不论a b c的相 对位置如何上式总成立
(1 dx 1 1 1 (1xx)dx1 111 1 (1x))dx1 11 1 00 0 22 2 22 2
111
三、定积分的性质
两点规定
(1) 当 a b 时
(2) 当 a b 时
a
b
f ( x )dx 0

b
a
f ( x)dx b f ( x)dx
1 )(2 1 1 2 2 dx lim xxxdx lim fff(ii)xx lim 1 (1 1 )(2 1 )) 11 dx lim (i)) iii lim 1 ( 000 n n n 33 i0 i1 1 00 n 6 n n 3 i 1 n
S f ( i )x i
i 1
.
n
分法越细，越接近精确值
4 取极限
令分法无限变细
o
a
x i i x i 1
b
S = lim å f (xi )D xi . l ®0
i= 1
n
.
.
2.变速直线运动的路程
已知物体直线运动的速度v=v(t)是时间 t 的连续函数, 且v(t)>0, 计算物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程S. (1)分割: T1=t0<t1<t2< *** <tn-1<tn=T2, tititi+1; (2)近似: 物体在时间段[t , t ]内所经过的路程近似为

b a n i 1 lim
1
n
ba 1 n f ( i ) × lim f ( i) n n n i 1
故它是有限个数的平均值概念的推广.
1 dx 的值 例3 估计积分 ò0 3 3 + sin x 1 解 f ( x) , x [0, ], 3 3 sin x
11 1 2
nn n
例2 用定积分的几何意义求 1(1 x)dx 1 11 1 0 2 2 解 函数 y1x在区间[0, 1]上的定积分是以y=1-x为 曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形的面积. 因为以y=1-x为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形是 一个直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以
A5
A2
b
A4
b x
ò
a
f ( x)d x = A1 - A2 + A3 - A4 + A5
各部分面积的代数和
例1. 利用定义计算定积分
解 把区间[0, 1]分成n等份, 分点为和小区间长度为
i 1 xi xii (i1 2 2 n1) xi x1 (i1 2 2 n) (i1 n1) n (i1 n) i n n n i 取 i (i 1,2, n) ,作积分和 n nn n nn n nn n n n n 11 11 2 11 22 2 2 xx f f()ixii iixiii ((i i)))22111(11 1 )(2 1 )) ff((ii)) xx i i ix ((ii 22 1 1(( 1)(2 1) ( ) ix ) 1 (1 )()(2 ) 1 i i n nn n n 6 n n n 6 nn i i1 i1 1 i i1 i1 1 i i1 nn nn 66 i1 1 n i 1 i 1 i 1 n 1 因为 当0 时 n 所以 n
2.变速直线运动的路程
S = lim å D xi f (xi )
l ®0 i= 1
n
上述两个问题的共性:
• 解决问题的方法步骤相同 : “分割 , 近似 , 求和 , 取极限 ”
• 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限 许多问题的解决都可以化为上述特定和式的问题， 将其一般化，就得到定积分的概念.
ò
b
a
f ( x) d x =
ò
b
f (t ) dt =
a
ò
b
f (u ) d u
a
二、定积分的定义
1.定积分的定义 b

f (x)dx lim f (i)xi a
0 i1
T2
1
n
根据定积分的定义 曲边梯形的面积为 A a f ( x)dx
b
变i1, 2,, n), 作和 f (i )xi 如果当0时, 上述和式的 极限存在, 且极限值与区间[a, b]的分法和i的取法无关, 则称此极限为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分, 记为