指数函数和对数函数重点、难点：重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。

难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数y a y xxa ==，l o g 在a >1及01<<a 两种不同情况。

1、指数函数：定义：函数()y aa a x=>≠01且叫指数函数。

定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。

为什么要求函数y ax=中的a 必须a a >≠01且。

因为若a <0时，()y x=-4，当x =14时，函数值不存在。

a =0，y x=0，当x ≤0，函数值不存在。

a =1时，y x=1对一切x 虽有意义，函数值恒为1，但y x =1的反函数不存在， 因为要求函数y a x=中的a a >≠01且。

1、对三个指数函数y y y x xx==⎛⎝ ⎫⎭⎪=21210，，的图象的认识。

图象特征函数性质（1）图象都位于x 轴上方； （1）x 取任何实数值时，都有a x>0； （2）图象都经过点（0，1）；（2）无论a 取任何正数，x =0时，y =1；（3）yy x x==210，在第一象限内的纵坐标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，y x=⎛⎝ ⎫⎭⎪12的图象正好相反；（3）当a >1时，x a x a x x>><<⎧⎨⎪⎩⎪0101，则，则 当01<<a 时，x a x a x x><<>⎧⎨⎪⎩⎪0101，则，则（4）y y x x==210，的图象自左到右逐渐（4）当a >1时，y a x=是增函数， 当01<<a 时，y a x=是减函数。

上升，y x=⎛⎝ ⎫⎭⎪12的图象逐渐下降。

对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）：①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y x=2和y x=10相交于()01，，当x >0时，y x=10的图象在y x=2的图象的上方，当x <0，刚好相反，故有10222>及10222--<。

②y x=2与y x=⎛⎝ ⎫⎭⎪12的图象关于y 轴对称。

③通过y x =2，y x =10，y x=⎛⎝ ⎫⎭⎪12三个函数图象，可以画出任意一个函数y a x=（a a >≠01且）的示意图，如y x=3的图象，一定位于y x=2和y x=10两个图象的中间，且过点()01，，从而y x=⎛⎝ ⎫⎭⎪13也由关于y 轴的对称性，可得y x=⎛⎝ ⎫⎭⎪13的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。

2、对数：定义：如果a N a a b=>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b Na =l o g （a 是底数，N 是真数，lo g a N 是对数式。

） 由于N a b=>0故lo g a N 中N 必须大于0。

当N 为零的负数时对数不存在。

（1）对数式与指数式的互化。

由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如：求log .032524⎛⎝⎫⎭⎪分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成log .032524⎛⎝⎫⎭⎪=x ，再改写为指数式就比较好办。

解：设log .032524⎛⎝⎫⎭⎪=x则即∴即032524825825125241212032.log .x xx =⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=--评述：由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题，因此必须因题而异。

如求35x=中的x ，化为对数式x =log 35即成。

（2）对数恒等式：由a N b N ba ==()l o g ()12 将（2）代入（1）得aNa Nl o g = 运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。

计算：()3132-log解：原式==⎛⎝ ⎫⎭⎪-=313122221313l o g l o g 。

（3）对数的性质：①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1。

（4）对数的运算法则：①()()l o g l o g l o g a a aM N M N M N R =+∈+， ②()l o g l o g l o g a a aMNM N M N R =-∈+， ③()()l o g l o g a naNn N N R =∈+④()l o g l o g a naN nNNR =∈+1 3、对数函数：定义：指数函数y a a a x=>≠()01且的反函数y x a =l o g x∈+∞(,)0叫做对数函数。

1、对三个对数函数y x y x==l o g l o g 212，， y x =lg 的图象的认识。

图象特征与函数性质：图象特征函数性质（1）图象都位于 y 轴右侧； （1）定义域：R +，值或：R ；（2）图象都过点（1，0）；（2）x =1时，y =0。

即l o g a 10=； （3）y x=l o g 2，y x =lg 当x >1时，图象在x 轴上方，当00<<x 时，图象在x 轴下方，y x =log 12与上述情况刚好相反； （3）当a >1时，若x >1，则y >0，若01<<x ，则y <0； 当01<<a 时，若x >0，则y <0，若01<<x 时，则y >0； （4）y x y x ==l o g l g 2，从左向右图象是上升，而y x =log 12从左向右图象是下降。

（4）a >1时，y x a =l o g 是增函数； 01<<a 时，y xa =l o g 是减函数。

对图象的进一步的认识（通过三个函数图象的相互关系的比较）：（1）所有对数函数的图象都过点（1,0），但是y x=l o g 2与y x =lg 在点（1,0）曲线是交叉的，即当x >0时，y x =l o g 2的图象在y x =lg 的图象上方；而01<<x 时，y x =l o g 2的图象在y x =lg 的图象的下方，故有：l o g.l g .21515>；l o g .l g .20101<。

（2）y x=l o g 2的图象与y x =log 12的图象关于x 轴对称。

（3）通过y x=l o g 2，y x =lg ，y x =log 12三个函数图象，可以作出任意一个对数函数的示意图，如作y x =l o g 3的图象，它一定位于y x =l o g 2和y x =lg 两个图象的中间，且过点（1,0），x >0时，在y x =lg 的上方，而位于y x=l o g 2的下方，01<<x 时，刚好相反，则对称性，可知y x =log 13的示意图。

因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。

4、对数换底公式：l o g l o g l o g l o g (.)l o g ba a n e g N N bLN Ne N LN N====其中…称为的自然对数称为常数对数27182810 由换底公式可得：L N N e NN n===l g l g l g ..l g 043432303 由换底公式推出一些常用的结论：（1）l o g l o g l o g l o g a ba bb a b a ==11或· （2）log log a ma n bmnb =（3）l o g l o g ana nb b =（4）lo g a mn a m n=5、指数方程与对数方程*定义：在指数里含有未知数的方程称指数方程。

在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。

由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算，故指数方程对数方程不是代数方程而属于超越方程。

名称 题型 解法基本型 同底数型 不同底数型 需代换型()a bf x = a a f x x ()()=ϕ ()()a bf x x =ϕ ()F a x =0取以a 为底的对数()f x b a =l o g 取以a 为底的对数()()f x x =ϕ 取同底的对数化为()()fx a x b ··l g l g =ϕ换元令t a x=转化为t 的代数方程对数方程的题型与解法：名称 题型 解法基本题 ()l o g a f x b = 对数式转化为指数式()f x a b=同底数型 ()()l o g l o g a afx x =ϕ 转化为()()f x x =ϕ（必须验根）需代换型 F a x (log )=0换元令t xa =l o g 转化为代数方程。