2019-2020学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分每小题只有一个选项是符合题意的）1．下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．x+2y＝1 B．ax2+bx+c＝0 C．3x+＝4 D．x2﹣2＝02．下列命题中，真命题是（）A．四边相等的四边形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．正方形的两条对角线相等，但不互相垂直平分D．矩形、菱形、正方形都具有“对角线相等”的性质3．一个袋子中只装有黑、白两种颜色的球，这些球的形状、质地等完全相同，其中白色球有2个，黑色球有n个．在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀．同学们进行了大量重复试验，发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值为（）A．2 B．3 C．4 D．54．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（）A．3.5 B．4 C．7 D．145．如果两个相似三角形对应边之比是1：3，那么它们的对应中线之比是（）A．1：3 B．1：4 C．1：6 D．1：96．已知关于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1＝0，下列说法正确的是（）A．当k＝0时，方程无解B．当k＝1时，方程有一个实数解C．当k＝﹣1时，方程有两个相等的实数解D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解7．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（）A．（2，0）B．（1，1）C．（，）D．（2，2）8．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（）A．1000（1+x）2＝1000+440 B．1000（1+x）2＝440C．440（1+x）2＝1000 D．1000（1+2x）＝1000+4409．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，CH⊥AF于点H，那么CH的长是（）A．B．C．D．10．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，若点G是AE中点且∠AOG＝30°，则下列结论正确的个数为（）（1）△OGE是等边三角形；（2）DC＝3OG；（3）OG＝BC；（4）S△AOE＝S矩形ABCDA．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11．线段AB长为10cm，点C是AB的黄金分割点，则AC的长为（结果精确到0.1cm）．12．在数学活动课上，小派运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出100粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出100粒豆子，发现其中8粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为粒．13．如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上．同一时刻，小明竖起1米高的直杆MN，量得其影长MF为0.5米，量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米，则电线杆AB的高为米．14．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点E、F分别在边AB、AD上且AE＝DF，则△AEF面积的最大值为．三、解答题（共11小题，计78分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．解方程：3（x﹣5）2＝2（5﹣x）16．先化简：（+）÷，再从2，﹣2，1，0，﹣1中选择一个合适的数进行计算．17．已知：△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，用尺规在AC上找一点D，使得到的△BCD与△ABC相似．（保留作图痕迹，不写作法）18．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．19．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝1米，EF＝0.5米，测点D到地面的距离DG＝3米，到旗杆的水平距离DC＝40米，求旗杆的高度．20．端午节放假期间，小明和小华准备到宜宾的蜀南竹海（记为A）、兴文石海（记为B）、夕佳山民居（记为C）、李庄古镇（记为D）的一个景点去游玩，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同．（1）小明选择去蜀南竹海旅游的概率为．（2）用树状图或列表的方法求小明和小华都选择去兴文石海旅游的概率．21．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE交于点E．求证：四边形OCED是正方形．22．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，那么每件衬衫应降价多少元？23．太原双塔寺又名永祚寺，是国家级文物保护单位，由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量舍利塔的高度，在地面上的C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆CD向后平移到点C处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，GC＝53米．请你根据以上数据，计算舍利塔的高度AB．24．如图，在△ABC中．AB＝AC，AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，F是AB中点，连EF交AD 于点G．（1）求证：AD2＝AB•AE；（2）若AB＝3，AE＝2，求的值．25．