? lim x ? 1 ? a ? 2 ? a ? 2.
x? 1 x ? 3
4
故a ? 6,b ? ? 7.
例5
求
lim
x? ?
2x3 7x3
? ?
3x2 4x2
? ?
5 1
.
? (?
型)
解 x ? ? 时, 分子,分母的极限都是
.
先用x3去除分子分母 ,分出无穷 ,再求 .
2x3 ?
lim
x? ?
证 ? lim f ( x) ? A, lim g( x) ? B. ? f ( x) ? A ? ? , g(x) ? B ? ? . 其中? ? 0,? ? 0. 由无穷小运算法则 ,得
[ f ( x) ? g( x)] ? ( A ? B) ? ? ? ? ? 0. ? (1)成立.
[ f ( x) ?g( x)] ? ( A?B) ? ( A ? ? )(B ? ? ) ? A
又? lim(4x ? 1) ? 3 ? 0, x? 1
?
lim x 2 ? 2x ? 3 ? x? 1 4x ? 1
0? 3
0.
由无穷小与无穷大的关系 ,得
lim
x? 1
4x ? 1 x2 ? 2x ?
3
?
?
.
例3
求
lim
x? 1
x2
x2 ? 1 ? 2x ?
3
.
解 x ? 1时, 分子 , 分母的极限都是零 . ( 0 型 ) 0
?
? ? ?? ?
a0 ,当 b0 0,当n
n ?
? m, m,
??? ,当n ? m,
??
无穷小分出法 :以分母中自变量的最高次幂除分
子、分母 ,以分出无穷小 ,然后再求极限 .
例6 设 lim( x 2＋2 ＋ax ? b) ? 2, 求a、b. x? ? x ? 1
解 左边 ? lim x2 ? 2 ? ax?x ? 1?? b?x ? 1?
二、求极限方法举例
例1
求
lim
x? 2
x2
x3 ? 1 ? 3x ?
. 5
解 ? lim( x 2 ? 3 x ? 5) ? lim x 2 ? lim 3 x ? lim 5
x? 2
x? 2
x? 2
x? 2
? (lim x)2 ? 3 lim x ? lim 5
x? 2
x? 2
x? 2
? 22 ? 3 ?2 ? 5 ? 3 ? 0,
7x3
?
3x2 4x2
? ?
5? 1
2? lim x? ? 7 ?
3? x 4? x
5 x3 1 x3
?
2. 7
(无穷小因子分出法)
小结:当a0 ? 0, b0 ? 0, m和n为非负整
lim
x? ?
a0 xm b0 x n
? ?
a1 x m? 1 b1 x n? 1
? ?
? ?
? am ? bn
2
22
?
B(B ?
?)
?
1 B2, 2
故
1 B(B ?
?)
?
2 B2
,
有界，
? (3)成立.
推论1 如果 lim f ( x)存在,而c为常数 ,则 lim[cf ( x)] ? c lim f ( x).
常数因子可以提到极限记号外面 .
推论2 如果lim f ( x)存在,而n是正整数,则 lim[ f ( x)]n ? [lim f ( x)]n .
先变形再求极限 .
1
lim
n? ?
(
n
2
?
2 n2
?
?
?
n n2
)
?
lim 1 ?
因子 x ? 1 后再求极 .
lim
x? 1
x2
x2 ? 1 ? 2x ?
3
?
lim
x? 1
(x (x
? ?
1)( x 3)( x
? ?
1) 1)
? lim x ? 1 ? 1 . x? 1 x ? 3 2
(消去零因子法)
例4
设
lim
x? 1
x 2＋ax ? x2 ? 2x ?
P(x0 ) Q( x0 )
?
f ( x0 ).
若 Q( x0 ) ? 0, 则商的法则不能应用 .
3. 设 f ( x)为基本初等函数 , 其定义域为 D ,
当 x0 ?
D 时，lim x? x0
f (x) ?
f ( x0 ).
例2
求
lim
x? 1
4x ? 1 x2 ? 2x ?
3
.
解 ? lim( x 2 ? 2 x ? 3) ? 0, 商的法则不能用 x? 1
第四节 极限运算法则
一、极限运算法则
定理 设 lim f ( x) ? A, lim g( x) ? B,则 (1) lim[ f ( x) ? g( x)] ? A ? B; (2) lim[ f ( x) ?g( x)] ? A?B; (3) lim f ( x) ? A, 其中B ? 0. g(x) B
b 3
?
2, 求 a、 b.
解 x ? 1时, 分母的极限是零 , 而商的极限 .
则 lim ( x 2 ? ax ? b) ? 1 ? a ? b ? 0. x? 1
于是
lim
x? 1
x 2＋ax ? x2 ? 2x ?
b 3
?
lim
x? 1
(x ? (x
1 ? a)( x ? 3)( x ?
? 1) 1)
x? ?
x?1
? lim ?1? a ?x2 ? ?a ? b?x ? 2 ? b
x? ?
x?1
商的极限存在，必须
1? a ? 0 ， a ? b ? 2
解得 a ? ?1 ， b ? 3 .
例7
求
1
lim
n? ?
(
n
2
?
2 n2
?
?
? n ). n2
解 n ? ? 时 ,是无限多个无穷小之和 ．
x)n
?
a1
(
lim
x? x0
x)n?1 ? ?
? an
? a0 x0n ? a1 x0n? 1 ? ? ? an ? f ( x0 ).
2. 设
f (x) ?
P( Q(
x x
) )
,
且Q(
x0
)
?
0,
则有
lim P( x)
lim f ( x) ? x? x0
x? x0
lim Q( x)
x? x0
?
? ( A? ? B? ) ? ?? ? 0.
? (2)成立.
f (x) g( x)
?
A B
?
A? B?
? ?
?
A B
?
B? ? A? B(B ? ? )
? B? ? A? ? 0.
又? ? ? 0, B ? 0, ? ? ? 0, 当0 ? x ? x0 ? ?时,
? ? B, ? B?? ? B? ? ? B?1B ? 1B
?
x3 ? 1
lim
x? 2
x2
?
3x
?
5
?
lim x 3 ? lim 1
x? 2
lim( x 2
?
x?
3x
2
?
5)
?
23 ? 1 ? 3
7. 3
x? 2
小结: 1. 设 f ( x) ? a0 x n ? a1 x n?1 ? ? ? an ,则
lim
x? x0
f (x) ?
a
0
(
lim
x? x0