2017-2018学年陕西省汉中市城固一中高二（上）期中数学试卷一、选择题.（本大题共12道小题，每题5分，共计60分）1．（5分）若不等式（x﹣2a）（x+1）（x﹣3）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，4），则a的值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．22．（5分）已知﹣9，a1，a2，﹣1四个实数成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1五个实数成等比数列，则b 2（a2﹣a1）=（）A．8 B．﹣8 C．±8 D．3．（5分）在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：5：7，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形4．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则等于（）A．B．C．D．5．（5分）《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则塔从上至下的第三层有（）盏灯．A．14 B．12 C．8 D．106．（5分）已知△ABC中，∠A=30°，AB，BC分别是，的等差中项与等比中项，则△ABC的面积等于（）A．B．C．或D．或7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．B．C．D．8．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）为增函数，且f（5）=0，则不等式的解集为（）A．（﹣5，0）∪（5，+∞） B．（﹣∞，5）∪（0，5）C．（﹣∞，5）∪（5，+∞）D．（﹣5，0）∪（0，5）9．（5分）设变量x，y满足约束条件则z=|x﹣3y|的取值范围为（）A．[2，8]B．[0，8]C．[4，8]D．[0，4]10．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，若，a+c=4，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．11．（5分）已知实数x，y满足约束条件，若z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1•a n=2n（n∈N*），则S2015=（）A．22015﹣1 B．21009﹣3 C．3×21007﹣3 D．21008﹣3二、填空题.（本大题共4道小题，每道小题5分，共计20分）13．（5分）已知数列{a n}是递增数列，且a n=n2+λn，则实数λ的范围是．14．（5分）函数y=的定义域为R，则k＞3的概率是．15．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN=m．16．（5分）已知各项都是正数的等比数列{a n}中，存在两项使得且a 7=a6+2a5，则的最小值是．三、解答题.（本题共6道大题，17题10分，其余各题12分，共计70分，须写出必要的解题过程）17．（10分）已知不等式mx2+nx﹣＜0的解集为．（1）求m，n的值；（2）解关于x的不等式：（2a﹣1﹣x）（x+m）＞0，其中a是实数．18．（12分）已知在△ABC中，b（sinB+sinC）=（a﹣c）（sinA+sinC）（其中角A，B，C所对的边分别为a，b，c）．（1）求角A的大小；（2）若a=，求b+c的取值范围．19．（12分）已知数列{a n}满足a1=3，a3=9，数列b n=log2（a n﹣1）且{b n}是等差数列（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；）（m∈N*）中的项的个数记为c m，求数列{c n}（2）若数列{b n}中位于（a m，a m+1的前n项和．20．（12分）已知向量=（cosx，﹣1），=（sinx，﹣），设函数f（x）=（+）•．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）已知a，b，c分别为三角形ABC的内角对应的三边长，A为锐角，a=1，c=，且f（A）恰是函数f（x）在[0，]上的最大值，求A，b和三角形ABC的面积．21．（12分）已知实数x，y满足．（Ⅰ）求s=x﹣y的最大值；（Ⅱ）求z=x2+y2的最大值和最小值；（Ⅲ）求t=的最大值和最小值．22．（12分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n，满足4S n=a﹣4n﹣1，且a1=1，公比大于1的等比数列{b n}满足b2=3，b1+b3=10．（1）求证数列{a n}是等差数列，并求其通项公式；（2）若c n=，求数列{b n}的前n项和T n；（3）在（2）的条件下，若c n≤t2对一切正整数n恒成立，求实数t的取值．2017-2018学年陕西省汉中市城固一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题.（本大题共12道小题，每题5分，共计60分）1．（5分）若不等式（x﹣2a）（x+1）（x﹣3）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，4），则a的值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2【解答】解：不等式（x﹣2a）（x+1）（x﹣3）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，4），可得﹣1，3，4为方程（x﹣2a）（x+1）（x﹣3）=0的根，即有2a=4，解得a=2．故选：D．2．（5分）已知﹣9，a1，a2，﹣1四个实数成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1五个实数成等比数列，则b2（a2﹣a1）=（）A．