课 题：2.4极限的四则运算(一)教学目的：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限教学重点：运用函数极限的运算法则求极限教学难点：函数极限法则的运用授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a ,那么就说数列}{n a 以a 为极限．记作lim n n a a →∞=．2.几个重要极限：（1）01lim=∞→n n （2）C C n =∞→lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{nq （1<q ）的极限是0，即 )1(0lim <=∞→q q nn3.函数极限的定义:(1)当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于正无穷大时，函数f (x )的极限是a .记作：+∞→x lim f (x )=a ，或者当x →+∞时，f (x )→a .(2)当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f (x )的极限是a .记作-∞→x lim f (x )=a 或者当x →－∞时，f (x )→a .(3)如果+∞→x lim f (x )=a 且-∞→x lim f (x )=a ，那么就说当x 趋向于无穷大时，函数f (x )的极限是a ，记作：∞→x lim f (x )=a 或者当x →∞时，f (x )→a .4.常数函数f (x )=c .(x ∈R )，有∞→x lim f (x )=c .即lim ,x C C →∞=∞→x lim f (x )存在，表示+∞→x lim f (x )和-∞→x lim f (x )都存在，且两者相等.所以∞→x lim f (x )中的∞既有+∞，又有－∞的意义，而数列极限∞→x lim a n 中的∞仅有+∞的意义5. 趋向于定值的函数极限概念：当自变量x 无限趋近于0x （0x x ≠）时，如果函数)(x f y =无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是a ，记作0lim ()x x f x →=特别地，C C x x =→0lim ；00lim x x x x =→6. 0lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=⇔==其中0lim ()x x f x a -→=表示当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，0lim ()x x f x a +→=表示当x 从右侧趋近于0x 时的右极限二、讲解新课：1. 对于函数极限有如下的运算法则：如果B x g A x f oox x x x ==→→)(lim ,)(lim ，那么B A x g x f ox x +=+→)]()([lim ;B A x g x f ox x ⋅=⋅→)]()([lim ; )0()()(lim≠=→B BAx g x f ox x 也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）.说明：当C 是常数，n 是正整数时:)(lim )]([lim x f C x Cf oox x x x →→=,n x x n x x x f x f oo)](lim [)]([lim →→=这些法则对于∞→x 的情况仍然适用.*lim (),ok ko x x x x k N →=∈ *1lim0()k x k N x→∞=∈ 三、讲解范例：例1 求)3(lim 22x x x +→解：22222lim(3)lim lim34610x x x x x x x →→→+=+=+=例2 求1212lim 2321-+++→x x x x x .解：1lim 2lim lim 1lim lim 2lim )12(lim )12(lim 1212lim 121311121231212321→→→→→→→→→-+++=-+++=-+++x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 211211112232=-⨯+++⨯= 这个题目可以把x =1代入函数的解析式1212232-+++x x x x 中，就可以了.所以求某些函数在某一点x =x 0处的极限值时，只要把x =x 0代入函数的解析式中，就得到极限值.这种方法叫代入法.例2 求121lim 221---→x x x x .分析：这个题目如果用代入法做，则分子、分母都为0，所以不能求解.将分子分母因式分解，共有x －1这个因子.因为x 无限趋近于1，不包含x =1即x≠1，所以可约去公因式，化简再求极限.解：)12(lim )1(lim 121lim )12)(1()1)(1(lim 121lim 1111221++=++=+--+=---→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x 3211211=+⋅+=当用代入法时，分子、分母都为0，可对分子、分母因式分解，约去公因式来求极限.就是先要对原来的函数进行恒等变形.称因式分解法.例3 求112lim 231++-→x x x x解：32323211111111lim(21)lim 2lim lim1212lim 11lim(1)lim lim12x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→→→→-+-+-+====+++例4 求416lim 24--→x x x分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数4162--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变成4+x ，由此即可求出函数的极限.解：24444416(4)(4)limlim lim(4)lim lim 444844x x x x x x x x x x x x →→→→→--+==+=+=+=-- 例5 求133lim 22++-∞→x x x x分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以2x ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算解：222222221313133lim(3)lim3lim lim 33lim lim 311111lim(1)lim1lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞-+-+-+-+====++++ 例6 求1342lim 232+--+∞→x x x x x分析：同例4一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以3x ，就可以运用法则计算了解：223232332333214214214lim()lim lim lim 24lim lim 111111313lim(3)lim3lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞+-+-+-+-====-+-+-+-+例7 求下列极限. (1))1)(12()2)(1(lim -+-+∞→x x x x n ; (2)12144lim 232+++-∞→x x x x n解： (1)2222112211lim 122lim )1)(12()2)(1(limxx x x x x x x x x x x x x x ----=----=-+-+∞→∞→∞→ 210020011lim 1lim 2lim 2lim 1lim1lim 22=----=----=∞→∞→∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x(2)3323322321lim 2lim 1lim 1lim 4lim 4lim 121144lim 12144lim x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x ∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→+++-=+++-=+++-0001000=+++-=.四、课堂练习：1.求下列极限: (1)1lim →x (3x 2－2x +1) (代入法.)解：1lim →x (3x 2－2x +1)=1lim →x 3x 2－1lim →x 2x +1lim →x 1=3×12－2×1+1=2.(2))6)(5()12)(3(lim1-+-+-→x x x x x . (代入法)解：)6)(5(lim )12)(3(lim )6)(5()12)(3(lim 111-+-+=-+-+-→-→-→x x x x x x x x x xx143)61)(51()12)(31()6(lim )5(lim )12(lim )3(lim 1111=--+---+-=-+-+=-→-→-→-→x x x x x x x x(3)24lim 22--→x x x . (因式分解法.)解：4)2(lim 2)2)(2(lim 24lim2222=+=--+=--→→→x x x x x x x x x . (4)201213lim2+--∞→x x x x (分子、分母同除x 的最高次幂.)解：02012113lim 201213lim 222=+--=+--∞→∞→xx x x x x x x x (5)4228lim24---→x x x . (分子有理化.)解：)228)(4()22(8lim 4228lim222424+----=---→→x x x x x x x .=22284442284lim)228)(4()4)(4(lim22424=+-+=+-+=+---+→→x x x x x x x x五、小结 ：有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数的和（或积）；两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在. 在求几个函数的和（或积）的极限时，一般要化简，再求极限 .求函数的极限要掌握几种基本的方法.①代入法；②因式分解法；③分子、分母同除x 的最高次幂；④分子有理化法.六、课后作业：1.（1）)432(lim 31++-→x x x ;（2）35lim 222-+→x x x ;（3）12lim 21++→x x xx ;（4）)1413(lim 20+-+-→x x x x ;（5）13lim 2423++-→x x x x ;（6）245230233lim x x x x x x -++→;（7）42lim 22--→x x x ;（8）11lim 21-+-→x x x ;（9）623lim 2232--++-→x x x x x x ; （10）x m m x x 220)(lim -+→;（11）)112(lim 2xx x +-∞→ ;（12）1221lim 22-++∞→x x x x答案：⑴-1 ⑵9 ⑶2/3 ⑷3/4 ⑸0 ⑹-1/2 ⑺1/4 ⑻-1/2 ⑼ -2/5⑽2m ⑾2 ⑿ 1/2七、板书设计（略）八、课后记：。