个代数运算以定义个元素的集合上总共可、含有 n n 12n （ ） ）（群。

能作成对运算集合、由全体正整数作成的 a b a G 2b =3、循环群的子群仍是循环群。

（ ）4．正规子群的左陪集也一定是一个右陪集。

（ ）5．任何群G 都与其商群G/N 同态。

（ ） 13123321 61）（、=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- （ ） 也是循环群是循环群，则，若是两个群且与、设G G G ~G G G 78．整数环Z 的每个理想不一定是主理想。

（ ）9．设环R 有单位元且每个非零元素都有逆元，若 | R |＞1，则R 一定是体。

（ ）10．无零因子的交换环不一定是整环。

（ ）11．环R 中所含元素的个数叫环R 的特征。

（ ）2、什么是理想？3什么是体？ 的行列式。

是矩阵其中同态映射，且是满射，的一个到是：普通乘法，证明：，代数运算是数的；再令运算是方阵的普通乘法数阶方阵作成的集合，代上全体是数域分）令三、（A |A | M M |A |A F M n F M 15−→−ϕ=四、（15分）设G 是一个群，且H ≤G ，K ≤G ，证明：H 与K 的交集是G 的一个子群。

五、（15分）设N 是群G 的任一正规子群，证明：G ~ G/N6、（15分）写出三次对称群S 3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}关于子群H={（1），（23）}的所有左陪集和所有右陪集。

一、判断题。

！个双射变换个元素的任意集合共有、含有 n n 12．在模8剩余类环Z 8中{}6,4,2,0 2>=<是一个极大理想。

（ ）4．整数环Z 的每个理想都是主理想。

（ ）二、单项选择题（每小题2分，共10分）1、关于半群的说法不正确的是： （ ）（A ）半群是带有一个代数运算的代数系统；(B) 半群的乘法一定适合结合律；(C) 半群的乘法不一定适合交换律；（D) 半群中一定有单位元。

2、设G 是一个群，H 是G 的一个非空子集，则H ≤G 的充要条件是 （ ）（A ） H ab H b ,a ∈⇒∈ (B) H a H a 1∈⇒∈-(C)H ab H b ,a 1∈⇒∈- (D) H b a H b ,a ∈+⇒∈ 3、设R 是一个环，下面说法不正确的是 （ ）（A ）R 中若有零因子，则一定既有左零因子也有右零因子；(B) R 中若无零因子，则一定既无左零因子也无右零因子；(C) 一个环一定有零因子；(D) R 中若有左零因子也一定有右零因子。

4、设三次对称群S 3 ={（1），（12），（13），（23），（123），（132）}，H={ （1），（12）}，则H 的左陪集（13）H 是 （ ）（A ）{ （1），（12）} (B) {（13），（123）}(C) { （23），（123）} (D) { （13），（132）}5、 设σ=（1234），τ=（1243）则στ=（ ）（A ）（132） (B) (12)(34)（C ）（1234） （D ）（13）(24)三、填空题（每小题3分，共15分））（）））（（（），则（），（），（、设三次置换 11321211135531=ϕϕϕ=ϕ=ϕ=ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ϕϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ϕ321 13232131232123131，则，、设三次置换 3．设M={1，2，3}，T （M ）表示M 的全体变换作成的集合，问|T （M ）| =（ ）。

) ()i i i 41k 21=- 、（5、(327)(26)(14)(134)(57)= .四、概念题1、什么是正规子群？2、什么是素理想？七、（12分）证明：<2>是整数环Z 的一个素理想。

八、（11分）写出三次对称群S 3关于子群H={（1），（23）}的所有左陪集和所有右陪集。

⒈ 由集合X={1，2，3，4}到集合Y={a,b,c}共有（ ）个满射。

5．在四元数群G={1，i, j, k, -1, -i, -j, -k}中，ij=( ).8．设H={（1），（12）}是三次对称群3S 的一个子群，写出陪集(13)H={ } }.{ 4 }7 ,6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1 ,0{Z 898=><=主理想中，的剩余类环、在模10、把下列置换表示成对换的乘积：（1432）= 。

1、什么是不变子群？2、什么是环？三、（15分）在二元多项式环Z[x ，y]中，证明：＜y ＞={yf(x,y) | f(x,y)∈Z[x ，y]}是Z[x ，y]的素理想。

四、（11分）设G 是由数域F 上一切n 阶可逆方阵组成的集合，证明G 对于普通的矩阵乘法作成群。

六、（13分）设H ，K 是群G 的两个子群，证明H ∩K ≤G 。

⒈ 设A 、B 都是非空集合，且|A| = m ，|B| = n 则A 到B 间可定义多少个映射 （ ）。

（A ） mn (B) m+n (C) m n (D) n m⒊ 设R 是实数集，对于任意 a ，b ∈R 规定：b 3a 2b a += ，则下面说法不正确的是（ ）（A ） ”是一个代数运算。

“ (B) ”不适合交换律。

“(C) ”适合结合律。

“⒋ 设φ是集合M 到集合N 的一个同态映射 ，则下面说法不正确的是（A ） φ一定是M 到N 的一个映射；(B) φ一定是M 到N 的一个满射；(C) φ不一定是M 到N 的一个单射(D) φ不一定是M 到N 的一个双射。