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），BC＝AC（1）求过点A，B的直线的函数表达式；（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．x+2y＝1 B．ax2+bx+c＝0 C．3x+＝4 D．x2﹣2＝0【分析】首先判断是否是整式方程，如果是整式方程，化简后只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，这样的方程就是一元二次方程．【解答】解：A、含有2个未知数，故错误；B、当a＝0时不是一元二次方程，故错误；C、为分式方程，故错误；D、只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是一元二次方程，正确；故选：D．2．下列命题中，真命题是（）A．四边相等的四边形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．正方形的两条对角线相等，但不互相垂直平分D．矩形、菱形、正方形都具有“对角线相等”的性质【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、可判断为菱形，故本选项错误，B、对角线相等的菱形是正方形，故本选项正确，C、正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，故本选项错误，D、菱形的对角线不一定相等，故本选项错误，故选：B．3．一个袋子中只装有黑、白两种颜色的球，这些球的形状、质地等完全相同，其中白色球有2个，黑色球有n个．在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀．同学们进行了大量重复试验，发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据白球的频率稳定在0.4附近得到白球的概率约为0.4，根据白球个数确定出总个数，进而确定出黑球个数．【解答】解：根据题意得：＝0.4，解得：n＝3，则n的值为3，故选：B．4．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（）A．3.5 B．4 C．7 D．14【分析】根据菱形的四条边都相等求出AB，菱形的对角线互相平分可得OB＝OD，然后判断出OH是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OH＝AB．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB＝28÷4＝7，OB＝OD，∵H为AD边中点，∴OH是△ABD的中位线，∴OH＝AB＝×7＝3.5．故选：A．5．如果两个相似三角形对应边之比是1：3，那么它们的对应中线之比是（）A．1：3 B．1：4 C．1：6 D．1：9【分析】利用相似三角形的相似比，对应高、中线、角平分线的比，都等于相似比来解答．【解答】解：∵两个相似三角形对应边之比是1：3，又∵相似三角形的对应高、中线、角平分线的比等于相似比，∴它们的对应中线之比为1：3．故选：A．6．已知关于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1＝0，下列说法正确的是（）A．当k＝0时，方程无解B．当k＝1时，方程有一个实数解C．当k＝﹣1时，方程有两个相等的实数解D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解【分析】利用k的值，分别代入求出方程的根的情况即可．【解答】解：关于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1＝0，A、当k＝0时，x﹣1＝0，则x＝1，故此选项错误；B、当k＝1时，x2﹣1＝0方程有两个实数解，故此选项错误；C、当k＝﹣1时，﹣x2+2x﹣1＝0，则（x﹣1）2＝0，此时方程有两个相等的实数解，故此选项正确；D、由C得此选项错误．故选：C．7．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（）A．（2，0）B．（1，1）C．（，）D．（2，2）【分析】根据正方形的性质求出点B的坐标为（1，1），根据位似变换的性质解答．【解答】解：∵四边形OABC是正方形，点A的坐标为（1，0），∴点B的坐标为（1，1），∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，∴E点的坐标为（2，2），故选：D．8．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（）A．1000（1+x）2＝1000+440 B．1000（1+x）2＝440C．440（1+x）2＝1000 D．1000（1+2x）＝1000+440【分析】根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，1000（1+x）2＝1000+440，故选：A．9．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，CH⊥AF于点H，那么CH的长是（）A．B．C．D．【分析】AF交GC于点K．根据△ADK∽△FGK，求出KF的长，再根据△CHK∽△FGK，求出CH的长．【解答】解：∵CD＝BC＝1，∴GD＝3﹣1＝2，∵△ADK∽△FGK，∴，即，∴DK＝DG，∴DK＝2×＝，GK＝2×＝，∴KF＝，∵△CHK∽△FGK，∴，∴，∴CH＝．方法二：连接AC、CF，利用面积法：CH＝；故选：A．10．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，若点G是AE中点且∠AOG＝30°，则下列结论正确的个数为（）（1）△OGE是等边三角形；（2）DC＝3OG；（3）OG＝BC；（4）S△AOE＝S矩形ABCDA．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OG＝AG＝GE＝AE，再根据等边对等角可得∠OAG＝30°，根据直角三角形两锐角互余求出∠GOE＝60°，从而判断出△OGE是等边三角形，判断出（1）正确；设AE＝2a，根据等边三角形的性质表示出OE，利用勾股定理列式求出AO，从而得到AC，再求出BC，然后利用勾股定理列式求出AB＝3a，从而判断出（2）正确，（3）错误；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出（4）正确．