8 B．﹣8 C．±8 D．【解答】解：由题得，又因为b2是等比数列中的第三项，所以与第一项同号，即b2=﹣3∴b2（a2﹣a1）=﹣8．故选：B．3．（5分）在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：5：7，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【解答】解：由正弦定理可知，a：b：c=3：5：7，设a=3t，b=5t．c=7t，所以c2=a2+b2﹣2abcosC，所以cosC═﹣，所以C为钝角；故选：C．4．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则等于（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵，∴3（3a1+）=6a1+d，化为：a1=2d≠0．则====．故选：A．5．（5分）《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则塔从上至下的第三层有（）盏灯．A．14 B．12 C．8 D．10【解答】解：设第一层有a盏灯，则由题意知第一层至第七层的灯的盏数构成一个以a1为首项，以为公比的等比数列，∴=381，解得a1=192，∴a5=a1×（）4=192×=12，故选：B．6．（5分）已知△ABC中，∠A=30°，AB，BC分别是，的等差中项与等比中项，则△ABC的面积等于（）A．B．C．或D．或【解答】解：∵AB，BC分别是，的等差中项与等比中项，∴AB=，BC=1，又A=30°，根据正弦定理=得：sinC=，∵C为三角形的内角，∴C=60°或120°，当C=60°时，由A=30°，得到B=90°，即三角形为直角三角形，则△ABC的面积为××1=；当C=120°时，由A=30°，得到B=30°，即三角形为等腰三角形，过C作出AB边上的高CD，交AB于点D，在Rt△ACD中，AC=BC=1，A=30°，∴CD=，则△ABC的面积为××=，综上，△ABC的面积为或．故选：C．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知，该程序的作用是求解S=++…+的值，而S=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=故选：A．8．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）为增函数，且f（5）=0，则不等式的解集为（）A．（﹣5，0）∪（5，+∞） B．（﹣∞，5）∪（0，5）C．（﹣∞，5）∪（5，+∞）D．（﹣5，0）∪（0，5）【解答】解：奇函数f（x）在（0，+∞）为增函数，且f（5）=0，可得f（﹣x）=﹣f（x），且f（﹣5）=0，f（x）在（﹣∞，0）为增函数，则不等式，即为＜0，可得x＞0，f（x）＜0=f（5），解得0＜x＜5；或x＜0，f（x）＞0=f（﹣5），解得﹣5＜x＜0．综上可得所求解集为（﹣5，0）∪（0，5）．故选：D．9．（5分）设变量x，y满足约束条件则z=|x﹣3y|的取值范围为（）A．[2，8]B．[0，8]C．[4，8]D．[0，4]【解答】解：由约束条件作差可行域如图，令t=x﹣3y，化为直线方程的斜截式得y=，联立，解得：A（﹣2，2），联立，解得：B（﹣2，﹣2），由图可知，当直线y=过B时，直线在y轴上的截距最小，t有最大值为﹣2﹣3×（﹣2）=4；当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大，t有最小值为﹣2﹣3×2=﹣8．∴z=|x﹣3y|的取值范围是[0，8]．故选：B．10．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，若，a+c=4，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：△ABC中，，∴=﹣，∴2sinAcosB+sinCcosB=﹣sinBcosC，∴2sinAcosB=﹣（sinBcosC+cosBsinC）=﹣sin（B+C）=﹣sinA，解得cosB=﹣；又B∈（0，π），∴B=，由，a+c=4，∴b2=a2+c2﹣2accos=a2+c2+ac=（a+c）2﹣ac，即13=42﹣ac，解得ac=3；∴△ABC的面积为：S△ABC=acsinB=×3×=．故选：C．11．（5分）已知实数x，y满足约束条件，若z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：作出约束条件，表示的平面区域，得到如图的四边形OABC及其内部，其中A（，0），B（4，1），C（0，），O为坐标原点设z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），将直线l：z=ax+by进行平移，观察y轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z=F（4，1）=12，即4a+b=12．最大值因此，=（）×（4a+b）=+（），∵a＞0，b＞0，可得≥2=1，∴当且仅当即2a=3b，4a+b=12时，的最小值为：，故选：B．12．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1•a n=2n（n∈N*），则S2015=（）A．22015﹣1 B．21009﹣3 C．3×21007﹣3 D．21008﹣3【解答】解：∵a1=1，a n+1•a n=2n，∴a2=2，∴当n≥2时，a n•a n﹣1=2n﹣1，∴==2，∴数列{a n}中奇数项、偶数项分别成等比数列，∴S2015=+=21009﹣3，故选：B．二、填空题.（本大题共4道小题，每道小题5分，共计20分）13．（5分）已知数列{a n}是递增数列，且a n=n2+λn，则实数λ的范围是λ＞﹣3．﹣a n=（n+1）2+λ（n+1）﹣n2﹣λn=2n+1+λ，【解答】解：a n+1∵数列{a n}是单调递增的，∴a n﹣a n=2n+1+λ＞0恒成立．