⒌ 下列命题不正确的是 （ ）（A ）群是带有一个代数运算的代数系统；(B) 群的乘法一定适合结合律；(C) 群的乘法一定适合交换律；(D) 群中一定有单位元。

G G D G G C GK G / B G K A Ker K G G 10；整除）（；整除）（）（的正规子群；是）（）（下列命题正确的是，的一个同态满射，到群是群、设≅ϕ=ϕ二、（每小题15分，共30分）设Z 为全体整数的集合， ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=-∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= Z x 1c x 1 H 1 bc ad ,Z d ,c ,b ,a d c b a G （1） 证明G 关于矩阵乘法构成群。

（2） 证明H ≤G 。

三、（20分）证明：群G 的一个正规子群与一个子群的乘积是一个子群；两个正规子群的乘积仍是一个正规子群。

？？；求）（设分）已知（四、（=ϕσσ=σϕσ=σ=ϕ=----11121k k 1k 21 )57)(134( ),14)(26(327 )i i i i ()i i i 15五、（15分）设G 是群，N ≤G ，证明： 。

都有是：对于任意的正规子群的充要条件是 N aNa G a G N 1⊆∈-<2>是整数环Z 的一个素理想。

（ ）2．在模8剩余类环Z 8中{}6,4,2,0 2>=<是一个极大理想。

（ ）3．环R 的理想一定是R 的子环，但环R 的子环不一定是R 的理想。

（ ）4．整数环Z 的每个理想都是主理想。

（ ）5．设环R 有单位元且每个非零元素都有逆元，若 | R |＞1，则R 一定是体。

（ ）6．无零因子的交换环一定是整环。

（ ）7．环R 中所含元素的个数叫环R 的特征。

（ ）9．任何群G 都与其商群G/N 同态。

（ ） 3113123321 10）（）（、==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （ ） 是循环群是循环群，则，若是两个群且与、设G G G ~G G G 111、什么是群？2、什么是环？三、（15分）在二元多项式环Z[x ，y]中，证明：＜x ＞={x f(x,y) | f(x,y)∈Z[x ，y]}是Z[x ，y]的素理想。

四、（20分）设X 与Y 是两个有限集合且| X |=| Y |=n ，则X 到Y 的映射ϕ是满射的充要条件是ϕ是单射。

？？；求）（设分）已知（五、（=ϕσσ=σϕσ=σ=ϕ=----11121k k 1k 21 )57)(134( ),14)(26(327 )i i i i ()i i i 151、集合A 的元素间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件： 。

2、设～是集合A 的元素间的一个等价关系，它决定A 的一个分类：[][]b a ,是两个等价类。

则[][]⇔=b a 。

3、设G 是一个n 阶交换群，a 是G 的一个m （n m ≤）阶元，则商群()a G 的阶等于 。

4、设G =()a 是12阶循环群，则G 的生成元是 。

53S 的子群()()(){}132,123,1=H 的一切右陪集 。

6、设H 是群G 的子群，G b a ∈,，则⇔=Hb Ha 。

7、设G 是一个m p 阶群，其中p 是一个素数，m 是一个正整数，则G 的真子群的一切可能的阶数是 。

8、一个无零因子环的特征指的是 。

9、含2p （p 为素数）个元的域F 的特征是 。

10、设G =()a 是循环群，则G 与模n 的剩余类加群同构的充要条件是 。

二、单项选择题（每题2分，共10分）1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ⨯⨯⨯ 21到D 的一个映射，那么（ ）①D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换；③n A A A ⨯⨯⨯ 21中不同的元对应的象必不相同；④元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。

3、设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （ ） ①11--a bc ； ②11--a c ； ③11--bc a ； ④ca b 1-。

4、设21:G G f →是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ）①f 的同态核是1G 的不变子群; ②1G 的不变子群的象是2G 的不变子群。

③1G 的子群的象是2G 的子群；④2G 的不变子群的逆象是1G 的不变子群；5、下列正确的命题是（ ）①欧氏环一定是唯一分解环； ②主理想环必是欧氏环；③唯一分解环必是主理想环； ④唯一分解环必是欧氏环。

三、判断说明题（每小题6分，共30分。

下列题正确错误均需说1、若群G 的每一个元都适合方程e x =2，G 是不是交换群？2、群G 的所有子群的交集是不是G 的子群？3、设N 是G 的不变子群，N n G a ∈∈∀,，是否一定存在N n ∈1使a n an 1=4、整数环与偶数环是否同态？5、设R 是一个有单位元的环，μ是R 的一个理想且1∈μ，由此能否判定μ=R ？1、=F ｛所有实数3b a +，（b a ,是有理数）｝。

证明，F 对于普通加法和乘法来说是一个域。

五、计算题（10分） 假定R 是模8的剩余类环，在[]x R 里计算)()()()(x g x f x g x f 与+并求出它们的次数，其中[][][][][]34)(453)(23+-=-+=x x x g x x x f ，。