【解答】解：∵EF⊥AC，点G是AE中点，∴OG＝AG＝GE＝AE，∵∠AOG＝30°，∴∠OAG＝∠AOG＝30°，∠GOE＝90°﹣∠AOG＝90°﹣30°＝60°，∴△OGE是等边三角形，故（1）正确；设AE＝2a，则OE＝OG＝a，由勾股定理得，AO＝＝＝a，∵O为AC中点，∴AC＝2AO＝2a，∴BC＝AC＝×2a＝a，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝3a，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3a，∴DC＝3OG，故（2）正确；∵OG＝a，BC＝a，∴BC≠BC，故（3）错误；∵S△AOE＝a•a＝a2，S ABCD＝3a•a＝3a2，∴S△AOE＝S ABCD，故（4）正确；综上所述，结论正确是（1）（2）（4），共3个．故选：C．二．填空题（共4小题）11．线段AB长为10cm，点C是AB的黄金分割点，则AC的长为 6.2cm或3.8cm（结果精确到0.1cm）．【分析】根据黄金分割的定义①当AC＞BC时，得到AC＝AB，把AB＝10cm代入计算即可．②当AC＜BC时，根据①中结果计算即可；【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，当AC＞BC时，∴AC＝AB，而AB＝10cm，∴AC＝×10＝（5﹣5）≈6.2cm．当AC＜BC时，AC＝10﹣6.2＝3.8cm故答案为6.2cm或3.8cm．．12．在数学活动课上，小派运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出100粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出100粒豆子，发现其中8粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为1250 粒．【分析】设瓶子中有豆子x粒，根据取出100粒刚好有记号的8粒列出算式，再进行计算即可．【解答】解：设瓶子中有豆子x粒豆子，根据题意得：＝，解得：x＝1250，答：估计瓶子中豆子的数量约为1250粒．故答案为：1250．13．如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上．同一时刻，小明竖起1米高的直杆MN，量得其影长MF为0.5米，量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米，则电线杆AB的高为8 米．【分析】作CG⊥AB于G，可得矩形BDCG，利用同一时刻物高与影长的比一定得到AG的长度，加上GB的长度即为电线杆AB的高度．【解答】解：过C点作CG⊥AB于点G，∴GC＝BD＝3米，GB＝CD＝2米．∵∠NMF＝∠AGC＝90°，NF∥AC，∴∠NFM＝∠ACG，∴△NMF∽△AGC，∴＝，∴AG＝＝＝6，∴AB＝AG+GB＝6+2＝8（米），答：电线杆子的高为8米．故答案为：8．14．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点E、F分别在边AB、AD上且AE＝DF，则△AEF面积的最大值为．【分析】过点E作EM⊥AD交DA的延长线于点M，设AE＝x，则DF＝x，AF＝2﹣x，求出EM，则△AEF面积的可表示出来，利用二次函数的性质即可求解．【解答】解：过点E作EM⊥AD交DA的延长线于点M，设AE＝x，则AE＝DF＝x，∵四边形ABCD是菱形，∠A＝120°，∴AB＝AD＝2，∠MAE＝60°，∴AF＝2﹣x，∴EM＝AE•sin60°＝x，∴S△AEF＝AF•EM＝（2﹣x）×x＝﹣（x﹣1）2+，∴△AEF面积的最大值为，故答案为：．三．解答题（共11小题）15．解方程：3（x﹣5）2＝2（5﹣x）【分析】平方内的式子乘以﹣1，平方后的值不变．∴（x﹣5）2＝（5﹣x）2，原式可化为3（5﹣x）2＝2（5﹣x），对方程进行移项，然后提取公因式（5﹣x），最后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．【解答】解：原方程可变形为：3（5﹣x）2＝2（5﹣x）3（5﹣x）2﹣2（5﹣x）＝0（5﹣x）[3（5﹣x）﹣2]＝0（5﹣x）（13﹣3x）＝0则x1＝5，x2＝．16．先化简：（+）÷，再从2，﹣2，1，0，﹣1中选择一个合适的数进行计算．【分析】先算括号里面的，再算除法，最后选出合适的x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式＝（﹣）÷＝÷＝•＝2x，∵x﹣2≠0、x≠0、x+2≠0，∴x≠2、x≠0、x≠﹣2，将x＝1代入，得原式＝2×1＝2．17．已知：△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，用尺规在AC上找一点D，使得到的△BCD与△ABC相似．（保留作图痕迹，不写作法）【分析】根据三角形相似的作图解答即可．【解答】解：如图，△BDC即为所求．18．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【分析】（1）将x＝1代入方程x2+ax+a﹣2＝0得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一根；（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．【解答】解：（1）将x＝1代入方程x2+ax+a﹣2＝0得，1+a+a﹣2＝0，解得，a＝；方程为x2+x﹣＝0，即2x2+x﹣3＝0，设另一根为x1，则1•x1＝﹣，x1＝﹣．（2）∵△＝a2﹣4（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝a2﹣4a+4+4＝（a﹣2）2+4＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．19．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝1米，EF＝0.5米，测点D到地面的距离DG＝3米，到旗杆的水平距离DC＝40米，求旗杆的高度．【分析】求出△ACD和△FED相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出AC，再求出BC＝DG，然后根据旗杆的高度AB＝AC+BC代入数据计算即可得解．