∑ ∑ T =
i
1 2
mi
vi2
=
i
1 2
mi
(riω
)2
∑ = 1 ω2 2
i
mi ri 2
=
1 2
JOω 2
11.2 质点和质点系的动能
(3) 平面运动刚体的动能
T
=
1 2
J Pω 2
因为JP＝JC + md 2
d
Cω
P
所以
T
=
1 2
(JC
+
md 2 )ω 2
=
1 2
JCω 2
+
1 2
m(d
⋅ω)2
z2
)
z1 O
x
mg M2 y z2
重力的功等于质点系的总重量与其重心高度差之乘积,重心 降低为正,重心升高为负。
重力的功仅与重心的始末位置有关，而与重心走过的 路径无关。
常见力的功
2) 弹力的功
弹性力的大小与其变
形量δ 成正比。设弹 A1
簧原长为l0 , 则弹力 δ
的功为
1
W12
=
1 2
k (δ12
T = 1 mv2 2
动能是标量，在国际单位制中动能的单位是焦耳(J)。
2. 质点系的动能
质点系内各质点动能的算术和称为质点系的动 能，即
T
=
∑
1 2
mi vi2
11.2 质点和质点系的动能
3、刚体的动能 (1) 平动刚体的动能
T
=
∑
1 2
mi vi2
=
1 2
v2
∑
mi
=
1 2
mv 2
(2) 定轴转动刚体的动能
11.3 力的功
2 变力在曲线运动中所作的功
质点M在变力F的作用下沿曲线运动，
δW
=
v F
⋅ drv
=
v F
⋅ vvdt
元功
力在全路程上作 的功等于元功之和
∫ W =
M2
v F
⋅
drv
M1
M
ds
dr M' θ
M2
F M1
11.3 力的功
δW
=
v F
⋅ drv
∫ W =
M
2
v F
⋅
drv
M1
在直角坐标系中
s
1、功的定义法计算。
功是力点乘作用点（受力点）的位移。
W = F × 2s = 2Fs
11.3 力的功
等效力系作功定理: 若作用于刚体上的两个力系等效，两个力 系对同一点所做的功相等。
将力系向一点简化（一般选择质心方便），得 到一力和一力偶。原力系的功等于一力一力偶 等效力系的功。
F
M
oR
F
s
W = Fs + Mϕ = 2sF
−
δ
2 2
)
F A0
δ
A dr
r r1
r0 r2
l0
A2 δ 2
O
弹性力作的功只与弹簧在初始和末了位置的变形 量有关，与力的作用点A的轨迹形状无关。
作功与路径无关的力成为保守力。
例11-2
弹簧原长 R，刚性系 数 k ，一端固定在点 O ，此点在半径为 R
的圆周上。如弹簧的 另一端由点 B 拉至点 A 和由点 A 拉至点 D ,OA 和 BD 为直径, 且 AC ⊥ BC 。分别计算 弹簧力所作的功。
F
θ
Mr
F
o
R
s
W = Fs cosθ + Mϕ = Fs( r + cosθ )
R
11.3 力的功
4 常见力的功 1) 重力的功
∫ W =
M2 M1
(Fxdx
+
Fydy
z
+
Fzdz)
M1 M
Fx = 0, Fy = 0, Fz = −mg
∫ W12 =
z2 z1
(−mg )dz
=
mg ( z1
−
T
=
1 2
mvC2
+
1 2
JCω 2
平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕 质心转动的动能的和。
例11-1 均质细杆长为l，质量为m，上端B靠在光滑 的墙上，下端A用铰与质量为M半径为R且放在粗 糙地面上的圆柱中心相连（纯滚动），在图示位置
圆柱中心速度为v，杆与水平线的夹角θ =45o，求
该瞬时系统的动能.
3、作用于刚体上力偶的功
力偶的元功:
O
θ
M
O
F'
L
θ dθ
dr F
δW = Fdr = FL dθ δW = M dθ δ W = M d θ = M ω dt
M = LF
(适用于刚体的任意运动)
11.3 力的功
问题: 如何求纯滚动圆盘轮心移动 S 距离时, 力 F 所作的功。
F oR
F
θ
r
o
R
s
uur r r ur r r r ur F = Fx i + Fy j + Fz k , dr = dxi + dy j + dzk
δW = Fxdx + Fydy + Fzdz
∫ W =
M2 M1
(Fxdx
+
Fydy
+
Fzdz)
上式称为直角坐标法表示的功的计算公式，也称为功 的解析表达式。
11.3 力的功
质点系由两个相同的小齿轮和两个相同的大齿轮构成， 每个齿轮视为均质圆盘，在力偶 M 作用下由静止开始运动。
问题: 1、系统的动量
如何变化？
M 2、对某一轴的
动量矩如何 变化？
第11章 动能定理
11.1 质点的动能定理
v F
=
mav
=
m
dvv
m
dvv
⋅
drv
=
v F
⋅
drv
mvv ⋅ dvv =dFtv ⋅ ห้องสมุดไป่ตู้rv
dt d(1 mv2 ) = δW
2
微分形式
质点动能的增量等于作用在质点上的力的元功。
积分形式
∫ v2 v1
d(
1mv2 2
)
=
W12
1 2
mv22
−
1 2
mv12
= W12
在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用于质 点的力作的功。
11.2 质点和质点系的动能
1. 质点的动能 设质点的质量为m，速度为v，则质点的动能为
B
C
v
θ
A
解: T = TA + TAB
TA
=
1 2
J
P1ω
2 A
J P1
=
JC
+
MR 2
=
3 2
MR 2
TA
=
1 2
× ⎜⎛ ⎝
3 2
MR 2
⎟⎞ω
⎠
2 A
=
3 4
Mv 2
v
P为AB杆的瞬心
P
B
θC
A
ω ΑΒ
=
v
l sin θ
JP
=
1 12
ml2
+
m⎜⎛ ⎝
l 2
⎟⎞2 ⎠
=
1 3
ml2
T AB
( ) ( ) ( ) WB→A
=
−
1 2
k
δ
2 2
− δ12
=
−
1 2
k
⎢⎣⎡(2R
−
R)2
−
2R −
R
2⎤ ⎥⎦
=
1−
2 kR2
( ) ( ) WA→D
=
−
1 2
k
δ
2 2
− δ12
=
2 −1 kR2
11.4 质点系动能定理
对每个质点应用动能定理，并相加
d
⎡⎢⎣∑(
1 2
mi vi2
)⎤⎥⎦
=
∑
δWi
dT = ∑ δWi
∑ ∑ dT = Fvi(e) ⋅ drvi + Fvi(i) ⋅ drvi
微分形式
内力作功 不一定为零
质点系动能的微分，等于作用在质点系上所有力所作的元 功之和。
11.4 质点系动能定理
对上式积分，得
=
1 2
J
Pω
2 AB
=
mv 2
6 sin 2 θ
= 1 mv 2 3
T = 1 (9M + 4m)v2
12
11.3力的功
1 常力在直线运动中所作的功
设物体在常力F作用下沿直线走过路程s，如图，则力
所作的功W定义为
W
=
v F
⋅ sv
=
Fs cosθ
F
θ
s
功是代数量。在国际单位制中，功的单位为：J (焦耳), 1J＝1 N·m。