+1只要2n+1+λ的最小值大于0即可，∴3+λ＞0．∴λ＞﹣3．故答案为：λ＞﹣314．（5分）函数y=的定义域为R，则k＞3的概率是．【解答】解：∵函数y=的定义域为R，∴对于任意x∈R不等式kx2+kx+1＞0恒成立，当k=0时，符合题意；当k≠0时，需，解得0＜k＜4．∴k的取值范围为[0，4）．则k＞3的概率是．故答案为：．15．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN=150m．【解答】解：△ABC中，∵∠BAC=45°，∠ABC=90°，BC=100，∴AC==100．△AMC中，∵∠MAC=75°，∠MCA=60°，∴∠AMC=45°，由正弦定理可得，解得AM=100．Rt△AMN中，MN=AM•sin∠MAN=100×sin60°=150（m），故答案为：150．16．（5分）已知各项都是正数的等比数列{a n}中，存在两项使得且a 7=a6+2a5，则的最小值是．【解答】解：∵正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，∴a1q6=a1q5+2a1q4．即：q2﹣q﹣2=0，解得：q=2，q=﹣1，又∵是正项等比数列，∴q=2．∵存存在两项使得，∴a1×=4a1，∴m+n=6则=（m+n）（）=（5++）≥（5+2）=，当且仅当时取等号，∴的最小值是．故答案为：．三、解答题.（本题共6道大题，17题10分，其余各题12分，共计70分，须写出必要的解题过程）17．（10分）已知不等式mx2+nx﹣＜0的解集为．（1）求m，n的值；（2）解关于x的不等式：（2a﹣1﹣x）（x+m）＞0，其中a是实数．【解答】解：（1）依题意，不等式对应的方程mx2+nx﹣=0的实数根为﹣和2，且m＜0；由根与系数的关系得，解得m=﹣1，n=；（2）原不等式为（2a﹣1﹣x）（x﹣1）＞0，即[x﹣（2a﹣1）]（x﹣1）＜0；①当2a﹣1＜1，即a＜1时，原不等式的解集为{x|2a﹣1＜x＜1}；②当2a﹣1=1，即a=1时，原不等式的解集为∅．③当2a﹣1＞1，即a＞1时，原不等式的解集为{x|1＜x＜2a﹣1}．18．（12分）已知在△ABC中，b（sinB+sinC）=（a﹣c）（sinA+sinC）（其中角A，B，C所对的边分别为a，b，c）．（1）求角A的大小；（2）若a=，求b+c的取值范围．【解答】解：（1）已知：在△ABC中，b（sinB+sinC）=（a﹣c）（sinA+sinC），则：由正弦定理得b（b﹣c）=（a+c）（a﹣c），则：a2=b2+c2+bc，由于：a2=b2+c2﹣2bccosA，所以：，由于：0＜A＜π，则：A=．（2）∵，所以：，且，正弦定理可知，2R=，所以：b+c=2RsinB+2RsinC=sinB+sinC，=，=，由于：，则：，所以：b+c=．19．（12分）已知数列{a n}满足a1=3，a3=9，数列b n=log2（a n﹣1）且{b n}是等差数列（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}中位于（a m，a m）（m∈N*）中的项的个数记为c m，求数列{c n}+1的前n项和．【解答】解：（1）由题意a1=3，a3=9，可知b1=log2（a1﹣1）=1；b3=log2（a3﹣1）=3，d=1，∵{b n}是等差数列，，∴；（2）由题意可知2m+1＜n＜2m+1+1，，，=2n+1﹣n﹣2（n∈N*）．20．（12分）已知向量=（cosx，﹣1），=（sinx，﹣），设函数f（x）=（+）•．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）已知a，b，c分别为三角形ABC的内角对应的三边长，A为锐角，a=1，c=，且f（A）恰是函数f（x）在[0，]上的最大值，求A，b和三角形ABC的面积．【解答】解：（1）由题意可得f（x）=（+）•==cos2x+1+sinxcosx+=+1+sin2x+=cos2x+sin2x+2=sin（2x+）+2，∴函数f（x）的最小正周期T==π；（2）由（1）知f（x）=sin（2x+）+2，又f（A）恰是函数f（x）在[0，]上的最大值，A为锐角，可得A=，由余弦定理可得12=b2+3﹣2b××，解得b=1或b=2当b=1时，三角形ABC的面积S=bcsinA=，当b=2时，三角形ABC的面积S=bcsinA=．21．（12分）已知实数x，y满足．（Ⅰ）求s=x﹣y的最大值；（Ⅱ）求z=x2+y2的最大值和最小值；（Ⅲ）求t=的最大值和最小值．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：C（2，3），易得：A（1，0），B（2，0），（Ⅰ）平移直线s=x﹣y，当直线经过A时，直线的截距最小，此时s取得最大值：1；（Ⅱ）z=x2+y2的最大值为OC2=13，最小值为原点到直线AB的距离的平方，而距离d=，∴d2=；（Ⅲ）t=的几何意义表示过平面区域内的点和（﹣1，﹣1）的直线的斜率，∴直线过B（0，2）时，t最大，t=3，最大值直线过A（1，0）时，t最小，t的最小值是．22．（12分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n，满足4S n=a﹣4n﹣1，且a1=1，公比大于1的等比数列{b n}满足b2=3，b1+b3=10．（1）求证数列{a n}是等差数列，并求其通项公式；（2）若c n=，求数列{b n}的前n项和T n；（3）在（2）的条件下，若c n≤t2对一切正整数n恒成立，求实数t的取值．【解答】（1）证明：（1）当n≥2时，，=，=，所以a n＞0，=a n+2．解得：a n+1因为当n≥2时，{a n}是公差d=2的等差数列，a1=1，a2﹣a1=3﹣1=2，则{a n}是首项a1=1，公差d=2的等差数列，所以数列的通项公式为a n=2n﹣1．（2）由题意得，；则前n项和+…+①；+…+②，则①﹣②得：=+…+]﹣；解得：（3）对一切正整数n恒成立，﹣c n=﹣=≤0，由c n+1可得数列{c n}单调递减，即有最大值为，则解得t≥1或．即实数t的取值范围为．。