【解答】解：∵∠ADC＝∠FDE，∠ACD＝∠FED＝90°，∴△ACD∽△FED，∴，即，解得AC＝20，∵AB⊥BG，DG⊥BG，DC⊥AB，∴∠ABG＝∠BGD＝∠DCB＝90°，∴四边形BGDC是矩形，∴BC＝DG＝3，∴AB＝AC+BC＝20+3＝23米．答：旗杆AB的高度是23米20．端午节放假期间，小明和小华准备到宜宾的蜀南竹海（记为A）、兴文石海（记为B）、夕佳山民居（记为C）、李庄古镇（记为D）的一个景点去游玩，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同．（1）小明选择去蜀南竹海旅游的概率为．（2）用树状图或列表的方法求小明和小华都选择去兴文石海旅游的概率．【分析】（1）利用概率公式直接计算即可；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明和小华都选择去兴文石海旅游的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）∵小明准备到宜宾的蜀南竹海（记为A）、兴文石海（记为B）、夕佳山民居（记为C）、李庄古镇（记为D）的一个景点去游玩，∴小明选择去蜀南竹海旅游的概率＝，故答案为：；（2）画树状图分析如下：两人选择的方案共有16种等可能的结果，其中选择同种方案有1种，所以小明和小华都选择去兴文石海旅游的概率＝．21．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE交于点E．求证：四边形OCED是正方形．【分析】根据正方形的判定和性质即可得到结论．【解答】证明：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∴OD＝OC，∠DOC＝90°，∴四边形CODE是正方形．22．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，那么每件衬衫应降价多少元？【分析】设每件衬衫应降价x元，那么就多卖出2x件，根据扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，每天在销售吉祥物上盈利1200元，可列方程求解．【解答】解：设每件衬衫应降价x元，由题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，即2x2﹣60x+400＝0，∴x2﹣30x+200＝0，∴（x﹣10）（x﹣20）＝0，解得：x＝10或x＝20为了减少库存，所以x＝20．故每件衬衫应应降价20元．23．太原双塔寺又名永祚寺，是国家级文物保护单位，由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量舍利塔的高度，在地面上的C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆CD向后平移到点C处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，GC＝53米．请你根据以上数据，计算舍利塔的高度AB．【分析】易知△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，可得＝，＝，因为DC＝HG，推出＝，列出方程求出CA＝106（米），由＝，可得＝，由此即可解决问题．【解答】解：∵△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，∴＝，＝，∵DC＝HG，∴＝，∴＝，∴CA＝106（米），∵＝，∴＝，∴AB＝55（米），答：舍利塔的高度AB为55米．24．如图，在△ABC中．AB＝AC，AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，F是AB中点，连EF交AD 于点G．（1）求证：AD2＝AB•AE；（2）若AB＝3，AE＝2，求的值．【分析】（1）只要证明△DAE∽△CAD，可得＝，推出AD2＝AC•AE即可解决问题；（2）利用直角三角形斜边中线定理求出DF，再根据DF∥AC，可得＝＝＝，由此即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，∴∠ADC＝∠AED＝90°，∵∠DAE＝∠DAC，∴△DAE∽△CAD，∴＝，∴AD2＝AC•AE，∵AC＝AB，∴AD2＝AB•AE．（2）解：如图，连接DF．∵AB＝3，∠ADB＝90°，BF＝AF，∴DF＝AB＝，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴DF∥AC，∴＝＝＝，∴＝．25．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），BC＝AC（1）求过点A，B的直线的函数表达式；（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．【分析】（1）先根据A（﹣3，1），C（1，0），求出AC进而得出BC＝3求出B点坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；（2）运用相似三角形的性质就可求出点D的坐标；（3）由于△APQ与△ADB已有一组公共角相等，只需分△APQ∽△ABD和△APQ∽△ADB 两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质建立关于m的方程，就可解决问题．【解答】解：（1）∵A（﹣3，0），C（1，0），∴AC＝4，∵BC＝AC，∴BC＝×4＝3，∴B（1，3），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴直线AB的解析式为y＝x+；（2）若△ADB与△ABC相似，过点B作BD⊥AB交x轴于D，∴∠ABD＝∠ACB＝90°，如图1，此时＝，即AB2＝AC•AD．∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴25＝4AD，∴AD＝，∴OD＝AD﹣AO＝﹣3＝，∴点D的坐标为（，0）．（3）∵AP＝DQ＝m，∴AQ＝AD﹣QD＝﹣m．Ⅰ、若△APQ∽△ABD，如图2，则有＝，∴AP•AD＝AB•AQ，∴m＝5（﹣m），解得m＝；Ⅱ、若△APQ∽△ADB，如图3，则有＝，∴AP•AB＝AD•AQ，∴5m＝（﹣m），解得：m＝，综上所述：符合要求的m的值为或．。